精品解析：吉林长春市第八十七中学2025-2026学年下学期八年级数学期中测试卷

数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程3x2-x-2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. 3，-1，-2 B. 3，1，-2 C. 3，-1，2 D. 3，1，-2 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. B. C. D. ，，， 3. 一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形四边形，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 9 B. 3 C. 5 D. 14 6. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若已知，则的值为_________． 10. 若是关于x的一元二次方程的解，则的值为______． 11. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则其身高约是_________厘米．（精确到） 12. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、都在格点上，点是线段与网格线的交点，则的长为_________． 13. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________． 14. 如图，在菱形中，，点M，N是边，上任意两点，将菱形沿翻折，点A恰巧落在对角线上的点E处，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若菱形边长为4，M是的中点，连接，则线段，其中正确的结论有：_______（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 已知关于的一元二次方程为常数． （1）当时，求该方程的实数根； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 17. 如图，在和中，已知，．求证：． 18. 2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． （1）求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； （2）该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 19. 如图，红红同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，求树高． 20. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F． （1）证明：； （2）若，，，则点A到直线的距离为______． 21. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上． （1）在图①中的边上找到一点，连结，使； （2）在图②中的边上找到一点，连结，使； （3）在图③中的边上找到一点，连结，使． 22. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米； （2）若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． （3）建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由． 23. 综合与探究 （1）【初步感知】如图1，是的中线，点在边上，且，连接交于点，过点作交于点，则的值为___________； （2）【尝试应用】如图2，在中，点为边上一点，且，连接，过点作于点，延长交边于点．若，求的长； （3）【问题解决】如图3，某市有一处形状为的物流中心，现计划在边上设立一处装卸点，点为边的中点，并在边上找一点，设立一个仓库，使得，沿、铺设两条水泥路，连接，与、分别交于点、，并在点、处设立临时中转站，你能帮助工作人员求出的值吗？如果能，请直接写出的值（水泥路宽度及中转站、装卸点、仓库大小均忽略不计）． 24. 在中，，，，点P在边上，点Q在边上，且，连接，以为斜边作等腰直角（），使点R与点C在直线的同侧． （1）边的长为_________． （2）当点P为中点时，求点Q到直线的距离； （3）当点R在的边上时，求的长； （4）当点P到直线的距离是点R到直线的距离的3倍时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程3x2-x-2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. 3，-1，-2 B. 3，1，-2 C. 3，-1，2 D. 3，1，-2 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数，且a≠0），叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：3x2-x-2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是：3，-1，-2. 故选:A 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，准确理解一元二次方程各项系数是解题关键． 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. B. C. D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、由，可知这一组线段不成比例，所以A不符合题意； B、由，可知这一组线段不成比例．所以B不符合题意； C、由，可知这一组线段不成比例．所以C不符合题意； D、由，可知这一组线段成比例．所以D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了成比例线段的判断，理解定义是解题的关键，即如果四条线段a，b，c，d满足，那么这四条线段称为比例线段． 3. 一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程根与系数的关系：、，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，方程， 由根与系数的关系得：、， 故选：B． 4. 如图，四边形四边形，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 9 B. 3 C. 5 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴即， ∴． ∴ 故选：D． 6. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为，宽为，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：原画面是长为，宽为的矩形，且彩纸的宽度为， 原画四周镶上彩纸后的长为，宽为． 根据题意得：， 即． 故选：D． 7. 如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，根据题意，运用相似三角形的性质可得结论 【详解】解：如图， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ 故选：D 8. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、由图形可知，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若已知，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系得到与的数量关系，将其代入化简即可得到结果． 【详解】解：， ， 将代入得： ． 10. 若是关于x的一元二次方程的解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，则． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则其身高约是_________厘米．（精确到） 【答案】162 【解析】 【分析】根据黄金分割的比例关系，设未知数列等式求解头顶至肚脐的长度，再计算总身高即可． 【详解】解：设头顶至肚脐的长度为 ． 由题意得 ． 解得 ． 身高为 ． 12. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、都在格点上，点是线段与网格线的交点，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似的判定与性质，勾股定理． 先利用勾股定理求出，再证明，问题即可求解． 【详解】解：根据网格线有：， ，，， 又， ， ，即， ， ，即． 13. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 14. 如图，在菱形中，，点M，N是边，上任意两点，将菱形沿翻折，点A恰巧落在对角线上的点E处，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若菱形边长为4，M是的中点，连接，则线段，其中正确的结论有：_______（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据菱形的性质和折叠的性质可得∠MEN=∠NBE=∠EDM =60°，从而易得∠DEM=∠BNE，则可判断①正确，从而即可判断②正确；设菱形的边长为3a，则DE=a，BE=2a，设AM=x，AN=y，由①得：，由ME=AM，NE=AN，即，则有3ax=ay+xy，3ay=2ax+xy，消去xy，整理即可得x:y=4：5，故可判断③错误；过M点作MF⊥CD交CD的延长线于点F，则在直角△MFD中，可分别求得MF、DF的长，从而在直角△MFC中，由勾股定理即可求得MC的长，从而可判断④正确与否． 【详解】∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD ∵∠A==60° ∴△ABD是等边三角形 ∴AB=AD=BD，∠NBE=∠EDM=60° 根据折叠的性质，得∠MEN=∠A=60° ∴∠DEM+∠BEN=120° ∵∠BEN+∠BNE=120° ∴∠DEM=∠BNE ∴△MED∽△ENB 故①正确 ∵△MED∽△ENB ∴∠BEN=∠DME=20° ∴∠ENB=180°-∠BEN-∠NBE=100° 故②正确 设菱形的边长为3a，AM=x，AN=y ∵DE:BE=1:2 ∴DE=a，BE=2a ∵△MED∽△ENB ∴ 根据折叠的性质，得：ME=AM，NE=AN ∴ 即 ∴， 则有3ax-xy=ay，3ay-xy=2ax 消去xy，整理得：5ax=4ay 即得：x:y=4：5 ∴AM:AN =4：5 故③错误 如图，过M点作MF⊥CD交CD的延长线于点F ∵AB∥CD ∴∠MDF=∠A=60° 在直角△MFD中，∠FMD=90°-∠MDF=30° ∴FD=MD ∵M是线段AD的中点，且AD=4 ∴FD=4 ∴CF=CD+FD=6 在直角△MFD中，由勾股定理得 在直角△MFC中，由勾股定理得： 故④正确 ． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是设相应的参数，根据相似三角形对应边成比例得出两个方程，解出AM与AN的关系． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可； （3）利用因式分解法解答即可； （4）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解： ， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：， ， ∴， 解得：． 16. 已知关于的一元二次方程为常数． （1）当时，求该方程的实数根； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 【小问1详解】 将代入原方程得， ∴， 解得：，， ∴当时，该方程的实数根为，； 【小问2详解】 ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴m的取值范围为． 17. 如图，在和中，已知，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 由得，由得即可得结论． 【详解】证明：， ， 即， ， ， ． 18. 2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． （1）求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； （2）该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【答案】（1）这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； （2）不能实现目标． 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可； （2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为x，根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元， 答：不能实现目标． 19. 如图，红红同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，求树高． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，则由即可求解,本题主要考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 20. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F． （1）证明：； （2）若，，，则点A到直线的距离为______． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证得是解题的关键， （1）由四边形是矩形，得到，由得出，由同角的余角可得出，进而即可得解； （2）根据勾股定理得到，通过，得到，列方程求解即可得到结果； 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ，即， 点到直线的距离， 故答案为：． 21. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上． （1）在图①中的边上找到一点，连结，使； （2）在图②中的边上找到一点，连结，使； （3）在图③中的边上找到一点，连结，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）在网格中取点，此时四边形是矩形，连接交于点，此时，即； （2）在网格中取点、，连接、，则，即； （3）在网格中取点、，连接、、，则，，即，由勾股定理可得，，从而得到，且，则，即． 【小问1详解】 解：如图即为所求作； 【小问2详解】 解：如图即为所求作； 【小问3详解】 解：如图即为所求作； 【点睛】本题考查了格点作图，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用相关知识点正确作图是解题关键． 22. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米； （2）若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． （3）建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）花圃的长与宽边分别为9米和5米 （3）建成花圃的面积不可能为60平方米 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用； （1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【小问1详解】 解：∵长方形花圃的宽长为x米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为14米， ∴， ∴， ∴， ∴，， 答：此时花圃的长与宽边分别为9米和5米； 【小问3详解】 解：建成花圃的面积不可能为60平方米，理由如下： ∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， ∴， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为60平方米． 23. 综合与探究 （1）【初步感知】如图1，是的中线，点在边上，且，连接交于点，过点作交于点，则的值为___________； （2）【尝试应用】如图2，在中，点为边上一点，且，连接，过点作于点，延长交边于点．若，求的长； （3）【问题解决】如图3，某市有一处形状为的物流中心，现计划在边上设立一处装卸点，点为边的中点，并在边上找一点，设立一个仓库，使得，沿、铺设两条水泥路，连接，与、分别交于点、，并在点、处设立临时中转站，你能帮助工作人员求出的值吗？如果能，请直接写出的值（水泥路宽度及中转站、装卸点、仓库大小均忽略不计）． 【答案】（1）3 （2） （3）能， 【解析】 【分析】（1）根据，可得，，可得，，从而得到，即可解答； （2）取的中点，连接，可得为的中位线，可得到，即可求解； （3）过点作交于点，可得为的中位线，再结合四边形是平行四边形，可证明，从而得到．再证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，取的中点，连接， ， ，即点为的中点， 为的中位线， ， ， ． ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：能， 如图3，过点作交于点， 点为的中点， ， ， ，即， 为的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 在中，，，，点P在边上，点Q在边上，且，连接，以为斜边作等腰直角（），使点R与点C在直线的同侧． （1）边的长为_________． （2）当点P为中点时，求点Q到直线的距离； （3）当点R在的边上时，求的长； （4）当点P到直线的距离是点R到直线的距离的3倍时，直接写出的长． 【答案】（1）6 （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形与正方形的判定与性质等知识点，综合运用以上知识点，合理作图分析是解题的关键． （1）运用勾股定理即可求出的值； （2）过Q作于点D，过Q作于点E，先证，再运用相似三角形对应边成比例，求出，最后证明四边形是矩形得出即可； （3）分点R在上和点R在上，两种情况分别作图，运用相似三角形的性质求解； （4）分两种情况分别作图，运用一线三垂直模型，构造全等三角形，建立关于线段的等量关系，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：6． 【小问2详解】 解：如图，过Q作于点D，过Q作于点E， ∵点P为中点，， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点Q到直线的距离为． 【小问3详解】 解：①如图，当点R在上， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则，， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点R在上， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则，， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 【小问4详解】 解：①如图，过P作于点H，过R作于点G， 则，过P作交延长线于点M， ∵，， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，过P作于点H，过R作于点G， 则，过R作交延长线于点M， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $