精品解析：湖北省十堰市普通高中联合体2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

湖北省十堰市普通高中联合体2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 与向量反向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，图像关于原点对称的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，三个边长为5的正方形相连，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 若在是减函数，则的最大值是 A. B. C. D. 8. 如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 必为钝角 B. C. D. 10. 已知点在以为直径的圆上运动，且，动点M为平面内一点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最大值为8 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 当时，最小正周期为 B. 当时，图象关于对称 C. 当时，最小值为 D. 当时，是偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三角求值：______. 13. 已知单位向量，，若不存在实数，使得成立，则向量，的夹角的取值范围为_____. 14. 已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的最大值是____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，． （1）用向量，表示，； （2）若，且A，E，F三点共线，求x的值． 16. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，若方程在区间上有解，求m的范围． 17. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上.设，矩形的面积为S平方米. （1）求S关于的函数表达式； （2）当时，求S的最小值，并求出当S取得最小值时，所对应的的值. 18. 如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. （1）判断的形状； （2）当时，求的值； （3）当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 19. 已知函数. （1）求的图象的对称中心坐标； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）设，方程在区间上的根从小到大依次为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省十堰市普通高中联合体2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用诱导公式和两角差的正弦公式计算得到答案. 【详解】 . 故选：C. 2. 与向量反向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则与反向的单位向量为． 3. 下列函数中，图像关于原点对称的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐项判断函数的奇偶性，即可得解. 【详解】因为的定义域为，且，为偶函数，故A错误； 因为，所以函数为非奇非偶函数，故B错误； 因为的定义域为，且，函数为奇函数，故C正确； 因为的定义域为，且，函数为偶函数，故D错误. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用可得的值，代入到中利用诱导公式求解即可． 【详解】由可知， 所以， 所以． 5. 如图所示，三个边长为5的正方形相连，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形得到，，再由即可求出答案. 【详解】由图可知，，， 所以. 6. 粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， ，， 在上的投影向量为：. 7. 若在是减函数，则的最大值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以由得 因此，从而的最大值为，故选：A. 8. 如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数量积的几何意义，先求在上的投影的取值范围，再乘以，则可得到的取值范围. 【详解】如图，延长，过点做交的延长线于点. 因为，，,所以. 由图可知当在点处时，在上的投影有最大值1， 当在点处时，在上的投影有最小值， 又因为，所以的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 必为钝角 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由平方可得：， 所以，结合， 则，故正确， ，故错误； 又因为， 因为，所以，所以， 又因为，解得：， 所以，故正确； 因为， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以， 则，故正确. 10. 已知点在以为直径的圆上运动，且，动点M为平面内一点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最大值为8 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AC，结合点和点的轨迹及即可判断；对于BD，根据向量的数量积公式，分析的最小值及最大值即可． 【详解】对于AC，设AB中点为，因为，， 且，所以， 所以，由题意可知，因为， 所以， 即， 当，即、同向时取得最小值1， 当，即、反向时取得最大值3， 故A正确，C错误； 对于BD，， 因为，即， 所以当，即、反向时，取得最小值， 当，即、同向时，取得最大值， 所以， 由图可知，当、、三点共线且、在的两侧时， 取得最大值为， 所以，即最小值为，此时、在的两侧时， 且、反向，并有C、B两点重合， ，即最大值为，此时、在的两侧时， 且、同向，并有C、A两点重合， 故B正确，D错误． 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 当时，最小正周期为 B. 当时，图象关于对称 C. 当时，最小值为 D. 当时，是偶函数 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AC，把对应的值代入的解析式，化简整理成正弦型三角函数，再去求最小正周期、最小值；对于BD，依据定义去判断奇偶性、点对称问题即可． 【详解】对于A，当时， ， 最小正周期是，故A错误； 对于B，当时，， ， 而，故B错误； 对于C，当时， ， 所以的最小值是，故C正确； 对于D，当时，， ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三角求值：______. 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 已知单位向量，，若不存在实数，使得成立，则向量，的夹角的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积与模长的关系，结合一元二次不等式恒成立的解法计算即可. 【详解】设向量，的夹角为，不存在实数，使得成立， 等价于对恒成立，所以， 则，即恒成立. 所以，解得， 因为，所以， 故，的夹角的取值范围是. 14. 已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的最大值是____. 【答案】 【解析】 【分析】设出向量的坐标，并由已知判断出分别与的夹角范围，从而求解. 【详解】∵，∴， 故，所以， 即，. 由题不妨可设，，， 由，知, 由可得， 同理可得，可得，所以， 所以， 而，当时，的最大值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，． （1）用向量，表示，； （2）若，且A，E，F三点共线，求x的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 由平行四边形，可得， ∵，∴， ∴，即． 【小问2详解】 由题意知，， ∴，， 解得． 16. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，若方程在区间上有解，求m的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由函数的图象，得， 的最小正周期，由，， 得， 由，得，而，则， 所以函数的解析式为． 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度， 得， 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得， 由已知方程在区间上有解， 故方程在区间上有解， 因为，所以， 所以m的范围为． 17. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上.设，矩形的面积为S平方米. （1）求S关于的函数表达式； （2）当时，求S的最小值，并求出当S取得最小值时，所对应的的值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）过P作，垂足为E，得，，应用矩形面积公式即可得关系式； （2）由题设，令，进而得到，结合二次函数的性质求最值，且可得值. 【小问1详解】 过P作，垂足为E，由题意得：，， 故，. 所以矩形的面积，. 【小问2详解】 由（1）及题设知， 故， 令，， 所以，且，， 在区间上严格递减，在区间上严格递增， 当，即时，S取得最小值. 此时，则，故. 18. 如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. （1）判断的形状； （2）当时，求的值； （3）当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【答案】（1）等边三角形 （2） （3）最小值， 【解析】 【分析】（1）根据数量积求出后可判断三角形形状； （2）结合向量的线性运算可得，故可求向量和的模； （3）设，利用向量的线性运算结合二次函数的性质可求的最小值. 【小问1详解】 ，， 则，即， 故为等边三角形. 【小问2详解】 当时，、为边的三等分点， 设为中点，且， 所以， 故. 【小问3详解】 设， 当时，、、为边的四等分点， ， 设，其中，则， ， 所以 ， 当且仅当即时，取最小值. 19. 已知函数. （1）求的图象的对称中心坐标； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）设，方程在区间上的根从小到大依次为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简，令，即可求出的图象的对称中心坐标； （2）先求出，代入不等式化简令可得，根据的单调性求出的最大值，即可得出答案. （3）根据正弦函数的对称轴计算求值. 【小问1详解】 . 令，故对称中心坐标为. 【小问2详解】 因为， ， 又因为已知对恒成立， 所以，故， 令，当时，， 不等式变为：，所以， 因为，所以， 即，在该区间单调递减， 故最大值在时取得：. 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 令 因为方程，所以. 因为的对称轴方程为：， 则，因为， 所以在有四条对称轴，分别为， ∵，∴共有4个解. 其中关于对称，关于对称，关于对称， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $