精品解析：浙江省丽水市景宁县、松阳县2024-2025学年九年级中考一模数学试卷

2025年初中毕业生学业考试调研测试 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，有三大题，24小题，全卷满分120分．考试时间120分钟． 2．请用2B铅笔将选择题的答案填涂在答题卷相应位置上，用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题卷相应的答题区内．写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题卷上的《注意事项》，按规定答题． 祝你成功！ 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 若收入5元记为，则支出3元记为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 2. 人民网2024年12月29日消息：国家粮食和物资储备局最新数据显示，2024年全年粮食收购量保持在较高水平，预计达到8400亿斤左右．数8400用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，由四个相同正方体搭成的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 一次“垃圾分类”知识竞赛中7名同学的分数分别为95，85，90，85，90，80，90，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 85，95 B. 85，90 C. 90，95 D. 90，90 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的内接三角形，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是 A. y1＜0＜y2 B. y2＜0＜y1 C. y1＜y2＜0 D. y2＜y1＜0 9. 如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（a，m，k为常数，），若该函数过点和点，则实数k，s，t的大小关系可能是（ ） A. 时时 B. 时时 C. 时时 D. 时时 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：x2﹣3x=_____． 12. 学校要从小明、小红与小华三人中随机选取两人作为升旗手，则小明和小红同时入选的概率是_________． 13. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为__________. 14. 如图，在矩形中，已知，点P，Q分别是，的中点，连接，DQ，则四边形的周长是_________． 15. 如图，以菱形的顶点O为原点，边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，，，过C点的反比例函数部分图像交于点D，则的值为_________． 16. 如图，正方形中，E为边上一点，，点F在上，连接，满足，过点F作交于点G，若正方形的边长为，则的长为_________． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在5×5的方格纸中，三个顶点在格点上．用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留作图痕迹，不要求说明理由． （1）在边上找一点，使得； （2）将绕点顺时针方向旋转，画出旋转后的． 20. 2024年世界互联网大会・乌镇峰会于11月19日至22日在浙江乌镇举行，活动全面聚焦人工智能，为了解民众对人工智能的关注度，某社区志愿者随机抽取该社区部分居民进行调查，按四个类别：A表示“非常关注”，B表示“关注”，C表示“不怎么关注”，D表示“不关注”，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次共抽取了多少名居民进行调查统计?扇形图中C类所对应的圆心角为多少度? （2）将条形统计图补充完整； （3）该社区共有1200名居民，估计该社区表示“不关注”的D类居民大约有多少人? 21. 如图，中，用尺规作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求的值． 22. 同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． （1）求甲、乙两车各自的平均速度； （2）求线段所在直线的函数表达式． （3）乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 23. 已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）若时，，求m的取值范围； （3）若时，y的最大值为，求n的值． 24. 如图，四边形内接于，连结、交于点P，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业生学业考试调研测试 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，有三大题，24小题，全卷满分120分．考试时间120分钟． 2．请用2B铅笔将选择题的答案填涂在答题卷相应位置上，用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题卷相应的答题区内．写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题卷上的《注意事项》，按规定答题． 祝你成功！ 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 若收入5元记为，则支出3元记为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若收入5元记为，则支出3元记为， 故选：D． 2. 人民网2024年12月29日消息：国家粮食和物资储备局最新数据显示，2024年全年粮食收购量保持在较高水平，预计达到8400亿斤左右．数8400用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 3. 如图，由四个相同正方体搭成的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图．俯视图是从物体的上面向下看得到的视图，据此作答即可． 【详解】解：从上面向下看，从左到右有两排，且其正方形的个数分别为2、1，且为 故选：B． 4. 一次“垃圾分类”知识竞赛中7名同学的分数分别为95，85，90，85，90，80，90，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 85，95 B. 85，90 C. 90，95 D. 90，90 【答案】D 【解析】 【分析】本题为统计题，考查的是众数和中位数，要注意，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 中位数需将数据排序后取中间值，众数为出现次数最多的数，据此求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排列：80， 85， 85， 90， 90， 90， 95． ∵数据个数为7，是奇数， ∴中位数为第4个数，即90． ∵90出现3次，次数最多， ∴众数为90． ∴中位数和众数均为90． 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，包括幂的乘方、同底数幂相乘和相除，以及合并同类项．根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，， 错误； 选项B中，与不是同类项，不能合并， 错误； 选项C中，， 正确； 选项D中， ， 错误． 故选：C． 6. 不等式的解在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点、正确求得不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ， ． 在数轴上表示如下： ． 故选C． 7. 如图，是的内接三角形，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，根据直角所对的圆周角是直角得到的度数，则可求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是 A. y1＜0＜y2 B. y2＜0＜y1 C. y1＜y2＜0 D. y2＜y1＜0 【答案】B 【解析】 【详解】由反比例函数可知函数的图象在二、四象限， 在第二象限,在第四象限 故选B. 【点睛】反比例函数，时，图象在第一、三象限.时，图象在第二、四象限. 9. 如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据题意设和，则和，根据平行线的性质得和，可求得，则即可解得答案． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 即，化简得， 整理得， 得，解得（负值舍去）， ∴， 故选：B． 10. 已知二次函数（a，m，k为常数，），若该函数过点和点，则实数k，s，t的大小关系可能是（ ） A. 时时 B. 时时 C. 时时 D. 时时 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质，通过变量代换简化函数表达式，代入给定点坐标得到s和t关于k和a的表达式，进而比较大小关系． 【详解】解：设，则函数化为． ∵点对应， ∴． ∵点对应， ∴． ∴，． 当时，∵，∴； ∵，∴； 故． 当时，∵，∴； ∵，∴； 又，∴， 故． 选项A符合上述关系， 故选A 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：x2﹣3x=_____． 【答案】x（x﹣3） 【解析】 【详解】试题分析：提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）． 考点：因式分解. 12. 学校要从小明、小红与小华三人中随机选取两人作为升旗手，则小明和小红同时入选的概率是_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可得所有可能出现的情况有：小明，小红；小明，小华；小红，小华三种情况，则符合题意的只有1种，故概率为． 13. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设雀每只两，燕每只两，根据五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重，找到等量关系即可列出方程组. 【详解】∵雀每只两，燕每只两， 依题意可得 故填： 【点睛】此题主要考查列二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到等量关系. 14. 如图，在矩形中，已知，点P，Q分别是，的中点，连接，DQ，则四边形的周长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、三角形中位线的性质和勾股定理，根据矩形的性质得，结合题意得为的中位线，则、和 ，即可求得周长． 【详解】解：∵矩形中，， ， ∵点P，Q分别是，的中点， ∴为的中位线，，，， 四边形的周长， 故答案为：． 15. 如图，以菱形的顶点O为原点，边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，，，过C点的反比例函数部分图像交于点D，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，菱形的性质，三角函数，解一元二次方程． 作轴交轴于，作轴交轴于，根据菱形的性质得到，，根据三角函数求出，，即，代入可求出，设，根据三角函数可知，，则，可得，求出，即可求出的值． 【详解】解：如图，作轴交轴于，作轴交轴于， ∵菱形，， ∴，， ∵， ∴，， 即， ∵过C点的反比例函数部分图像交于点D， ∴， 即， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， 即， ∵过C点的反比例函数部分图像交于点D， ∴， 整理得： 解得，（舍去） ∴． 故答案为：． 16. 如图，正方形中，E为边上一点，，点F在上，连接，满足，过点F作交于点G，若正方形的边长为，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，先导角得到，然后证明，则，则，解中，求出，，再由面积法求得，那么，则，可得，证明出，再解斜即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得，， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 设，则， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线来解直角三角形． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，有理数乘方，化简绝对值，最后再计算加减法即可． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先利用完全平方公式和因式分解法化简分式，再代入求值． 【详解】解：原式 当 时，原式． 19. 如图，在5×5的方格纸中，三个顶点在格点上．用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留作图痕迹，不要求说明理由． （1）在边上找一点，使得； （2）将绕点顺时针方向旋转，画出旋转后的． 【答案】（1） 如图，点即为所求， （2） 如图所示，即为所求 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，全等三角形的性质与判定，画旋转图形， （1）取的格点，连接交于点，则点即为所求 （2）根据旋转的性质找到的对应点，进而画出． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 20. 2024年世界互联网大会・乌镇峰会于11月19日至22日在浙江乌镇举行，活动全面聚焦人工智能，为了解民众对人工智能的关注度，某社区志愿者随机抽取该社区部分居民进行调查，按四个类别：A表示“非常关注”，B表示“关注”，C表示“不怎么关注”，D表示“不关注”，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次共抽取了多少名居民进行调查统计?扇形图中C类所对应的圆心角为多少度? （2）将条形统计图补充完整； （3）该社区共有1200名居民，估计该社区表示“不关注”的D类居民大约有多少人? 【答案】（1）120名， （2）补全条形统计图： （3）大约有人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图． （1）由A组的人数除以占比即可求解抽取的人数；先计算出C组的占比，再由乘以占比即可求解圆心角； （2）先求出D组的人数，再补全条形统计图； （3）利用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：（名）； ； 【小问2详解】 解：D组的人数为（名）， 图略； 【小问3详解】 解：（名）， 答：“不关注”的D类居民大约有人． 21. 如图，中，用尺规作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得，，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． （1）先证明，再得到比例式，再由两边对应成比例且夹角相等证明； （2）由得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 22. 同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． （1）求甲、乙两车各自的平均速度； （2）求线段所在直线的函数表达式． （3）乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 【答案】（1）甲车的平均速度，乙车的平均速度 （2）直线的函数表达式 （3）乙车出发小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查数形结合的一次函数的性质，解题的关键是熟悉读懂图形的意义． （1）根据题干可知A，B两地之间的距离为120，为乙车的函数关系，结合坐标点即可求得速度；点为甲车事前停留位置，结合距离即可求得速度； （2）根据题干求得点D和点E的坐标，利用待定系数法即可求得解析式； （3）利用待定系数法求得直线的函数表达式，联立求得交点即为相遇点，进一步求相遇时间和距离即可． 【小问1详解】 解：由题意知A，B两地之间的距离为120， 为乙车的函数关系，则， 点为甲车事前停留位置，则， 故甲车的平均速度，乙车的平均速度； 【小问2详解】 解：由图可知点， ∵甲车途中有事保留了0.5小时． ∴点， 设直线的函数表达式，则 ， 解得， ∴直线的函数表达式； 【小问3详解】 解：由图可知点，， 设直线的函数表达式，则 ，解得， ∴直线的函数表达式， 联立， 解得， 则乙车出发小时后两车相遇， 相遇时乙车离A地的距离为． 23. 已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）若时，，求m的取值范围； （3）若时，y的最大值为，求n的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的表达式求解、给定区间下函数值的范围以及区间内最大值问题． （1）利用待定系数法求解析式； （2）通过分析函数图象和不等式确定m的范围； （3）通过区间位置讨论最大值存在条件，并解方程求n的值． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴代入得： ， 即， 解得， ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴函数最小值为，且当时，，当时，． ∵时，，且恒成立， ∴只需，即，且， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴m的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵， ∵， 当时，函数在区间上递减，最大值在处， ∴， 设最大值为， ∴， 即， 解得或， ∵， ∴； 当时，函数的最大值在处，同理解得或，不符合题意舍去； 当时，函数的最大值不存在； 当时，即，函数在递增，函数的最大值不存在， 综上，． 24. 如图，四边形内接于，连结、交于点P，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接并延长交于点F， ∵， ∴， 由垂径定理的推论可知，， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是切线． （2）证明：∵四边形内接于， ， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点F，由已知条件可得出，由垂径定理的推论可知，，再根据平行线的性质即可得出，进一步即可证明． （2）利用同弧所对的圆周角相等以及平行线的性质，结合等边对等角的性质进一步证明，由相似三角形的性质即可得证． （3）证明，由相似三角形的性质得出，设，，则，由勾股定理求出k值，进而求出，，最后根据（2）的结论即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ， 设，，则， ∴，， 在中， ，即， 解得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴. 【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，同弧所对的圆周角相等，证明某直线是圆的切线，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $