精品解析：河南省济源市济水一中 2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

八年级下学期期中试题 数学 一、选择题（本题共10小题，每小题只有一个选项符合题意，每题3分，共30分） 1. 下列的取值中， 能使二次根式在实数范围内有意义的是（ ） A. 6 B. 3 C. 1 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的中线长为（） A. B. 6 C. 13 D. 4. 已知四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. AB＝CD B. AD＝BC C. AD∥BC D. ∠A+∠B＝180° 5. 如图，在中，，则的大小是（ ） A. 100° B. 120° C. 135° D. 150° 6. 两个矩形的位置如图所示，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形． 下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①错误，②正确 C. ①②都错误 D. ①正确，②错误 9. 如图，在菱形中，按以下步骤作图，下列结论中错误的是（ ） （1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，； （2）作直线，且直线恰好经过点，且与边交于点； （3）连接． A. B. C. D. 10. 一次数学课上，老师让大家在一张长12cm，宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形；甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形见方案一，乙同学沿矩形的对角线AC折出，的方法得到菱形见方案二，请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 甲乙相等 D. 无法判断 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是______． 12. 如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则_________． 13. 如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，垂足为，则的长为_______． 14. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为______． 15. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝______． 三、解答题（16-23题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长． （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 18. “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）求小路的长． 19. 如图，在平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 20. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，EO=FO，DF∥BE． ⑴求证：△BOE≌△DOF； ⑵若AC=2OD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？ 请证明你的结论． 21. 某中学组织八年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动．其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案，他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示． 活动课题 测量古树的高度 研学小组 甲组 乙组 测量示意图 测量说明 于点E，为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内 于点D，图中所有的点都在同一平面内 测量数据 ，， ，， 请你分别用甲、乙两组的测量方案，求古树的高度．（结果保留根号） 22. 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题： （1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，则∠C=　 　°，∠D=　 　° （2）在探究等对角四边形性质时： 小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立，请你证明该结论； （3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD． 要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等． （4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC的长． 23. 如图①是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的赵爽弦图，是用四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．已知正方形，点是直线上一动点，连接，分别过点，，向直线作垂线，垂足分别为，，． （1）如图①，若直角三角形斜边的长为5，直角边的长为4，则的长为______． （2）如图②，若点在边上，则线段和线段的数量关系为______． （3）如图③，若点在的延长线上，（2）中结论是否成立？请说明理由． （4）当直线与正方形一边的夹角为时，若，请直接写出正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期期中试题 数学 一、选择题（本题共10小题，每小题只有一个选项符合题意，每题3分，共30分） 1. 下列的取值中， 能使二次根式在实数范围内有意义的是（ ） A. 6 B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等是求解即可得到答案． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质，利用被开方数大于等于0列不等式是解题关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 详解：A、与不能合并，所以A选项错误； B、原式=，所以B选项错误； C、原式=，所以C选项错误； D、原式=，所以D选正确． 故选C． 点睛：本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的中线长为（） A. B. 6 C. 13 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得直角三角形斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解. 【详解】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，根据勾股定理求得斜边为13，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得此直角三角形斜边上的中线长为，故选D. 【点睛】本题考查勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质.求出直角三角形的斜边是解题的关键. 4. 已知四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. AB＝CD B. AD＝BC C. AD∥BC D. ∠A+∠B＝180° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，逐项判断即可． 【详解】解： A.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断； B. 根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断是平行四边形； C. 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形；可判断； D. ∵∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形；可判断； 故选B． 【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形． 5. 如图，在中，，则的大小是（ ） A. 100° B. 120° C. 135° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】平行四边形中，利用邻角互补可求得的度数，利用对角相等，即可得的值． 【详解】解：如图所示， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，利用邻角互补的结论求四边形内角度数是解题关键． 6. 两个矩形的位置如图所示，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，三角形外角，余角的性质，解决问题的关键是熟练掌握矩形的性质，三角形的外角性质等．用三角形外角性质得到，然后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得， ∴， 故选：C． 7. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 在中， ． 故选：A． 【点睛】本题意考查勾股定理，熟练运用勾股定理求直角三角形的边长是解题关键． 8. 如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形． 下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①错误，②正确 C. ①②都错误 D. ①正确，②错误 【答案】B 【解析】 【分析】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC，再证明四边形ABCD是菱形，再进行判断即可． 【详解】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC， ∵， ∴∠ADB=∠CBD， ∵∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， ∵AB=BC， ∴AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形． ∴①错误，②正确 故选：B. 【点睛】本题考查了作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质． 9. 如图，在菱形中，按以下步骤作图，下列结论中错误的是（ ） （1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，； （2）作直线，且直线恰好经过点，且与边交于点； （3）连接． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，先根据菱形的性质可得，即可判断选项C正确；再证是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一即可判断选项A正确；根据菱形的性质可得，根据即可判断选项B错误；根据和三角形的面积公式即可判断选项D正确． 【详解】解：如图，连接，， 由题意可知，垂直平分， ， 四边形是菱形， ， ，，选项C正确； 是等边三角形， ， （等腰三角形的三线合一），选项A正确； 又四边形是菱形， ，， 的边上的高等于的边上的高，，选项B错误； ， ，选项D正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 10. 一次数学课上，老师让大家在一张长12cm，宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形；甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形见方案一，乙同学沿矩形的对角线AC折出，的方法得到菱形见方案二，请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 甲乙相等 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】方案一中，通过图可知四个小直角三角形全等，用矩形面积减去4个小直角三角形的面积，即可得菱形面积；方案二中，两个小直角三角形全等，设菱形边长为x，在直角三角形中利用勾股定理可求x，再利用底高可求菱形面积然后比较两者面积大小． 【详解】解：方案一中， 、F、G、H都是矩形ABCD的中点， ≌≌≌， ， ， ， ； 方案二中，设，则， ，，， ≌， 在中，，，， 由勾股定理得， 解得， ， ， ， ， ， 故甲乙． 故选B． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理以及矩形的性质．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则整数a的最小值是2． 故答案为：2 12. 如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出． 本题主要考查了正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解决问题的关键． 【详解】∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点M是斜边的中点， ∴， 故答案为：4． 13. 如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，垂足为，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，设，则，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：连接，设，则， 是的中垂线， ， 在中，， 解得：， ． 故答案为：． 14. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定及勾股定理，得出是等边三角形是解题关键．根据正方形的性质，利用勾股定理可求出，根据菱形的性质，结合得出是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：在正方形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在菱形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为： 15. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接CF并延长交AB于G，证明△FDC≌△FBG，根据全等三角形的性质得到BG＝DC＝6，CF＝FG，求出AG，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【详解】解：连接CF并延长交AB于G， ∵AB∥CD， ∴∠FDC＝∠FBG， 在△FDC和△FBG中， ， ∴△FDC≌△FBG(ASA) ∴BG＝DC＝6，CF＝FG， ∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6， ∵CE＝EA，CF＝FG， ∴EF＝AG＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 三、解答题（16-23题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各个二次根式化为最简二次根式，然后进行合并，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键． （1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后合并即可． 【详解】（1）解： = =； （2）解： ． 17. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长． （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【小问1详解】 解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． 【小问2详解】 解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 18. “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）求小路的长． 【答案】（1）9米 （2）米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是∶ （1）利用勾股定理的逆定理判定，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴， 故的长9米； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴（米）， 故小路的长为米． 19. 如图，在平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点E在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）的长是 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键． （1）由，，得，由四边形是平行四边形，点E在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形ACED是矩形； (2)由平行四边形的性质和矩形的性质得， 推出是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 20. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，EO=FO，DF∥BE． ⑴求证：△BOE≌△DOF； ⑵若AC=2OD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？ 请证明你的结论． 【答案】 （1）证明：∵DF∥BE， ∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO， ∵O为AC的中点，即OA=OC，OE=OF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，即AE=CF， 在△BOE和△DOF中，， ∴△BOE≌△DOF（AAS）； （2）矩形 【解析】 【分析】（1）根据DF∥BE可得∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，然后根据OA=OC， OE=OF得出AE=CF，然后用AAS可证得△BOE≌△DOF； （2）由（1）可得OB=OD，若OD=AO，则可证得四边形ABCD的对角线相等且互相平分，所以四边形ABCD是矩形． 【详解】（1） 略 （2）若OD=AO，四边形ABCD是矩形，理由为： 证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC， ∴四边形ABCD为矩形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质和矩形的判定，解题的关键知道全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和矩形的判定. 21. 某中学组织八年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动．其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案，他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示． 活动课题 测量古树的高度 研学小组 甲组 乙组 测量示意图 测量说明 于点E，为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内 于点D，图中所有的点都在同一平面内 测量数据 ，， ，， 请你分别用甲、乙两组的测量方案，求古树的高度．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、含30度直角三角形的性质及矩形的性质，熟练掌握勾股定理、含30度直角三角形的性质及矩形的性质是解题的关键；若选择甲组，则由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解；若选择乙组，则有，，然后问题可求解． 【详解】解：若选择甲组， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 若选择乙组，则有： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 22. 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题： （1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，则∠C=　 　°，∠D=　 　° （2）在探究等对角四边形性质时： 小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立，请你证明该结论； （3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD． 要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等． （4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC的长． 【答案】（1）140°，75°； （2）证明：如图2，连接BD， ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB， ∴∠CBD=∠CDB， ∴CB=CD； （3）如图所示： （4）2或2． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=75°，根据多边形内角和定理求出∠C即可； （2）连接BD，根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根据等腰三角形的判定得出即可； （3）根据等对角四边形的定义画出图形即可求解； （4）分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，先用含30°角的直角三角形的性质求出AE，得出DE，再用三角函数求出CD，由勾股定理求出AC； ②当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性质得出DN=BM=3，BN=DM=2，求出CN、BC，根据勾股定理求出AC即可． 试题解析： （1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°， ∴∠D=∠B=75°， ∴∠C=360°﹣75°﹣75°﹣70°=140°； （2） 略 （3）略 （4）解：分两种情况： ①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示： ∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5， ∴∠E=30°， ∴AE=2AB=10， ∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6， ∵∠EDC=90°，∠E=30°， ∴CD=2， ∴AC=； ②当∠BCD=∠DAB=60°时， 过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示： 则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形， ∵∠DAB=60°， ∴∠ADM=30°， ∴AM=AD=2， ∴DM=2， ∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3， ∵四边形BNDM是矩形， ∴DN=BM=3，BN=DM=2， ∵∠BCD=60°， ∴CN=， ∴BC=CN+BN=3， ∴AC=． 综上所述：AC的长为或． 故答案为140，75． 【点睛】四边形综合题目：考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（4）中，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果． 23. 如图①是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的赵爽弦图，是用四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．已知正方形，点是直线上一动点，连接，分别过点，，向直线作垂线，垂足分别为，，． （1）如图①，若直角三角形斜边的长为5，直角边的长为4，则的长为______． （2）如图②，若点在边上，则线段和线段的数量关系为______． （3）如图③，若点在的延长线上，（2）中结论是否成立？请说明理由． （4）当直线与正方形一边的夹角为时，若，请直接写出正方形的面积． 【答案】（1）3； （2）BE=FG； （3） 解：BE=FG成立，理由如下： 如图，过点D作DK⊥CF于点K， ∴DK⊥CF，CF⊥BP，DG⊥BP， ∴∠DKF=∠KFG=∠DGF=90， ∴四边形FKDG是矩形， ∴，DK=FG ∴∠P=∠KDC， ∵AE⊥BG， ∴∠BEA=∠DKC=90， ∵， ∴∠ABE=∠P=∠CDK， ∵AB=CD， ∴， ∴BE=DK=FG； （4）12或36． 【解析】 【分析】（1）如图1，在Rt△ABG中，由勾股定理得，即可求解； （2）如图，过C作交DG的延长线于点H，先证明四边形FCHG是矩形得CF=HG，FG=CH，进而证明，即可得解； （3）如图，过点D作DK⊥CF于点K，先证明四边形FKDG是矩形，再证明，即可得证； （4）分两种情况讨论求解即可，如图，当∠ABP=60时， 如图，当∠CBP=60时． 【小问1详解】 解：如图1， ∵在Rt△ABG中，AB=5，AG=4， ∴由勾股定理得， ∵， ∴DE=BG=3， 故答案为3； 【小问2详解】 解：BE=FG，理由如下： 如图，过C作交DG的延长线于点H， ∵DG⊥BG，， ∴∠DGP=∠DHC=90，∠CPE=∠DCH， ∴∠FGH=180-∠DGP=90， ∵CF⊥BG， ∴∠CFG=90， ∴四边形FCHG是矩形， ∴CF=HG，FG=CH， ∵AE⊥BG， ∴∠AEB=∠DHC=90， ∵， ∴∠ABE=∠CPE=∠DCH， ∵AB=DC， ∴， ∴BE=CH=FG， 故答案为：BE=FG； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，当∠ABP=60时，则∠BAE=90-60=30，BE=FG=3， ∵AE⊥BG， ∴AB=2BE=6， ∴正方形ABCD的面积为：； 如图，当∠CBP=60时，则∠ABE=30，BE=FG=3， ∵AE⊥BG，∠ABE=30， ∴AE=AB，AE2+BE2=AB2， ∵BE=FG=3， ∴ ∴AB2=12， ∴正方形ABCD的面积为：12； 故正方形ABCD的面积为12或36． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $