精品解析：2026年浙江省丽水市中考一模考试数学试题

2025学年第二学期初中适应性考试 九年级数学试题卷 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），全卷共4页，总分120分，考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题上填涂对应的试卷类型信息点． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 第一部分 选择题 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个符合要求的选项） 1. 的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图．分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图不同的几何体． 【详解】解：A、圆台的主视图和左视图都是梯形，本选项不符合题意； B、圆柱的主视图是长方形，左视图是圆，本选项符合题意； C、圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，本选项不符合题意； D、球的主视图和左视图相同，都是圆，本选项不符合题意． 故选：B． 3. 某AI机器人在展厅为8位参观者作咨询服务，咨询时长（单位：分钟）如下：4，6，5，7，5，9，5，8，这组数据的众数是（ ） A. 9分钟 B. 6分钟 C. 5.5分钟 D. 5分钟 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数的概念，只需统计每个数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可得到众数． 【详解】解：5是这组数据中出现次数最多的数，即这组数据的众数是5分钟． 4. 以下运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂乘法及除法，幂的乘方，利用合并同类项法则，同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，则选项符合题意． 故选：D． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用顶点式的特点即可得到顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 6. 将，，三根直木条按如图所示的位置摆放，且，，固定木条和，木条绕点顺时针旋转，则下列描述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转方向和旋转角可知旋转后，根据同位角相等，两直线平行，可得． 【详解】解：，木条绕点顺时针旋转， 可得旋转后， ， ， ． 7. 如图，在平面直角坐标系中，由绕点P旋转得到，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题属于确定旋转中心的知识，明确对应点连线的垂直平分线交点即为旋转中心； 作与的垂直平分线，两线交于一点； 根据网格图特征确定交点坐标即可使问题得解． 本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换中对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握网格结构，找出对应点的位置是解题的关键．经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，对应线段也相等． 【详解】如图，作出和的垂直平分线，它们的交点即为P点． 根据作出的图形可知点P的坐标为． 故选B． 8. 如图，正方形的边长为4，将其无重叠、无空隙地剪拼成菱形，其中，分别为，的中点，则菱形的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出如图的辅助线，得到，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意知， ， ， ， ∴，即菱形的边长为． 9. 龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干中的相等关系列方程组即可． 【详解】解：设杯身高为，底座高为， 根据杯身高与底座高之和是，可得：， 杯身高占总高的， 总高为， 杯顶高与杯身高之和是， 又杯顶高与杯身高之和是， ， 可列方程组为． 10. 如图，四边形内接于，是直径，连接，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作于点H，连接，由是直径，得到，由勾股定理可得，由三线合一定理得到，证明三点共线，求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于点H，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴，； 又∵， ∴， ∴O、D、H三点共线， 在中，由勾股定理得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，由条件可得，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 12. 化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式 计算即可． 【详解】解：． 13. 如图，电路图上有3个开关，，和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：设为①，为②，为③，画出树状图如下： 共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①，共4种， ∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：， 故答案为：． 14. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到用含的代数式表示的与，再代入，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解： 15. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象关于原点中心对称和直线过原点，可得点A、B的横纵坐标互为相反数，从而求出a、b的值，最后代入即可求解． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，， ，两点关于原点对称， ，， ，， ，， 则，解得． 16. 如图，在中，点在上，点关于直线的对称点落在内，延长交于点，交射线于点，延长交于点．当时，设，，则_________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得． 【详解】解：如图，延长交于点， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴ ∵，即 ∴ ∴即 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【详解】解：去括号得， 移项合并得， 解得． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，边长为1的小正方形组成的网格中，已知点，在网格的格点上． （1）在图1中，画一个以为边，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形； （2）在图2中，画一个以为对角线，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形． 【答案】（1）如图1，四边形即为所作； （2）如图2，四边形即为所作： 【解析】 【分析】（1）利用网格的特点，作一个底边为2，高为3且为边的平行四边形即可； （2）利用网格的特点，作一个底边为2，高为3且为对角线的平行四边形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某校为了解学生寒假在家期间进行体育锻炼的时间（单位：小时），随机抽取了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅统计图，请根据图中信息回答问题： （1）求所抽取的学生总人数； （2）若该校共有学生1800人，请估算该校学生进行体育锻炼的时间满足的人数． 【答案】（1）所抽取的学生总人数为60人； （2）估算该校学生进行体育锻炼的时间满足的人数约有600人． 【解析】 【小问1详解】 解：（人）， 答：所抽取的学生总人数为60人； 【小问2详解】 解：样本中的人数有（人）， （人）， 答：估算该校学生进行体育锻炼的时间满足的人数约有600人． 21. 【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 （1）如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 （2）在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 【答案】（1） （2）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得原函数为，根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，列式求解即可； （2）根据题意两个函数有交点，即方程在范围内有解，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数经过点， ∴将点代入函数：，即， ∴原函数为， 根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，设关联函数为， 则：， ∴， ∴函数的“关联函数”表达式为； 【小问2详解】 解：函数在上向上平移m个单位后， 解析式为：， 它的“关联函数”为， ∵两个函数有交点，即方程在范围内有解， 解方程：，得， ∴， 解不等式：，得， 解不等式：，得， ∴的取值范围是，则的最小值为． 22. 如图，已知是半圆的直径，点，在半圆上，且平分，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ， ． 平分， ， ． ． ， ， 又是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合已知条件，证明即可得证； （2）要求，尝试把放到直角三角形中，连接，显然，进而可知，由垂径定理及可得的长，问题得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于F， 是的直径， ， ， ， ，四边形为矩形， ， ． 在中，，由勾股定理，得 ． ． 【点睛】本题考查了圆的切线，垂径定理以及三角函数，掌握证明切线的常见方法“连半径证垂直”、求三角函数值时要尝试构造直角三角形等方法是解题的关键． 23. 已知二次函数的图象经过点和，点，是该二次函数图象上的两个动点，满足，且． （1）求该二次函数的表达式； （2）求的值； （3）已知一条平行于轴的直线过点交于点，一条平行于轴的直线过点交函数图象于，两点，且，求的最大值及此时对应的值． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，，再根据得到，据此可得答案； （3）设，则，可求出，，则直线的表达式，进而得到，进一步可推出，故当时，有最大值，最大值为6，根据题意可得点B和点C关于对称轴对称，则点B和点C到对称轴的距离都为3，求出点B的横坐标，进而求出点B的纵坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点，是该二次函数图象上的两个动点， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设，则， ∴，， ∴，； 设直线的表达式， 则，解得， ∴直线的表达式， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为6， ∵轴， ∴点B和点C关于对称轴对称， ∴点B和点C到对称轴的距离都为3， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴点B的横坐标为（不妨设点B在点C的左侧）， 在中，当时，， ∴． 24. 如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，． （1）若，求的长； （2）证明：； （3）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：连接， 为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， 在和中， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得是的中位线，推出，结合，即可求解； （2）连接，根据题意可得是的中位线，，推出，进而得到，结合推出，由是的中位线，推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）根据为的中点，得到，再根据为的中点，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：为的中点，为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：为的中点， ， 为的中点， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期初中适应性考试 九年级数学试题卷 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），全卷共4页，总分120分，考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题上填涂对应的试卷类型信息点． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 第一部分 选择题 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个符合要求的选项） 1. 的值是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ） A. B. C. D. 3. 某AI机器人在展厅为8位参观者作咨询服务，咨询时长（单位：分钟）如下：4，6，5，7，5，9，5，8，这组数据的众数是（ ） A. 9分钟 B. 6分钟 C. 5.5分钟 D. 5分钟 4. 以下运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 将，，三根直木条按如图所示的位置摆放，且，，固定木条和，木条绕点顺时针旋转，则下列描述正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，由绕点P旋转得到，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为4，将其无重叠、无空隙地剪拼成菱形，其中，分别为，的中点，则菱形的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 9. 龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形内接于，是直径，连接，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则_______． 12. 化简：__________． 13. 如图，电路图上有3个开关，，和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为________． 14. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 15. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为__________． 16. 如图，在中，点在上，点关于直线的对称点落在内，延长交于点，交射线于点，延长交于点．当时，设，，则_________（用含的代数式表示）． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，边长为1的小正方形组成的网格中，已知点，在网格的格点上． （1）在图1中，画一个以为边，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形； （2）在图2中，画一个以为对角线，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形． 20. 某校为了解学生寒假在家期间进行体育锻炼的时间（单位：小时），随机抽取了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅统计图，请根据图中信息回答问题： （1）求所抽取的学生总人数； （2）若该校共有学生1800人，请估算该校学生进行体育锻炼的时间满足的人数． 21. 【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 （1）如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 （2）在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 22. 如图，已知是半圆的直径，点，在半圆上，且平分，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 23. 已知二次函数的图象经过点和，点，是该二次函数图象上的两个动点，满足，且． （1）求该二次函数的表达式； （2）求的值； （3）已知一条平行于轴的直线过点交于点，一条平行于轴的直线过点交函数图象于，两点，且，求的最大值及此时对应的值． 24. 如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，． （1）若，求的长； （2）证明：； （3）当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $