精品解析：浙江嘉兴一中实验学校2025-2026学年第二学期高一年级数学期中模拟试卷

2025-2026学年第二学期高一年级数学期中模拟试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 记复数的共轭复数为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算即可得到，再由复数的模长公式，即可得到结果. 【详解】由可得， 所以. 故选：C 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算,再结合平行向量的坐标运算即可求参. 【详解】由题意可得，因为，所以，解得， 故选:C． 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 长方体是正四棱柱 B. 圆锥的底面半径可以比圆锥的母线长 C. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 D. 四个面都是等边三角形的四面体是正四面体 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由常见几何体的几何结构，依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，正四棱柱的底面是正方形，则长方体不一定是正四棱柱，A错误； 对于B，从圆锥的轴截面可知，圆锥的底面半径不可能比母线长，B错误； 对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台，C错误； 对于D，四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故D正确． 故选：D． 4. 如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】 . 故选：D 5. 已知四边形用斜二测画法画出的直观图为直角梯形，如图所示，，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形把斜二测图形转化为实际图形，再计算周长即可. 【详解】由题意可知，如图所示，过点作， 垂足为，则四边形的高为 ， 故四边形的周长为. 故选：A. 6. 如图，在矩形ABCD中，，E为边AB上的任意一点（包含端点），O为AC的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：设，然后用，分别表示出，，从而由平面向量的数量积运算并结合的范围求得结果； 法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，然后求出，，从而由向量的坐标运算并结合m的范围求得结果． 【详解】法一：设， 因为O为AC的中点，所以， 所以．又， 所以， 因为，所以， 所以； 法二：以A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设， 所以，，所以． 因为，所以， 即. 故选：A． 7. 在中，角所对的边分别为，，，已知，，，若满足题意的三角形有两个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意有，利用正弦定理有，即可求解. 【详解】由正弦定理有， 又， 所以， 故选：B. 8. 如图，在平面四边形中，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先在中，根据已知条件求出的长度.然后在中，利用余弦定理建立的关系，最后结合基本不等式求出的最小值. 【详解】在中，已知，，，即. 所以，同时.  在中，，根据余弦定可得：，即.  由基本不等式（当且仅当时取等号）. 将代入中，得到. 设，则.解得，即. 当且仅当取得最值. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用向量模的三角不等式可判断C选项；利用投影向量的定义以及平面向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，化简可得，A对； 对于B选项，若，则， 又因为，解得或，B错； 对于C选项，， 当且仅当、同向时，即当时，即当时，等号成立， 故的最大值为，C对； 对于D选项，若，则， 则在上的投影向量为，D错. 10. 在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则一定是等腰直角三角形 D. 若，，则一定是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题通过正弦定理、余弦定理及三角恒等变换分析：A由大角对大边结合正弦定理，可推出；B利用余弦函数性质，结合三角形内角范围，由得，判定为等腰三角形；C 由正弦定理与二倍角公式得，推出或，故为等腰或直角三角形，非一定等腰直角；D 由余弦定理结合，，，推得，结合角判定为等边三角形． 【详解】对于A，在中，根据大角对大边，由，得， 由正弦定理，得，所以，A正确； 对于B，由，得或（即，显然不构成三角形，舍去）， 所以，为等腰三角形，B正确； 对于C，由，得，所以， 所以，，， 又，所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不一定是等腰直角三角形，C错误； 对于D，，， 由，得， 化简得，解得， 又，所以是等边三角形，D正确． 11. 如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ） A. 直三棱柱侧面积是 B. 直三棱柱体积是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积和体积即可判断A与B；由棱锥底面积与高为定值判断C；设BE＝x，列出AE+EC1关于x的函数式，结合其几何意义求出最小值判断D． 【详解】在直三棱柱中，，， 底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+，故A正确； 直三棱柱的体积为，故B不正确； 由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点， 三棱锥的高为定值， ××2＝，××＝，故C正确； 设BE＝x，则B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其几何意义， 即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当为的中点时，其最小值为，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查直三棱柱的侧面积和体积的求法，函数思想求最值问题，空间想象能力和思维能力，属于中档题． 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：根据复数的几何意义与点和圆的位置关系求解；方法二：利用不等式求解. 【详解】方法一：因为， 所以在复平面内对应的点是复平面内到点的距离为4的点的集合，如图所示． 由图象可知， 当时，， 当时，， 所以的取值范围是． 方法二：因为， 又, 所以． 故答案为: . 13. 设的内角所对边的长分别为. 若，，则__________. 【答案】## 【解析】 【详解】，由正弦定理得，即， 因为，所以， 所以. 14. 如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直棱柱的体积公式，可得答案. 【详解】设长方体的长宽分别为，则由左图可得水的体积， 设右图中长方体底面被水浸到的矩形的未知边为，显然此时水的形状为三棱柱， 底面为直角边分别为的直角三角形，高为，则水的体积为， 由题意可得，解得，由，解得. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）求和； （2）若复数是关于的方程的一个根，求的值． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用复数的除法运算求出复数，再求其共轭复数和模长即可； （2）根据实系数方程的根的定义代入方程，利用复数相等得出的方程组，求解即可. 【小问1详解】 因复数， 则，. 【小问2详解】 因为是关于的方程的一个根， 所以，整理得：， 即， 故有，解得：，． 16. 已知向量，． （1）当∥时，求x的值； （2）当x=-1时，求向量与的夹角的余弦值； （3）当时，求． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由平面向量平行坐标表示即可求得答案； （2）由平面向量数量积的坐标运算和夹角公式即可求得答案； （3）由平面向量垂直的坐标运算求出参数，进而求出向量的模. 【小问1详解】 ∵，∴，即． 【小问2详解】 ∵，，． ∴向量与向量的夹角的余弦值为． 【小问3详解】 依题意 ，∵，∴． 即，∴．∴，． 17. 如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点． （1）求该正三棱柱的体积； （2）求三棱锥的体积； （3）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由正三棱柱的体积公式求解即可； （2）由的体积等于，分别求出的体积代入即可得出答案. （3）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示,当三点共线时，取得最小值，求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 因为， ， 所以 【小问3详解】 将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当三点共线时，取得最小值， 且最小值为． 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，． （1）若，求，的值； （2）若的面积为，求的大小及的周长． 【答案】（1）， （2）或，周长为或 【解析】 【分析】（1）由正弦定理计算得，根据，再次利用正弦定理计算得； （2）由三角形面积公式计算得，再由余弦定理计算得后，即可计算三角形周长. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又，所以， 因为，由正弦定理得，所以． 【小问2详解】 的面积，则， 因为，所以或． 当时，，得， 的周长为； 当时，，得， 的周长为． 综上，的周长为或． 19. 如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： （1）若为的中点，求证：平面； （2）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）证明：如图，连接交于点，连接，，，则为的中点， 当为的中点时，， 又平面，平面，所以平面； （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明； （2）分析可得在侧棱上是否存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在侧棱上存在点，使得平面，满足， 理由如下：取的中点，由，得， 过作的平行线交于，连接，，中，有， 又平面，平面，所以平面， 由，得， 又，又平面，平面， 所以平面，又，，平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面， 即在侧棱上存在点，使得平面，满足． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一年级数学期中模拟试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 记复数的共轭复数为，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 长方体是正四棱柱 B. 圆锥的底面半径可以比圆锥的母线长 C. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 D. 四个面都是等边三角形的四面体是正四面体 4. 如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知四边形用斜二测画法画出的直观图为直角梯形，如图所示，，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形ABCD中，，E为边AB上的任意一点（包含端点），O为AC的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角所对的边分别为，，，已知，，，若满足题意的三角形有两个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面四边形中，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则在上的投影向量为 10. 在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则一定是等腰直角三角形 D. 若，，则一定是等边三角形 11. 如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ） A. 直三棱柱侧面积是 B. 直三棱柱体积是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则的取值范围是__________． 13. 设的内角所对边的长分别为. 若，，则__________. 14. 如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）求和； （2）若复数是关于的方程的一个根，求的值． 16. 已知向量，． （1）当∥时，求x的值； （2）当x=-1时，求向量与的夹角的余弦值； （3）当时，求． 17. 如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点． （1）求该正三棱柱的体积； （2）求三棱锥的体积； （3）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值． 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，． （1）若，求，的值； （2）若的面积为，求的大小及的周长． 19. 如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： （1）若为的中点，求证：平面； （2）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $