精品解析：北京市中关村中学2025-2026学年第二学期期中调研 八年级数学

北京市中关村中学2025－2026学年第二学期期中调研初二数学 考试时间：90分钟 满分：100分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在试卷和答题卡上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改正用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用黑色签字笔将答案写在答题卡指定区域． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共30分，每题3分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 4，5，6 C. 1，1， D. 2，3，4 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在梯形中，，，，，，为边上一点，，则，之间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 一个四边形依次按顺序添加下列中的三个条件便可得到正方形： ．两组对边分别平行；．两组对角分别相等；．对角线相等；．有一组邻边相等；顺次添加的条件：；；，则正确的是（ ） A. 仅 B. 仅 C. D. 7. 下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（ ） 表达式中，是的函数； 等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数； 1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A. B. C. D. 8. 如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，，，分别是的中点，连接，且分别是的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点M，N分别是边，上的动点，点M不与A，B重合，且，P是五边形内满足且的点．现给出以下结论： ①； ②点P到边，的距离一定相等； ③点P到边，的距离可能相等； ④点P到边的距离的最大值为1； 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共16分，每小题2分） 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 12. 如果一个正边形的每个内角是，则______． 13. 在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，则_____． 14. 用一个的值说明“”是错误的，写出一个符合条件的的值：_____． 15. 如图，是正方形的对角线上一点，且，过点且与垂直的直线交于，连接，，则正方形的边长为_____． 16. 如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在处，与相交于点，则的长为_____． 17. 在正方形中，，点，分别为、上一点，且，连接、，则的最小值是_____． 18. 甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①，之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，所有正确的序号是_____．（填序号） 三、解答题（本大题共54分，19题每小题4分共8分；20－23题每题5分；24－25题每题6分，26－27题每题7分） 19. 计算： （1） （2） 20. 已知：，，求的值． 21. 如图，中，，为上一点，，交于点，求证： 22. 下面是小明“作矩形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形，点在边上，． 求作：矩形（点在上，点在上）． 作法： ①分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（点与点在异侧）； ②连接交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④连接． 则四边形为所求作的矩形． （1）根据作法补全图形，保留作图痕迹； （2）根据小明的作法完成下面的证明． 证明：连接，． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形．（ ① ）（填写推理依据） ， 四边形为菱形， ② ③ ， ， 四边形为矩形．（ ④ ）（填写推理依据）． 23. 如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 24. 如图，已知四边形的对角线、交于点O，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）E为上一点，连接BE，若，，，求的长． 25. 沙漏在中国古代被称为“沙钟”，是一种利用沙子流动计时的古老工具，某学校开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径． 探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量m（单位：）与时间t（单位：）之间的关系，部分数据如下： 30 60 90 120 150 探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完沙子所用的时间t（单位：）与孔径d（单位：）之间的关系，部分数据如下： 根据以上探究的实验数据，解决下列问题： （1）在探究一中，时漏下沙子的质量约为______（结果保留小数点后一位）； （2）推断：探究一中所用沙漏的孔径为______； （3）通过探究二，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； ②根据函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，其孔径约为______（结果保留小数点后一位）． 26. 已知为正方形内部一点，且满足，连接，，． （1）如图1，求的大小； （2）如图2，连接，在的上方取点，使且，连接，射线交线段于点． 依题意补全图2； 用等式表示线段与的数量关系，并证明． 27. 已知点为图形上一点，点为图形上一点（，不重合），若一点能使得点为线段的中点，则称点为图形关于图形的“倍中点” 若图形上每一点都是图形关于图形的“倍中点”，且图形关于图形的“倍中点”都在图形上，则图形为图形关于图形的“倍中图” 在平面直角坐标系中，点，，，． （1）在点，，，中，点_____是点关于线段的“倍中点”； （2）若图形为线段关于线段的“倍中图”，请在图中画出图形，并直接写出图形的面积为_____． （3）点是轴上一动点，正方形，，，的各顶点坐标为，，，，线段上任一点都为正方形关于正方形的“倍中点”，直接写出的取值范围为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市中关村中学2025－2026学年第二学期期中调研初二数学 考试时间：90分钟 满分：100分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在试卷和答题卡上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改正用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用黑色签字笔将答案写在答题卡指定区域． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共30分，每题3分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，即被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母，逐一判断选项即可． 【详解】解：A.，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B.，被开方数含分母，不是最简二次根式； C.，被开方数含分母，且含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D.满足最简二次根式的两个条件，即被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母，是最简二次根式． 2. 以下列各组数为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 4，5，6 C. 1，1， D. 2，3，4 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断，若三角形三边满足两较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、，，，满足条件，能组成直角三角形； B、，，，不能组成直角三角形； C、，，，不能组成直角三角形； D、，，，不能组成直角三角形． 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式加减运算中只有同类二次根式可以合并，二次根式乘法法则判断各选项正误． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误； B、与不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，计算正确，故D选项正确． 4. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴较小的内角为，   故选： ． 5. 如图，在梯形中，，，，，，为边上一点，，则，之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，从而得出，，然后求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长，即为，之间的距离． 【详解】解：，，  四边形是平行四边形，  ，，  ，  ， ，  在中，，  ，即，且，  ，之间的距离为的长，即． 6. 一个四边形依次按顺序添加下列中的三个条件便可得到正方形： ．两组对边分别平行；．两组对角分别相等；．对角线相等；．有一组邻边相等；顺次添加的条件：；；，则正确的是（ ） A. 仅 B. 仅 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，依次对三个添加条件的顺序逐一判断即可． 【详解】解：： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 添加后得到平行四边形， 对角线相等的平行四边形是矩形， 添加后得到矩形， 一组邻边相等的矩形是正方形， 添加后得到正方形，故正确； ： 添加后已得到平行四边形，平行四边形本身满足两组对角相等， 添加后仍为平行四边形， 对角线相等的平行四边形是矩形， 添加后仅得到矩形，缺少邻边相等的条件，无法判定为正方形，故错误； ： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形， 添加后得到平行四边形， 一组邻边相等的平行四边形是菱形， 添加后得到菱形， 对角线相等的菱形是正方形， 添加后得到正方形，故正确； 因此正确的是． 7. 下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（ ） 表达式中，是的函数； 等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数； 1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 8. 如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于O，由得，则可得；由矩形性质即可求得结果． 【详解】解：如图，连接交于O， 在矩形中，，； ∵， ， ， ， ∵， ． 9. 如图，在菱形中，，，，分别是的中点，连接，且分别是的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，中位线定理，勾股定理，能够熟练运用中位线定理是解题的关键． 【详解】解：连接，，，和交点为， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ，分别是，的中点， ， ，分别是，的中点， ． 10. 如图，在矩形中，，，点M，N分别是边，上的动点，点M不与A，B重合，且，P是五边形内满足且的点．现给出以下结论： ①； ②点P到边，的距离一定相等； ③点P到边，的距离可能相等； ④点P到边的距离的最大值为1； 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，：结合，，判断结论①正误；可证明，判断结论②正误；结合，可判断结论③正误；结合，可判断结论④正误． 【详解】解：如图所示，过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，． ∵四边形为矩形， ∴． ∴，． ∴． ∴点，，共线． 同理可得点，，共线． ∵， ∴四边形为矩形． ∴． 同理可得． ∵，，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 结论①正确． 在和中， ，，， ∴． ∴． ∴点到边，的距离一定相等． 结论②正确． ∵， ∴． ∴． ∴点到边，的距离不相等． 结论③错误． ∵ ∴的最大值为． 结论④错误． 综上所述，结论正确的为①②，共2个． 二、填空题（本大题共16分，每小题2分） 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，列出一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：根据二次根式在实数范围内有意义的条件，可得被开方数满足：， 移项得， 解得． 12. 如果一个正边形的每个内角是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握正多边形每个内角的计算公式是解题的关键． 根据多边形的内角和公式表示出每个内角的度数，然后列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 两边同时乘以，得， 解得． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：点在函数的图象上， ． 14. 用一个的值说明“”是错误的，写出一个符合条件的的值：_____． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【详解】解：根据二次根式的性质可得， 当 时，， 取，计算左边：， 右边：， 此时，可说明原命题错误． 15. 如图，是正方形的对角线上一点，且，过点且与垂直的直线交于，连接，，则正方形的边长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】设正方形的边长为，根据正方形的性质得到，，根据垂线的性质得到，进而得到是等腰直角三角形，证明，进而得到，在中根据勾股定理求出长，利用列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 四边形是正方形， 、、， ， 根据题意得，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 正方形的边长为． 16. 如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在处，与相交于点，则的长为_____． 【答案】 3.75#### 【解析】 【分析】首先，由矩形的性质得，，得，然后，再由折叠的性质得，进而得，再设，则，最后，在中，由，代入计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 由折叠的性质，得， ∴， ∴． 设，则， 在中，，即， 解得，即． 17. 在正方形中，，点，分别为、上一点，且，连接、，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作关于直线的对称点，连接，通过证明得到，结合轴对称性质得到，将转化为，利用两点之间线段最短可知当、、三点共线时和最小，利用勾股定理求解即可； 【详解】过点作关于直线的对称点，连接，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，，， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值为． 18. 甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①，之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，所有正确的序号是_____．（填序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】当时，甲、乙两人分别在，两地，此时甲、乙两人之间的距离即为，之间的距离；当时，甲、乙两人相遇；当时，甲、乙两人开始背向而行；当时，乙到达地，而甲继续向地运动． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据图象可知，当时，甲、乙两人分别在，两地，此时甲、乙两人之间的距离即为，之间的距离，结论①正确． 当时，甲、乙两人相遇，两人运动的总路程为，所以． 当时，甲、乙两人开始背向而行，当时，两人的距离，所以，结论③错误． 当时，乙到达地，而甲继续向地运动， 此时乙共运动，用时，则， 所以， 所以乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确． 当乙到达地后，甲继续运动了，所用时间， 所以，结论④错误． 综上所述，正确的序号是①②． 三、解答题（本大题共54分，19题每小题4分共8分；20－23题每题5分；24－25题每题6分，26－27题每题7分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据乘方的性质，绝对值的化简法则，二次根式的性质将每一项分别化简，再进行加减运算即可； （2）先将每一项分别化简，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 已知：，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件计算出和的值，再对所求代数式提取公因式因式分解，再整体代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， ． 21. 如图，中，，为上一点，，交于点，求证： 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】根据已知条件可知四边形是平行四边形，得到，再证明，即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴（）， ∴． 22. 下面是小明“作矩形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形，点在边上，． 求作：矩形（点在上，点在上）． 作法： ①分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（点与点在异侧）； ②连接交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④连接． 则四边形为所求作的矩形． （1）根据作法补全图形，保留作图痕迹； （2）根据小明的作法完成下面的证明． 证明：连接，． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形．（ ① ）（填写推理依据） ， 四边形为菱形， ② ③ ， ， 四边形为矩形．（ ④ ）（填写推理依据）． 【答案】（1）见解析 （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；；；有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据平行四边形的性质以及作图步骤，先判定四边形是平行四边形，再判定出四边形为菱形，利用菱形的性质得出直角，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求； 【小问2详解】 证明：连接，． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 23. 如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 【答案】该车没有超速．理由见解析 【解析】 【分析】过点作交于点，根据三线合一可求出的长，然后在中，利用勾股定理可求出的长，再在中，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，从而可得的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】解：该车没有超速．理由如下： 如图，过点作交于点， 由题意可得，米，米， 米， 在中，（米）， 在中，， （米）， （米）， 米， 汽车经过区间用时秒， 该车的速度为（米/秒）， ， 该车没有超速． 24. 如图，已知四边形的对角线、交于点O，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）E为上一点，连接BE，若，，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． （1）根据，得四边形是平行四边形，根据角之间的关系可得，即可得； （2）根据菱形的性质得，设，则，在中，根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得，进行就是即可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， ， 在中，根据勾股定理得， 解得，， ∴， 即． 25. 沙漏在中国古代被称为“沙钟”，是一种利用沙子流动计时的古老工具，某学校开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径． 探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量m（单位：）与时间t（单位：）之间的关系，部分数据如下： 30 60 90 120 150 探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完沙子所用的时间t（单位：）与孔径d（单位：）之间的关系，部分数据如下： 根据以上探究的实验数据，解决下列问题： （1）在探究一中，时漏下沙子的质量约为______（结果保留小数点后一位）； （2）推断：探究一中所用沙漏的孔径为______； （3）通过探究二，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； ②根据函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，其孔径约为______（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1） （2） （3） ①如图所示，即为所求； ② 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数，统计表，从函数图象获取信息，画函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）求出每秒平均漏出的沙子质量，再用60秒漏出的沙子质量加上15秒一共漏出的沙子质量即可得到答案； （2）根据探究一和探究二中表格的数据即可得到答案； （3）①先描点，再连线画出函数图象即可；②根据函数图象找到当时，的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ∴在探究一中，时漏下沙子的质量约为； 【小问2详解】 解：∵探究一中，漏完沙子所用的时间为， ∴由探究二可知，探究一中所用沙漏的孔径为； 【小问3详解】 解：①略 ②由函数图象可知制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，其孔径约为． 26. 已知为正方形内部一点，且满足，连接，，． （1）如图1，求的大小； （2）如图2，连接，在的上方取点，使且，连接，射线交线段于点． 依题意补全图2； 用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）图见解析；；证明见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，， 从而得到， 根据等边对等角结合四边形的内角和即可求得的度数； （2）按要求补全图即可；连接、，过点作交的延长线于，证明， 得到， ， 结合（1）知，，可得，进而根据角的等量代换结合证明，可得到，证明， 即可得证． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， ，即； 【小问2详解】 解：补全图形如图所示； ； 证明：如图，连接、，过点作交的延长线于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 即， ，，， ， ， ， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 27. 已知点为图形上一点，点为图形上一点（，不重合），若一点能使得点为线段的中点，则称点为图形关于图形的“倍中点” 若图形上每一点都是图形关于图形的“倍中点”，且图形关于图形的“倍中点”都在图形上，则图形为图形关于图形的“倍中图” 在平面直角坐标系中，点，，，． （1）在点，，，中，点_____是点关于线段的“倍中点”； （2）若图形为线段关于线段的“倍中图”，请在图中画出图形，并直接写出图形的面积为_____． （3）点是轴上一动点，正方形，，，的各顶点坐标为，，，，线段上任一点都为正方形关于正方形的“倍中点”，直接写出的取值范围为_____． 【答案】（1）和 （2）图见解析， （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出直线的解析式，由“倍中点”的定义可得的中点在线段上，再分别验证，，，的中点是否在线段上即可； （2）根据题意推导图形是一个平行四边形，分别求出四个顶点的坐标，再用割补法求面积即可； （3）根据题意可知正方形关于正方形的“倍中图”是由一个与正方形共对角线的交点即点且边长为且各边都与坐标轴垂直或平行的正方形去除正方形的内部所得到的，然后分别求出四个临界情况时的值，从而得解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式是， 将点，代入得： ， 解得， 直线的解析式是， 由题意可知：若点是点关于线段的“倍中点”，则的中点在线段上， 对于点，的中点是点， 当 时，， 点不在线段上，即点不是点关于线段的“倍中点”； 对于点，的中点是点， 当 时，， 点在线段上，即点是点关于线段的“倍中点”； 对于点，的中点是点， 当 时，， 点在线段上，即点是点关于线段的“倍中点”； 对于点，的中点是点， 当 时，， 点不在线段上，即点不是点关于线段的“倍中点”； 综上，点和是点关于线段的“倍中点”； 【小问2详解】 解：如图，平行四边形即为所求作的图形， 由题意可知，点关于线段的“倍中图”，就是以这条线段为中位线的第三边，如图中点关于线段的“倍中图”即为，此时是的中位线， 由中位线定理可知：，即当长度不变时，的长度不变， 线段关于线段的“倍中图”就是线段平移产生的图形，这个图形是线段或者平行四边形， 如图所示，图形为线段关于线段的“倍中图”是平行四边形，其中点关于线段的“倍中图”是，点关于线段的“倍中图”是， 则是的中点， 设点为， ，， ，， 解得，，即， 同理可得：，，， 该部分面积等于长方形面积减去四个直角三角形的面积， 即图形的面积为：； 【小问3详解】 解：如图所示：正方形的边长为， 正方形关于正方形的“倍中图”，如图所示，它是由一个与正方形共对角线的交点即点且边长为且各边都与坐标轴垂直或平行的正方形去除正方形的内部所得到的． 所以点到该部分的外边界与轴的交点的距离是，到该部分的内边界与轴的交点的距离是， 要使得线段上任一点都为正方形关于正方形的“倍中点”，只需该部分包括线段即可． 如图，当外边界与轴的右交点是点时，， 则； 如图，当内边界与轴的右交点是点时，， 则； 如图，当点在线段上时， 将点代入直线的解析式得：， 解得； 如图，当外边界与轴的左交点是点时，， 则； 综上所述：的取值范围是：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $