7.3.3 余弦函数的性质与图象课件-2021-2022学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.3.3　余弦函数的性质与图像 年份 卷别 题号 分值 核心考点 2025 新高考 Ⅰ 卷 18 12 正余弦定理综合、边角互化、三角形面积求解 2025 新高考 Ⅱ 卷 17 12 正余弦定理联用、周长最值、三角恒等变换 2025 全国甲卷 17 12 余弦定理为主、角度计算、解三角形综合 2025 全国乙卷 18 12 正弦定理边角转化、面积公式、多条件解三角形 2025 北京卷 16 10 正余弦定理 + 三角化简、三角形求值 2025 天津卷 15 5 正弦定理、边角互化、三角形形状判断 考点分析 知识点一　余弦函数 对于任意一个角x，都有 确定的余弦cos x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为 . 唯一 余弦函数 思考1：余弦函数与正弦函数有什么联系吗？ 可以通过正弦函数如何变化得到余弦函数？   知识点二　余弦函数图像与性质 性质 定义域 ____ 值域 ______________ 周期性 ____________，k∈Z，最小正周期为______ 奇偶性 ________ R [－1，1] T＝2kπ 2π 偶函数   知识点二　余弦函数图像与性质 单调区间 在__________________________（k∈Z）上递增， 在________________________（k∈Z）上递减 最值 x＝2kπ（k∈Z）时，取得最大值____； x＝2kπ＋π（k∈Z）时，取得最小值______ 对称性 对称轴为x＝______， 零点 [－π＋2kπ，2kπ] [2kπ，π＋2kπ] 1 －1 kπ 把正弦函数y＝sin x的图像向左平移_______个单位就得到余弦函数y＝cos x的图像，该图像称为__________． 知识点二　余弦函数图像与性质 余弦曲线 函数 y＝sin x y＝cos x 图像     定义域 ___ ___ 值域 _______ _______ 奇偶性 _______ _______ 知识点二　余弦函数的图像与性质 正弦函数、余弦函数的图像、性质对比 R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 周期性 最小正周期：___ 最小正周期：___ 最值 当 时，ymax＝1； 当 时，ymin＝ －1 当 时，ymax＝1； 当 时，ymin＝－1 单调性 在 上单调递增； 在 上单调递减 在 上单调递增； 在 上单调递减 2π 2π x＝2kπ(k∈Z) x＝π＋2kπ (k∈Z) [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z) [2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 零点 kπ，k∈Z ＋kπ，k∈Z 对称轴 x＝＋kπ，k∈Z x＝kπ，k∈Z 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) 例题讲解 例题讲解 例题讲解 例题讲解 课堂练习 余弦函数的单调性 二、余弦函数的值域(最值) 求三角函数最值的两种基本类型 (1)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，结合函数图像求最值. (2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值. 总结提升 三、余弦函数的对称性 (1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程； (2)把该函数的图像向右平移φ个单位后，图像关于原点对称，求φ的最小正值. 解　设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f (x)， ∵y＝f (x)的图像关于原点(0,0)对称， 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论 (1)f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图像关于x＝x0对称⇔f (x0)＝A或－A. (2)f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图像关于点(x0,0)中心对称⇔f (x0)＝0. 常用结论 课堂练习 1.知识清单： (1)余弦函数、余弦曲线. (2)余弦函数的性质. (3)余弦函数的性质与图像的简单应用. 2.方法归纳：整体代换，换元，数形结合. 3.常见误区：正弦函数与余弦函数的单调性，对称性易混淆. 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 本课结束 对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ，0))，其中k∈Z eq \f(π,2)＋kπ（k∈Z） eq \f(π,2) x＝＋2kπ(k∈Z) x＝－＋2kπ (k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) 例1.求下列函数的值域 （1） ； （2） 解：（1）因为 所以 ，且 ，即 ， 当 时， 当 时， ，因此 的值域为 。 （2）令 则 因为 时， 。所以 ，因此 当 时， 当 时， 因此 的值域为 . 例2.判断下列函数的奇偶性 （1） （2） 解：（1）把函数 记作 ，因为定义域为R，且 所以 是偶函数。 （2）把函数 记作 ，因为定义域为R，且 所以 是奇函数。 例3.求函数 的最大值和最小值。 解：（方法一）由余弦函数的性质可知， 在 递增，在 递减，又因为 所以函数的最大值为1，最小值为 。 （方法二）如图所示，作出示意图，其中OP为角 的终边， 为角 的终边，区间 内 的角的终边只能在直线 的右上方，因此当角的余弦线为 时， 取得最大值 。 当角的余弦线为 时， 取得最小值 。 例4.求函数 的周期和其图象的对称轴方程 解：因为 所以 。 令 ，解得 。 所以函数 的周期为 ，其图象的对称轴方程为 。 ∴函数y＝3cos的单调递增区间为(k∈Z). 练习1　求函数y＝3cos的单调递增区间. 解　y＝3cos＝3cos. 由2kπ－π≤－≤2kπ(k∈Z)， 得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)， 当cos x＝，即x＝时，ymin＝－. ∴函数值域为. 练习2　求函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的值域. 解　y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－. ∵x∈，∴cos x∈. 从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝； 练习3　已知函数y＝2cos. 解　令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z. 令k＝0，x＝－；令k＝1，x＝. ∴函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝. ∴φ的最小正值是. 则f (x)＝2cos＝2cos. ∴f (0)＝2cos＝0. ∴－2φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝－(k∈Z). 令k＝0，得φ＝. 练习：已知函数f(x)＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，x∈R. (1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间； (2)该函数图像怎样由y＝cos x变化得到？ 解　(1)由2x－eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝eq \f(π,12)＋eq \f(k,2)π，k∈Z； 由2x－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z解得对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(kπ,2)，0))，k∈Z； 由2kπ－π≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ，k∈Z解得kπ－eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋eq \f(π,12)， 所以函数的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))，k∈Z； 由2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(7π,12) 所以函数的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,12)，kπ＋\f(7π,12)))，k∈Z. (2)y＝cos xeq \o(――→,\s\up7(纵坐标不变),\s\do5(横坐标变为原来的\f(1,2)))y＝cos 2x,12)eq \o(――→,\s\up7(向右平移个单位)) y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))eq \o(――→,\s\up7(横坐标不变),\s\do5(纵坐标变为原来的2倍))y＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))). $