精品解析：吉林省长春市第四十五中学2025- 2026.学年下学期七年级数学期中试题(A卷)

七年级数学学科阶段练习（A） 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、含一个未知数，不是二元一次方程，故不符合题意； B、是二元一次方程，故符合题意； C、是一元一次方程，故不符合题意； D、含未知数的项的从次数是2，不是二元一次方程，，故不符合题意； 故选：B． 2. 如图，已知公园和车站到学校的距离分别是和，则公园和车站的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设公园和车站的距离是，得到，即可得到答案． 【详解】解：设公园和车站的距离是， 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∴公园和车站的距离可能是． 故选：B． 3. 如果，下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：A、两边都减3，不等号的方向不变，故选项A错误，不符合题意； B、两边都加3，不等号的方向不变，故选项B正确，符合题意； C、两边都乘以，不等号的方向改变，故选项C错误，不符合题意； D、两边都除以3，不等号的方向不变，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分别解两个不等式，求出解集，然后在数轴上表示出来． 【点睛】解：解不等式，得． 解不等式，得．   不等式组的解集为． 在数轴上表示为：处为实心点，处为空心圈． 5. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 6. 《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价值多少？若设有个人，该物品价值元，则列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组． 设有个人，该物品价值元，根据每人出元，多元；每人出元，少元，列出方程组即可． 【详解】解：设有个人，该物品价值元， 根据题意可得：； 故选：C 7. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解不等式组，利用m表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解即可求得m的范围． 【详解】解：， 解①得x＜m， 解②得x≥3． 则不等式组的解集是3≤x＜m． ∵不等式组有4个整数解， ∴不等式组的整数解是3，4，5，6． ∴6＜m≤7． 故选B． 【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 8. 如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为．一支激光笔从点处发出的光束投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处．设光束所在直线与挡板的交点为，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，延长交n于K，由三角形的外角性质得到，由平行线的性质推出． 【详解】解：延长交n于K， ∵平面镜与挡板n形成的锐角为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 将方程2x+y=5变形为用关于x的代数式表示y，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将x看做常数移项即可得答案． 【详解】解：将方程2x+y=5变形成用x的代数式表示y为y=5-2x， 故答案为：5-2x． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y． 10. 如果关于的方程的解是2，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义和一元一次方程的解法， 把代入所给方程可得关于m的方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案． 【详解】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解本题的关键． 12. 若关于，的二元一次方程组的解满足不等式，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解．先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， ， ， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积是 ____________. 【答案】4 【解析】 【详解】解：是中线， 同理可得： ， 由中线性质，可得AG=2GD，则 ， ∴阴影部分的面积为4； 故答案为：4. 14. 如图，在中，，，的平分线交于点，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点．有下列结论：①；②；③；④；⑤．所有正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据角平分线的定义及三角形外角的性质可求出的度数，判定①；根据角平分线的定义及三角形内角和定理可求出的度数，判定②；根据内外角平分线的性质求出，进而求出，再求出，判定③；根据邻补角的角平分线互相垂直判定④；根据平行线的判定条件分析⑤． 【详解】解：平分，平分， ， ， ，， ， ， ，故①正确； ，分别平分，， ，， ，故②错误； 平分，平分， ， ， 如图， 平分，平分 ， ， ， ，故③正确； 平分，平分， ， ，故④正确； 若，则， ， ，即 ，题目未给出，故⑤不一定正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 三、解答题（共10小题，满分78分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 16. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，掌握加减消元法是解题关键． 【详解】解： 得：， 解得：； 将代入①得：， 解得： ∴原方程组的解为： 17. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 18. 小郑今年岁，比妈妈的年龄小岁，几年后，小郑的年龄是妈妈的一半？ 【答案】年后，小郑的年龄是妈妈的一半 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解题的关键．设年后，小郑的年龄是妈妈的一半，根据题意得，即可求解． 【详解】解：设年后，小郑的年龄是妈妈的一半， 根据题意得： 答：年后，小郑的年龄是妈妈的一半． 19. 若方程解是关于x的不等式的m的值，求这个不等式的最大整数解． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，求一元一次不等式的最大整数解，先解方程得到，再把代入到不等式中，解不等式求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴原不等式的最大整数解为1． 20. 如图，在中，是斜边上的高， 根据以下问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． （1）求的度数： 解：（1）（已知）， ________ （________________________）． ________________ （2）求的度数． 解：（2）________， ________（等式的性质）． （已知）， ________ 【答案】（1），三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，90，125 （2），，35 【解析】 【分析】（1）首先由三角形的高的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解； （2）利用三角形外角的性质求解． 【小问1详解】 解：（已知）， （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ； 【小问2详解】 解：， （等式的性质）． （已知）， ． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中画的高． （2）在图②中画的中线． （3）在图③中边上找一点，连接，使将分成面积比为的两部分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点D，连接即可； （2）取的中点E，连接即可； （3）找到的三等分点和，连接，即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点或即为所求． 22. 某文体书店销售，两种跳绳，购买2条种跳绳和3条种跳绳共计35元，购买6条种跳绳和4条种跳绳共计80元． （1）求种跳绳和种跳绳每条的价钱； （2）现该文体书店对，两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条种跳绳，赠送一条种跳绳 促销方案二 买种或种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买，两种跳绳，且种跳绳比种跳绳多买20条．请问购买种跳绳的多少条时，该校选择促销方案一合适． 【答案】（1）种跳绳每条10元，种跳绳每条5元 （2）购买种跳绳多于10条时，该校选择促销方案一合适. 【解析】 【分析】（1）设种跳绳每条元，种跳绳每条元，根据已知条件列出方程组求出两种跳绳的单价； （2）分别计算两种促销方案的花费，通过比较花费来确定合适的方案． 【小问1详解】 解：设种跳绳每条元，种跳绳每条元， 根据题意得，，解得， 答：种跳绳每条10元，种跳绳每条5元． 【小问2详解】 解：设购买种跳绳条，则购买种跳绳条， 促销方案一的花费： ∵购买条种跳绳，获赠条种跳绳，还需购买 条种跳绳， ∴（元）， 促销方案二的花费：（元）， 当 ，解得， ∴当时，即购买种跳绳多于10条时，该校选择促销方案一合适． 23. 【感知】（1）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．若，则 °， °． 【探究】（2）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：． 【拓展】（3）如图②，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，则的大小为 （用含的代数式表示）． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）先求得，， ，再结合三角形的外角的性质可得结论； （2）先证明，，再结合三角形的外角的性质可得结论； （3）先求解，结合角平分线可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：（1），是高，， ，， 是角平分线， ， ，， 故答案为：，； （2）证明：，是高， ，， ， 是角平分线， ， ，， ； （3）∵， ， 为的角平分线， ， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质解题是关键． 24. 【课本原题】教材第62页例2 利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； （2）如果a、b、c、d都是正数，且，，那么． 解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． （2）…… 证明过程缺失 请你补全证明中缺失的过程． 【应用】已知，且，． （1）求的取值范围． （2）直接写出的取值范围． 【拓展】一家具生产企业，生产学生用的课桌椅，一张桌子的售价比一把椅子高50元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过90元，直接写出售一套桌椅（一张桌子+一把椅子）定价的范围（定价用w表示）． 【答案】课本原题，（2）见解析；应用，（1）；（2）；拓展，出售一套桌椅（一张桌子+一把椅子）定价的范围． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 课本原题，由， c是正数，推出，再由，b是正数，推出，计算即可证明结论成立； 应用，（1）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用方法与步骤解答即可； （2）求得，根据可求得最大值和最小值，据此解答即可； 拓展，设每张椅子的价格为x元，则每张桌子的价格为元，由已知可知，再求出的范围即可． 【详解】解：【课本原题】 （2）∵， c是正数， ∴， ∵，b是正数， ∴， ∴； 【应用】 （1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， 当时，， 当时，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴； 【拓展】 设每张椅子的价格为x元，则每张桌子的价格为元， 由已知可知， 解得， ， ， ， ， 答：出售一套桌椅（一张桌子+一把椅子）定价的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学学科阶段练习（A） 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知公园和车站到学校的距离分别是和，则公园和车站的距离可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价值多少？若设有个人，该物品价值元，则列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为．一支激光笔从点处发出的光束投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处．设光束所在直线与挡板的交点为，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 将方程2x+y=5变形为用关于x的代数式表示y，则________． 10. 如果关于的方程的解是2，则的值是______． 11. 如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是________． 12. 若关于，的二元一次方程组的解满足不等式，则的取值范围是______． 13. 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积是 ____________. 14. 如图，在中，，，的平分线交于点，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点．有下列结论：①；②；③；④；⑤．所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共10小题，满分78分） 15. 解方程：． 16. 解方程组：． 17. 解不等式：． 18. 小郑今年岁，比妈妈的年龄小岁，几年后，小郑的年龄是妈妈的一半？ 19. 若方程解是关于x的不等式的m的值，求这个不等式的最大整数解． 20. 如图，在中，是斜边上的高， 根据以下问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． （1）求的度数： 解：（1）（已知）， ________ （________________________）． ________________ （2）求的度数． 解：（2）________， ________（等式的性质）． （已知）， ________ 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中画的高． （2）在图②中画的中线． （3）在图③中边上找一点，连接，使将分成面积比为的两部分． 22. 某文体书店销售，两种跳绳，购买2条种跳绳和3条种跳绳共计35元，购买6条种跳绳和4条种跳绳共计80元． （1）求种跳绳和种跳绳每条的价钱； （2）现该文体书店对，两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条种跳绳，赠送一条种跳绳 促销方案二 买种或种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买，两种跳绳，且种跳绳比种跳绳多买20条．请问购买种跳绳的多少条时，该校选择促销方案一合适． 23. 【感知】（1）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．若，则 °， °． 【探究】（2）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：． 【拓展】（3）如图②，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，则的大小为 （用含的代数式表示）． 24. 【课本原题】教材第62页例2 利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； （2）如果a、b、c、d都是正数，且，，那么． 解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． （2）…… 证明过程缺失 请你补全证明中缺失的过程． 【应用】已知，且，． （1）求的取值范围． （2）直接写出的取值范围． 【拓展】一家具生产企业，生产学生用的课桌椅，一张桌子的售价比一把椅子高50元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过90元，直接写出售一套桌椅（一张桌子+一把椅子）定价的范围（定价用w表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $