精品解析：浙江省清华附中嘉兴实验高级中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题（B）

浙江省清华附中嘉兴实验高级中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题（B） 2025.04 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、考号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题纸规定的位置上。 2.答题时，请按照答题纸上“考生须知”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的（ ）条件. A 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 2. 已知复数z＝(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝（ ） A 0 B. 1 C. －1 D. ±1 3. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为（ ） A. 45° B. 105°或15° C. 15° D. 135°或45° 4. 已知向量，且与夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 5. 设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 中，，，为的中点，，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 7. 在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为，不过球心的任意非圆面的截面的面积为，则（ ） A. B. C. D. ､的大小关系不定 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 与向量同向的单位向量是 10. 如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（     ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线 C. 与平行 D. 直线与共面 11. 设棱长为 的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图面积为______． 13. 已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为，则该正四棱锥的表面积为__________. 14. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）与的夹角． 16. 设的内角的对边分别为，． （1）求； （2）若，求． 17. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. （1）计算该模型的体积.（结果精确到） （2）现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 18. 如图，在三棱柱中，D在线段AC上． （1）若D是AC中点，求证：平面； （2）若M为BC中点，直线平面，求． 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种，设，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点） （1）若，求A,B之间的余弦距离； （2）已知，若，求M、P之间的曼哈顿距离； （3）若点，求最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省清华附中嘉兴实验高级中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题（B） 2025.04 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、考号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题纸规定的位置上。 2.答题时，请按照答题纸上“考生须知”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的（ ）条件. A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】两条直线为异面直线，则这两条直线没有公共点， 反之，两条直线没有公共点，这两条直线平行直线或是异面直线， 所以两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的充分不必要条件. 故选：B 2. 已知复数z＝(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. ±1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的概念即可求解. 【详解】复数z＝(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是纯虚数， 易得，解得a＝－1. 故选：C 【点睛】本题考查了复数的概念，属于基础知识，需熟练掌握. 3. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为（ ） A. 45° B. 105°或15° C. 15° D. 135°或45° 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理求得，再根据角的范围求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则,(或因)，故角为135°或45°. 故选：D. 4. 已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】依据题给条件列出关于的不等式组，解之即可求得实数的取值范围 【详解】向量，且与的夹角为钝角 则，则，且与不共线 则，解之得 故选：A 5. 设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定定理和性质逐一判断即可． 【详解】对于A，由，与可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由，与可能平行或相交，故B错误； 对于C，由线面平行的性质定理可得，故C正确； 对于D，由，则与可能平行或异面，故D错误. 故选：C 6. 中，，，为的中点，，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用基底向量分别表示和，再进行向量数量积运算即得解. 【详解】中，依题意， ， . 故选：A 7. 在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为，不过球心的任意非圆面的截面的面积为，则（ ） A. B. C. D. ､的大小关系不定 【答案】A 【解析】 【分析】先分析出过球心的截面为一个圆环，外半径为2，内半径为1，求出其面积，再求出不过球心的任意非圆面的截面的面积，即可得到答案. 【详解】过球心的截面为一个圆环，外半径为2，内半径为1，其面积为； 设球心到不过球心的任意非圆面的截面的距离为，则该截面的面积 ，所以. 故选：A. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以BC所在直线为轴，以BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算求出即可求解. 【详解】解：以BC所在直线为轴，以BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，，所以，，，设，， 则，，， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是， 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 与向量同向的单位向量是 【答案】AD 【解析】 【分析】分别用平面向量垂直的坐标表示，共线向量定理，平面向量模的坐标表示，与已知向量同向的单位向量的求解公式判断即可. 【详解】对于选项,因为，所以，所以，则正确； 对于选项，因为，所以不存在实数使，所以向量与不平行，则不正确； 对于选项，因为，所以，则不正确； 对于选项，因为向量的模为，所以与向量同向的单位向量为， 即，则正确； 故选：. 10. 如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（     ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线 C. 与平行 D. 直线与共面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D. 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 11. 设棱长为 的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】分别求得正四面体的内切求半径和外接球半径，再对选项进行逐一判断即可. 【详解】对正四面体，设其棱长为，过作面，显然为面的中心，连接，如下所示： 在三角形中，，故可得； 不妨设内切球球心为，连接， 又的表面积， 由等体积法可得：，即，解得； 在棱长为的正方体中，其外接球即为正四面体的外接球， 故； 对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对CD，显然错误. 故选：AB. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图和原图的关系，由可求解. 【详解】解：由题可得直观图面积：， 由可得：原图面积为：， 故答案为：. 13. 已知一个正四棱锥底面边长为1，高为，则该正四棱锥的表面积为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据正四棱锥的结构特征，求出正四棱锥的斜高，再求出表面积. 【详解】如图，四棱锥为正四棱锥，高，底面边长， 过点作于，则是的中点，连接，于是斜高， 所以正四棱锥的表面积. 故答案为：4 14. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米. 【答案】 【解析】 【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求出，最后利用余弦定理进行求解即可. 【详解】设塔的高， 在中，，同理可得，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）与的夹角． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义及运算律先求出的值，再计算的值. （2）根据数量积的定义及运算律先算出和的值，再根据夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为，，且与的夹角为， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， ， 所以， 因为， 所以与的夹角为. 16. 设的内角的对边分别为，． （1）求； （2）若，求． 【答案】（1），（2）或 【解析】 【分析】（1）由得，结合余弦定理可求出; （2）由三角形内角和定理可知，由可求出或，解之即可. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以， （2）由（1）知，所以 ， 因为，，所以， 所以或， 因为， 所以或. 17. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. （1）计算该模型的体积.（结果精确到） （2）现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 【答案】（1） （2）（元） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解； （2）求出该模型的表面积，进而可得出答案. 【小问1详解】 设圆锥的高为， 由题意得圆锥母线为10cm， 则， ； 【小问2详解】 圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积. ， 故总费用为（元）. 18. 如图，在三棱柱中，D在线段AC上． （1）若D是AC中点，求证：平面； （2）若M为BC的中点，直线平面，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，连接OD，证明，证明平面； （2）设交于点E，连接DE，得到，利用平行即可求解. 【小问1详解】 连接交于点O，连接OD， ∵三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴O为的中点， 又∵D为AC的中点，∴ ∴平面，平面，∴平面 【小问2详解】 设交于点E，连接DE, ∵平面，平面，平面平面 ∴，∴ 又∵四边形为平行四边形，M为BC的中点 ∴，∴ 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种，设，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点） （1）若，求A,B之间的余弦距离； （2）已知，若，求M、P之间的曼哈顿距离； （3）若点，求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦距离的定义求解. （2）利用向量夹角公式及和差角的正余弦公式求出点的坐标，再利用曼哈顿距离定义求解. （3）根据曼哈顿距离的定义先得出N的轨迹，再根据余弦函数的性质数形结合求出余弦距离的最大值. 【小问1详解】 依题意，，则， 因此， 所以A,B之间的余弦距离. 【小问2详解】 ， ，， ， ， ， 由，得，， ， ，，， 所以M、P之间的曼哈顿距离 【小问3详解】 设，由，得， 即的轨迹，作出的轨迹图形，如图， 当且仅当最小时，取得最大，由图象知当时，最大， 又，余弦函数在上单调递减，此时最小， 由对称性不妨取，，， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$