7.3.4 正切函数的性质与图像 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第七章 三角函数 7.3.4正切函数的性质与图像 《人教B版2019高中数学必修第三册》 知识点 函数 定义域 , }，由于=，若要使tanx有意义，应满足x≠0 图像 值域 𝐑 最小正周期 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个开区间 内都是单调递增的 对称性 对称中心为,k∈𝐙（图像和所有渐近线与x轴的交点） 正切函数的性质与图像 被相互隔开（渐近线） 探究新知 我们已经知道，对于任意一个角x，只要 k∈Z，就有唯一确定的正切值tanx与之对应，因此y=tanx是一个函数，称为正切函数. 利用正切线可以直观地表示正切值，如图7-3-15中，就是角x的正切线. （1）定义域与值域：因为角 , 的终边与横轴垂直，其正切值不存在，因此可知y=tanx的定义域为 , } 探究新知 （1）定义域与值域：因为角 , 的终边与横轴垂直，其正切值不存在，因此可知y=tanx的定义域为 , } 由图7-3-15中的正切线可以看出，当x从0开始增大并越来越接近时，tanx的值从0开始增大，且它的值可以大于指定的任意正数，也就是说tanx能取到［0，+∞)内的所有数.类似地，可以看出tanx能取到（-∞，0］内的所有数．因此， y=tanx的值域为    （-∞，+∞)（x轴正半轴和x负半轴上的值域） 探究新知 （2）奇偶性 由诱导公式tan(-x)=-tanx可知，正切函数y=tanx是一个 函数． 奇 （3）周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx或图7-3-15中正切线的变化规律可知，y=tanx是周期为π的周期函数.(如图7-2-6的正切线的定义） 探究新知 （4）单调性 由y=tanx是以π为周期的周期函数可知，我们只要知道正切函数在 由图7-3-15中的正切线可以看出,正切函数y=tanx在区间上都是单调递增的.由此可知,y=tanx,在每一个开区间 上都是单调递增的. （5）零点 不难看出，正切函数y=tanx 的零点为 (k∈Z). 探究新知 因为y=tan x的周期为π，所以只要作出y=tanx在上的图象，就可得到其在整个定义域内的图象.又因为y=tanx是奇函数，所以只要知道y=tanx在[0)上的图象即可. 取[0)内的几个点，列表如下. 在平面直角坐标系中描点，如图7-3-16所示.又根据y=tanx在[0)上递增等信息，可知将这些点连接起来，形成光滑的曲线，就可以得到y=tanx在[0)上的函数图象.然后作这一段图象关于原点对称的图象，最后得到y=tanx在上的图象，如图7-3-16所示． 探究新知 由于y=tanx的周期是π,所以正切函数图7-3-16在上的函数图象与其在上的函数图象完全相同，因此不难得到正切函数y=tanx的图象，如图7-3-17所示． 一般地， y=tanx的函数图象称为正切曲线．从图7-3-17不难看出，正切曲线是中心对称图形，其对称中心为,k∈𝐙 探究新知 例1  求函数y=tan(x-)的定义域. 解 令u=x-,则y=tan(x-)可以化成y=tanu. 因为y=tanu中，u,k∈Z，所以 x-即x 所以函数y=tan(x-)的定义域{x|x} 探究新知 例2  求函数y=tan3x的周期. 解 令u=3x,则y=tan3x可以化成y=tanu. 由y=tanu的周期为π可知，对任意u，当它增加到且至少要增加到u+π时，对应的函数值才重复出现，因为 u+π=3x+π=3(x+）， 这说明对任意x，当它增加到且至少要增加到x+时，y=tan3x的函数值才重复出现，这就说明y=tan3x的周期为 . 探究新知 函数 定义域 , } 值域 周期性 是周期函数，最小正周期为 对称性 无对称轴，对称中心（ ，0）（用整体代换法求） 奇偶性 当时为奇函数，当 时为非奇非偶函数 单调性 每一个单调区间可由 求得 巩固提升 1.正切型函数的定义域问题 (1)函数 的定义域是_ ____________________. ，} 易知 ，， ， . 故函数的定义域为 ， }. 解析： 巩固提升 1.正切型函数的定义域问题 (2) + lg(- - -3tanx)的定义域 的 ++ dsaf、、 解析： 巩固提升 解析： 2.正切型函数的值域问题 （1）求y=tan(+),x∈(0,)的值域 ，所以， 1<tan()< 故函数的值域为（1，. 巩固提升 2.正切型函数的值域问题 （2）已知，求函数的最值及相应的 的值. 解析： . 因为，所以 . 故当，即时，取得最小值为1； 当，即时， 取得最大值为5. 巩固提升 3.正切型函数的周期性 函数 y=3tan(ωx+​)(ω>0) 的最小正周期是​，则ω=​ 。 方法一： 设 t=ωx+​,又 3tan(t+π)=3tant,所以 3tan[(ωx+​​)+π]=3tan(ωx+​​)， 即3tan[ω(x+​)+​​]=3tan(ωx+​​),所以​=2π,解得ω=2.（利用f(x+t)=f(x)求周期） 解析： 方法二： 利用公式T= ​=​，又ω>0,所以ω=2. 2 巩固提升 4.正切型函数的单调性及其应用 （1）函数 的单调递减区间为_______________________. , （） ,得 . 故函数的单调递减区间为 . 解析： 巩固提升 4.正切型函数的单调性及其应用 画图y=|tanx|在(-,)上的图像，如图，观察图 像可知，y=|tanx|在(-)上的单调递减区间为 （-， 解析： (2)函数y=|tanx|在(-,)上的单调递减区间为 . （-， 巩固提升 4.正切型函数的单调性及其应用 解析： (3) 若y=tanωx在(​,​)内为减函数，则实数ω的取值范围是__ ____。 若y=tanωx在(​,​)内为减函数，则​≥π，且ω<0，∴−1≤ω<0，即实数ω的取值范围是[−1,0)。 [−1,0) 规律总结 4.正切型函数的单调性及其应用 (1) 求函数y=Atan(ωx+φ)（A,ω,φ都是常数，A≠0,ω≠0）的单调区间的方法 ①若ω>0，由于y=tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想， 令kπ−​​<ωx+φ<kπ+​​​,k∈Z，解得x的范围即可。 ②若ω<0，可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[−(−ωx−φ)]=−Atan(−ωx−φ)，即把x的系数化为正值，再利用 “整体代换” 的思想，求得x的范围即可。 ③含有绝对值时，经常根据函数图象求解。 (2) 若正切函数在某一区间内单调，则该区间长度小于等于一个周期，且要注意根据单调性判断ω的正负。 规律总结 5.对称性问题 (1)函数 的图象的一个对称中心为( ) C 令, ， 得,，当时， ， 所以函数图象的一个对称中心为 . （正切函数 图象的对称中心是,而不是） A. B. C. D. 规律总结 5.对称性问题 (2)若函数的图象的一个对称中心是点，则 的最小值为( ) 因为正切函数图象的对称中心为点 ，所以令 , 则，所以函数 的图象的对称中心为点,又的图象的一个对称中心是点 ， 所以令，解得 . 因为，所以当时， 取得最小值,为3. （正切函数图象的对称中心包括图象与轴的交点，以及渐近线与 轴的交点） A.2 B.3 C.6 D.9 B 规律总结 5.对称性问题 求正切型函数 图象的对称中心的基本方法仍然是基 本函数法，即熟记基本函数的对称中心，再用 整体代换其中的 即可， 即：令,解得 小结 函数 定义域 , }，由于=，若要使tanx有意义，应满足x≠0 图像 值域 𝐑 最小正周期 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个开区间 内都是单调递增的 对称性 对称中心为,k∈𝐙（图像和所有渐近线与x轴的交点） 正切函数的性质与图像 被相互隔开（渐近线） 小结 函数 定义域 , } 值域 周期性 是周期函数，最小正周期为 对称性 无对称轴，对称中心（ ，0）（用整体代换法求） 奇偶性 当时为奇函数，当 时为非奇非偶函数 单调性 每一个单调区间可由 求得 正切型函数的性质与图像 $