精品解析：上海市曹杨第二中学2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷

上海市曹杨二中2025学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷 考生注意： 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分） 1. 函数的最小正周期为______. 2. 已知，则________. 3. 已知，，则的最小值为________. 4. 已知，则___． 5. 已知，与的终边关于轴对称，则的取值范围是________. 6. 已知向量，，则的面积为________. 7. 若钝角三角形的三边长为、、，则a的取值范围是___________. 8. 已知，和是方程的两个根，则________. 9. 已知向量，，且，则在方向上的投影的取值范围是________. 10. 已知点为的重心，分别为边，上一点，为的中点，若，，三点共线，且，则的最大值为_____. 11. 在中，，则的最大值为________. 12. 已知是边长为的正三角形，平面上两动点、满足（且、、）．若，则的最大值为__________． 二、选择题（本大题共有4题，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，共18分） 13. 已知，，，函数的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则P所在的圆弧是（ ） A. B. C. D. 15. 已知向量满足且则中的最小值是（ ） A. B. C. D. 不能确定 16. 已知向量，且，若且，下列说法中正确的是（ ） ①对于任意的，总存在，使得成立； ②对于任意满足的，总存在，使得成立 A. ①正确，②不正确 B. ①不正确，②正确 C. ①正确，②也正确 D. ①不正确，②也不正确 三、解答题（本大题共有5题，共78分） 17. 在中，角的对边分别为，已知，. （1）若，求的面积； （2）若，是线段的中点，求的长. 18. 已知，向量，. （1）若为锐角，求的取值范围； （2）若，且，求和在方向上的投影的坐标. 19. 某市民活动中心内有一块以为圆心半径为米的半圆形区域，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在半圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点分别在圆周上，观众席为等腰梯形内且在半圆外的区域，其中，，且在点的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台中心处的距离都不超过米（即要求），设，. （1）当时，求舞台表演区域的面积及的长； （2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？ 20. 已知. （1）求函数的单调增区间； （2）设，求函数，的值域； （3）设且，将函数的图像上的点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像.若存在常数，使得关于恒成立，求满足条件的和. 21. 如图，已知，设，是平面内相交成角的两条射线，，分别为与，同向的单位向量，称为“-仿射坐标系”.在-仿射坐标系中，若，记. （1）在-仿射坐标系中，若，求； （2）在-仿射坐标系中，若，，且，的夹角为，求； （3）在-仿射坐标系中，，分别在射线，上，且.若，，分别为，的中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市曹杨二中2025学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷 考生注意： 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分） 1. 函数的最小正周期为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据，直接计算可得结果. 【详解】由正切函数的周期公式得：. 故答案为： 2. 已知，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式，结合“齐次式”的运算，即可求解. 【详解】因为，则. 故答案为：3. 3. 已知，，则的最小值为________. 【答案】2 【解析】 【详解】由向量三角不等式可知：当与方向相反时，有最小值， 所以的最小值为. 4. 已知，则___． 【答案】## 【解析】 【分析】由二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】由余弦的二倍角公式可得,又， 故答案为： 5. 已知，与的终边关于轴对称，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先求的范围，再通过与的关系找到与的关系. 【详解】因为，所以， 因为与的终边关于轴对称 所以， ， 所以. 6. 已知向量，，则的面积为________. 【答案】 ## 【解析】 【详解】 已知向量，，则，， ，进而，则. 进而三角形面积. 7. 若钝角三角形的三边长为、、，则a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知此三角形的最大边为，设此边所对应的角为，则为钝角，，结合余弦定理可得，再结合三角形的三边关系即可得答案. 【详解】解：因为， 所以此三角形的最大边为， 设此边所对应的角为，则为钝角， 由余弦定理可得， 即有， 整理得，解得， 又因为， 即，所以的取值范围为：. 故答案为： 8. 已知，和是方程的两个根，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理、两角和的正切展开式计算可得答案. 【详解】由题意和是方程的两个根， 则由韦达定理可知：， 所以，则，即. 9. 已知向量，，且，则在方向上的投影的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【详解】因，， 则在方向上的投影为 ， 因，则，故， 故在方向上的投影的取值范围是 10. 已知点为的重心，分别为边，上一点，为的中点，若，，三点共线，且，则的最大值为_____. 【答案】##0.5625 【解析】 【分析】利用三角形重心性质和共线向量基本定理推得，与已知式比较，得到，再运用基本不等式求解即得. 【详解】因为点 为 的重心，所以 . 因为三点共线，所以存在 使得 ， 则，又 则得 即 . 由图可知因当且仅当 时等号成立， 故的最大值为 . 故答案为：. 11. 在中，，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先用正弦定理角化边，找到与之间的关系，再用表示，最后求函数的最大值. 【详解】由正弦定理得 因为， 所以 ， 即， 则同号，与不能同时为钝角，所以， ， 因为，所以，当且仅当时取等 所以，则的最大值为. 12. 已知是边长为的正三角形，平面上两动点、满足（且、、）．若，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析出点、的位置，作出点所在的平面区域，取的中点，可得出，求出的最大值，即可得解. 【详解】， ，即， 因为且、、，则、，所以，， 所以，点在的边界及其内部， 因为，则点在如下图所示的封闭区域内，该区域由、、三条线段以及三段分别以、、为圆心，半径为且圆心角为的圆弧围成的区域， 其中四边形、、均为矩形，且， 取的中点，则，，， 所以，， 连接并延长交于点，此时， 因此，. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路： 一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； 二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 二、选择题（本大题共有4题，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，共18分） 13. 已知，，，函数的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像和选项求出A，根据周期求出，根据求出. 【详解】根据图象知，函数最大值为，因此. 根据图像知，，解得. 将最高点代入，即， 解得，即. 因为条件​，得，因此函数为. 14. 如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则P所在的圆弧是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数定义解决即可. 【详解】设点的坐标为，所以由三角函数的定义可得 ， 因为，即， 由图知，对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错； 对于B，在第三象限，且，不满足题意，故B错； 对于C，在第三象限，且，满足题意，故C正确； 对于D，在第四象限，且，不满足题意，故D错. 故选：C. 15. 已知向量满足且则中的最小值是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据零向量与任何向量的数量积为零，得到关于的关系式，再利用的到不等式，即可得到答案。 【详解】 解得 解得 解得 故中的最小值是是 故选： 【点睛】本题考查向量的数量积上的运算，关键是利用零向量与任意向量的数量积为零，构造关系式，属于中档题。 16. 已知向量，且，若且，下列说法中正确的是（ ） ①对于任意的，总存在，使得成立； ②对于任意满足的，总存在，使得成立 A. ①正确，②不正确 B. ①不正确，②正确 C. ①正确，②也正确 D. ①不正确，②也不正确 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的几何意义，可知或，再在中判断的存在性即可. 【详解】设， 因为， 当时，方程明显成立， 当时，即， 又， 所以，又，所以， 又，所以点在直线上， 又，所以， 即点在与垂直的直线上， 当，即点在点处时，此时点在轴上（不含原点），无法满足， 即命题①不正确； ， ，即点在以为直径的圆上， 又，所以同向， 所以当时，，此时不存在点使， 故命题②不正确； 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，共78分） 17. 在中，角的对边分别为，已知，. （1）若，求的面积； （2）若，是线段的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式，正弦定理以及三角形面积公式求解即可； （2）利用余弦定理与向量数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 在中，由， 所以 ， 因为，由正弦定理，可得，则， 所以. 【小问2详解】 如图所示： 因为， 由余弦定理：，解得， 因为是线段的中点，所以， 所以， 即 ， 所以. 18. 已知，向量，. （1）若为锐角，求的取值范围； （2）若，且，求和在方向上的投影的坐标. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）由与的夹角为锐角，得到且与不共线，列出不等式组，即可求解； （2）由，根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求得，结合向量数量积坐标运算及投影向量的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 若与的夹角为锐角，则且与不共线， 则满足，解得且， 实数的取值范围为． 【小问2详解】 由，可得 因为，可得，解得或 又因为，所以，此时，可得且， 所以在方向上的投影向量. 19. 某市民活动中心内有一块以为圆心半径为米的半圆形区域，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在半圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点分别在圆周上，观众席为等腰梯形内且在半圆外的区域，其中，，且在点的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台中心处的距离都不超过米（即要求），设，. （1）当时，求舞台表演区域的面积及的长； （2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？ 【答案】（1）舞台表演区域的面积为平方米；的长为米； （2）对于任意，上述设计方案均能符合要求. 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理可直接求得结果； （2）在中，利用余弦定理可求得；在中，利用余弦定理可表示出，结合三角恒等变换和正弦型函数值域的求解方法可求得，由此可得结论. 【小问1详解】 由题意知：，又，， ，， 即舞台表演区域的面积为平方米；的长为米. 【小问2详解】 ，， 在中，由余弦定理得：，即， 又， ； ，，，， ，即观众席内每一个观众到舞台中心处的距离都不超过米， 对于任意，上述设计方案均能符合要求. 20. 已知. （1）求函数的单调增区间； （2）设，求函数，的值域； （3）设且，将函数的图像上的点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像.若存在常数，使得关于恒成立，求满足条件的和. 【答案】（1） （2） （3）​ 或  【解析】 【分析】（1）化简函数，根据正弦函数的单调性求解即可. （2）换元法，再结合二次函数的最值求解即可. （3）根据题意得到，再利用两角和的正弦公式把，进而分析出. 【小问1详解】 . 令，解得. 单调增区间为 . 【小问2详解】 当时，，因此.  令，则，，该函数开口向上，对称轴为. 最小值：.令，则，时.  则值域. 【小问3详解】 横坐标变为原来的倍，. 由对任意恒成立，得. 展开整理得对任意恒成立， 因此系数均为0，即.​ 由同角三角函数关系得，即. 若，，得，即. 若，，即，得，即.  综上，​ 或 . 21. 如图，已知，设，是平面内相交成角的两条射线，，分别为与，同向的单位向量，称为“-仿射坐标系”.在-仿射坐标系中，若，记. （1）在-仿射坐标系中，若，求； （2）在-仿射坐标系中，若，，且，的夹角为，求； （3）在-仿射坐标系中，，分别在射线，上，且.若，，分别为，的中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合向量的内积，即可求解； （2）分别求出，结合向量夹角公式，列出方程求解即可. （3）设点坐标，根据得到关系，再表示出，再根据向量的内积以及正弦定理求解即可. 【小问1详解】 已知是单位向量，夹角为，故，，. 因为，，所以， 则，即. 【小问2详解】 已知，，则，. 进而. . 已知夹角为​，故，即， 解得. 【小问3详解】 设，，则. ，则. 由​，​​，，则. 因为，所以. 因为为中点，所以； 因为为中点，所以. 所以. 在中，由正弦定理得，，即，， 所以 (其中) 所以. ​ 因此，故， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $