7.3.2 正弦型函数的图象与性质（第1课时 参数A，φ，ω的变化对函数图象、性质的影响）课件-2027届高三数学一轮复习

7.3　三角函数的性质与图象 7.3.2　正弦型函数的性质与图象 第1课时　参数A，φ，ω的变化对函数图象、性质的影响 第七章　三角函数 y＝Asin(ωx＋φ) 常数 A≠0，ω≠0 [－|A|，|A|] R [－1,1] R [－1,1] R 2π 2π 三角函数图象的变换规律及注意事项 (1)平移变换 ①沿x轴平移，按“左加右减”规律； ②沿y轴平移，按“上加下减”规律． (2)对称变换 对于函数y＝f(x)的图象： ①关于x轴对称后，图象对应解析式为y＝－f(x)； ②关于y轴对称后，图象对应解析式为y＝f(－x)； ③关于原点对称后，图象对应解析式为y＝－f(－x)． 归纳总结 √ √ √ × 当堂检测 2 0 y＝sin4x 例1　(1)用“五点法”画出函数y＝2sinx和y＝－2sinx在[0，2π]上的图象，并分别写出各自的定义域、值域、周期． 解 题型一　函数y＝Asinx的图象与性质 描点并用光滑的曲线连接，可得y＝2sinx的图象，如图所示． y＝2sinx的定义域为R，值域为[－2,2]，周期为2π. 解 解 解 (3)若A>0，则y＝Asinx的单调性与y＝sinx的单调性相同；若A<0，则y＝Asinx的单调性与y＝sinx的单调性相反． (4)y＝Asinx图象的对称轴、对称中心与y＝sinx图象的对称轴、对称中心相同． (5)y＝Asinx的奇偶性与y＝sinx的奇偶性相同，都为奇函数． [1]　函数y＝－3sinx＋1的图象是由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？并讨论函数y＝－3sinx＋1的性质． 解 解　将函数y＝sinx的图象上的点，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍，得到函数y＝3sinx的图象，再将函数y＝3sinx的图象关于x轴对称，得到函数y＝－3sinx的图象，最后将y＝－3sinx的图象向上平移1个单位，即可得到函数y＝－3sinx＋1的图象． 由函数y＝sinx的图象及性质可得y＝－3sinx＋1的性质如下： 定义域：R. 值域：[－2,4]． 解 答案 题型二　y＝sin(x＋φ)的图象与性质 解析 解 解 题型三　y＝sinωx的图象与性质 答案 解析 解析 答案 解析 答案 解析 答案　π 解 题型四　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 解 解 解 知识点一　正弦型函数 (1)定义：形如_________________的函数． (2)条件：A，ω，φ都是______，且_______________. 知识点二　参数A，φ，ω的变化对函数图象的影响 (1)振幅变换——纵向伸缩变换 要得到函数y＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，只要将函数y＝sinx图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可． (2)相位变换——左右平移变换 要得到函数y＝sin(x＋φ)的图象只要将函数y＝sinx图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位即可． (3)周期变换——横向伸缩变换 要得到函数y＝sinωx(x∈R)(其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以把函数y＝sinx(x∈R)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)即可． 知识点三　A，φ，ω对三角函数性质的影响 (1)一般地，函数y＝Asinx(A≠0)的定义域为_____________，值域为_________________，周期为______. (2)一般地，函数y＝sin(x＋φ)的定义域为_______________，值域为______________，周期为______. (3)一般地，函数y＝sinωx(ω≠0)的定义域为_____________，值域为__________________，周期为___. 知识点四　五点法作正弦型函数的图象 令u＝ωx＋φ，则将u分别取0，，π，，2π并求出对应的x值，列表如下： x － u＝ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 由此可得五个关键点：，，A，，，－A，. 描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左、向右分别平移，从而得到正弦型函数的大致图象． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin的图象．(　　) (2)将函数y＝sinx图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝sin2x的图象．(　　) (3)将y＝sinx的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长3倍，得到y＝3sinx的图象．(　　) (4)函数y＝sin的周期为2π.(　　) 2．做一做 (1)y＝sin2x＋1的最大值为________，最小值为________. (2)将函数y＝sin2x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的得到________的图象． (3)将函数y＝sin3x的图象向右平移个单位后，所得函数图象的解析式 为________________. y＝sin [解]　①列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 y＝2sinx 0 2 0 －2 0 ②列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 y＝－2sinx 0 －2 0 2 0 描点并用光滑的曲线连接，可得y＝－2sinx的图象，如图所示． y＝－2sinx的定义域为R，值域为[－2,2]，周期为2π. (2)函数y＝－eq \f(1,2)sinx－1的图象可以看作是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？ [解]　将函数y＝sinx的图象上的点，横坐标不变，纵坐标变为原来的eq \f(1,2)，再作关于x轴的对称图象，得到函数y＝－eq \f(1,2)sinx的图象(或作y＝sinx关于x轴的对称图象，再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的\f(1,2)，即可得到y＝－\f(1,2)sinx的图象)，最后将y＝－eq \f(1,2)sinx的图象向下平移1个单位，即可得到函数y＝－eq \f(1,2)sinx－1的图象． A对y＝Asinx的图象与性质的影响 (1)y＝sinx的图象 y＝Asinx的图象． (2)若A>0，则y＝Asinx的最大值为A，最小值为－A；若A<0，则y＝Asinx的最大值为－A，最小值为A. 单调性：由y＝sinx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上单调递增，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上单调递减，知y＝－3sinx＋1在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上单调递减，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上单调递增． 奇偶性：∵f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)， ∴y＝－3sinx＋1既不是奇函数也不是偶函数． 对称性：函数图象的对称轴为直线x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)；对称中心为(kπ，1)(k∈Z). 例2　(多选)将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,12)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)是奇函数 B．直线x＝eq \f(3π,4)是函数g(x)的图象的一条对称轴 C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，0))是函数g(x)的图象的一个对称中心 D．函数g(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋2kπ，\f(3π,4)＋2kπ))，k∈Z [解析]　由已知条件可得g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)－\f(5π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).对于A，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,12)))是非奇非偶函数，A错误；对于B，令x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x＝eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z，令k＝0，可知直线x＝eq \f(3π,4)是函数g(x)的图象的一条对称轴，B正确；对于C，令x－eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，得x＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z，令k＝1，可知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，0))是g(x)的图象的一个对称中心，C正确；对于D，令－eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq \f(π,4)＋2kπ≤x≤eq \f(3π,4)＋2kπ，k∈Z，即函数g(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋2kπ，\f(3π,4)＋2kπ))，k∈Z，D正确．故选BCD. φ对y＝sin(x＋φ)的图象与性质的影响 (1)y＝sinx的图象 向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位, y＝sin(x＋φ)的图象．简记为“左加右减”． (2)函数y＝sin(x＋φ)的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z. (3)函数y＝sin(x＋φ)图象的对称轴为直线x＝－φ＋kπ，k∈Z，对称中心为(kπ－φ，0)，k∈Z. (4)函数y＝sin(x＋φ)的奇偶性与φ的取值有关． [2]　函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位，得到函数g(x)的图象． (1)求g(x)图象的对称轴及对称中心； (2)求g(x)的单调递减区间． 解　由题意， 得g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3))). (1)令x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得g(x)图象的对称轴为直线x＝eq \f(5π,6)＋kπ，k∈Z. 令x－eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，得g(x)图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋kπ，0))，k∈Z. (2)令eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z， 得eq \f(5π,6)＋2kπ≤x≤eq \f(11π,6)＋2kπ，k∈Z， 即g(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋2kπ，\f(11π,6)＋2kπ))，k∈Z. 例3　函数f(x)＝sinx图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(2,3)，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的为(　　) A．g(x)的最小正周期为3π B．g(x)的最大值为eq \f(3,2) C．直线x＝eq \f(π,3)是g(x)图象的一条对称轴 D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))是g(x)的一个单调递增区间 [解析]　由题意，得g(x)＝sineq \f(3,2)x.对于A，g(x)的最小正周期为eq \f(4π,3)，A错误；对于B，g(x)的最大值为1，B错误；对于C，令eq \f(3,2)x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x＝eq \f(π,3)＋eq \f(2,3)kπ，k∈Z，令k＝0，得直线x＝eq \f(π,3)是g(x)图象的一条对称轴，C正确；对于D，令－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(3,2)x≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq \f(π,3)＋eq \f(4,3)kπ≤x≤eq \f(π,3)＋eq \f(4,3)kπ，k∈Z，得g(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋\f(4,3)kπ，\f(π,3)＋\f(4,3)kπ))，k∈Z，令eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(3,2)x≤eq \f(3π,2)＋ 2kπ，k∈Z，得eq \f(π,3)＋eq \f(4,3)kπ≤x≤π＋eq \f(4,3)kπ，k∈Z，得g(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(4,3)kπ，π＋\f(4,3)kπ))，k∈Z，所以当k＝0时，g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))上单调递减，所以函数g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上先增后减，D错误．故选C. ω对y＝sinωx的图象与性质的影响 (1)y＝sinx的图象 y＝sinωx的图象． (2)y＝sinωx(ω>0)的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z. (3)y＝sinωx图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，对称中心为. (4)y＝sinωx的奇偶性与y＝sinx的奇偶性相同，都为奇函数． [3]　(1)为了得到函数y＝sin4x的图象，只要把函数y＝sin3x的图象上所有的点(　　) A．横坐标伸长为原来的eq \f(4,3)倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的eq \f(3,4)，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的eq \f(4,3)倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的eq \f(3,4)，横坐标不变 解析　依据函数y＝sinωx的图象与y＝sinx图象之间的变换特点，可得把函数y＝sin3x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(3,4)，纵坐标不变，可以得到函数y＝sin4x的图象．故选B. (2)设点P是函数f(x)＝sinωx的图象的一个对称中心，若点P到图象的对称轴的距离的最小值为eq \f(π,4)，则f(x)的最小正周期为________. 解析　由题意，可知对称中心与对称轴最近距离为eq \f(1,4)T，则eq \f(1,4)T＝eq \f(π,4)，所以T＝π. 例4　用“五点法”作函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))的简图． [解]　①列表： x －eq \f(π,6) eq \f(π,12) eq \f(π,3) eq \f(7π,12) eq \f(5π,6) 2x＋eq \f(π,3) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) 0 3 0 －3 0 ②描点：在坐标系中描出下列各点：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，－3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0)). ③连线：用光滑的曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))的简图，如图所示． 用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的注意点 (1)用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，五个点应是同一个周期内使函数取得最大值、最小值的点以及曲线与x轴相交的点． (2)画y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，将ωx＋φ看成整体，要把握好五个关键点，即令ωx＋φ＝0，，π，，2π，计算出x的值，即为五个点的横坐标，相应的函数值即为五个点的纵坐标． [4]　用“五点法”作出函数y＝eq \f(3,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(π,3)))在长度为一个周期的闭区间上的图象． 解　①列表： x π eq \f(5π,2) 4π eq \f(11π,2) 7π eq \f(1,3)x－eq \f(π,3) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝eq \f(3,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(π,3))) 0 eq \f(3,2) 0 －eq \f(3,2) 0 ②描点：在坐标系中描出下列各点：(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，\f(3,2)))，(4π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)，－\f(3,2)))，(7π，0)． ③连线：用光滑的曲线将所描的点从左到右顺次连接起来，即得到函数y＝eq \f(3,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(π,3)))在长度为一个周期的闭区间上的图象，如图所示． $