第二十二、二十三章 函数与一次函数 单元测试-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

**基本信息** 本单元卷聚焦函数与一次函数单元复习，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，结合快递分拣、茉莉花茶文化等真实情境，落实抽象能力、模型意识与推理能力等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|正比例函数定义、变量识别、一次函数图像性质|电子秤显示（题2）等生活情境，基础概念辨析| |填空题|8/24|自变量取值范围、函数值比较、图像平移|程序计算（题13）、正方形与函数综合（题17），梯度设计| |解答题|8/66|函数表达式、实际应用（快递分拣/茉莉花茶利润）、几何与函数综合|24题以茉莉花茶文化构建利润模型，26题动态几何与函数结合，考查创新应用|

第二十二、二十三章 函数与一次函数 单元测试 总分：120分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D B A A B D D B C 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 12. 13. 4 14. 15. 16. 17. 18. 4 , 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分） 【答案】(1)320，400 (2)，y是x的正比例函数 【分析】本题考查了列关系式， （1）根据该机器人每分钟可以分拣80件快递，进而计算即可； （2）根据该机器人每分钟可以分拣80件快递列关系式，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵该机器人每分钟可以分拣80件快递， ∴（件），（件）， 分钟分拣快递320件，5分钟分拣快递400件； 故答案为：320，400；（3分） （2）解：∵该机器人每分钟可以分拣80件快递， ∴， 可知y是x的正比例函数．（6分） 20．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：设， 把，代入得， 解得， ， 与之间的函数表达式为；（4分） （2）解：当时，．（8分） 21．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则有，然后把当时，；当时，代入求解即可； （2）直接把代入（1）中求解的函数解析式即可． 【详解】（1）解：设，由可得：， ∴把，和，代入得： ，解得：， ∴y与x的函数解析式为：；（4分） （2）解：由（1）可把代入得：．（8分） 22．（8分） 【答案】(1)这个一次函数的表达式为 (2)该函数的图象与轴，轴的交点坐标分别为， (3)见解析 【分析】（1）这个一次函数的表达式为，代入点和，得到，解得，即可求解； （2）当时，，解得，得到该函数的图象与轴的交点坐标为；当时，，得到该函数的图象与轴的交点坐标为； （3）利用两点法即可画出函数图象． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象经过点和， ∴将点和代入中，得 ，解得， ∴这个一次函数的表达式为；（2分） （2）解：由（1）知这个一次函数的表达式为， ∵当时，， 解得， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为； ∵当时，， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为；（5分） （3）解：一次函数的图象如图所示， （8分） 23．（8分） 【答案】(1)增大 (2) (3) 【分析】（1）观察表格中温度和传播速度的变化趋势，即可得到结论； （2）利用待定系数法，选取表格中两组对应坐标，求解得到一次函数的解析式； （3）将给定温度代入解析式，计算得到对应传播速度即可． 【详解】（1）解：观察表格数据可得，温度升高时，声音传播速度随之变大， 因此声音传播的速度随温度的增高而增大．（2分） （2）解：设该一次函数为， 从表格中选取两组对应值：当时， ；当时，， 将两组值代入函数式得 ， 解得 ， 因此符合要求的函数表达式为．（5分） （3）解：将代入 ， 得 ， 因此声音的传播速度是．（8分） 24．（8分） 【答案】(1)甲款茉莉花茶每千克成本180元，乙款茉莉花茶每千克成本250元 (2)销售完这两款茉莉花茶的最大利润为91000元． 【分析】（1）设甲款茉莉花茶每千克成本为x元，则乙款每千克成本为元，根据“5甲款茉莉花茶和乙款茉莉花茶的成本共需1900元”列出一元一次方程，求解即可； （2）设甲款茉莉花茶制作m千克，则乙款为千克，销售完这两款茉莉花茶的利润为，根据题意列出不等式组，求得，再列出利润为关于m的一次函数，利用 一次函数的性质求解即可 【详解】（1）解：设甲款茉莉花茶每千克成本为x元，则乙款每千克成本为元， 根据题意列方程：， 解得：， 则乙款成本为： (元/千克) 答：甲款茉莉花茶每千克成本180元，乙款茉莉花茶每千克成本250元；（3分） （2）解：设甲款茉莉花茶制作m千克，则乙款为千克，销售完这两款茉莉花茶的利润为， 由题意得， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， 所以m的取值范围：， ∴， 整理得， ∵， ∴随的增大而减小，当时，取得最大值， 最大值为． 答：销售完这两款茉莉花茶的最大利润为91000元．（8分） 25．（10分） 【答案】(1)； (2) (3)直线的表达式为或 【分析】（1）将点，点代入之中求出，进而可得直线的表达式；联立，得，由此可得点A的坐标； （2）连接，依题意得点，根据点，点，由此可利用勾股定理的逆定理证明，设点，其中，则，然后根据得，由此解出，进而可得点Q的坐标； （3）依题意有以下两种情况：①点M在点E的上方时，过点B作交直线于点N，过点N作轴于H，过点A作轴于T，先证明为等腰直角三角形得，进而证明和全等得，由此得，则点，然后利用待定系数法即可求出直线的表达式；②当点M在点E的下方的时，先求出点，则，证明和全等得，则点，再利用待定系数法即可求出直线的表达式，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， ，得：， ∴直线与直线的交点坐标为；（3分） （2）解：连接，如图1所示： ∵点D在直线上，且横坐标为2， ∴点， ∵， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴， ∵点Q为射线上一动点， ∴设点，其中， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为；（6分） （3）解：∵M为y轴上一点，且， ∴有以下两种情况： ①点M在点E的上方时，过点B作交直线于点N，过点N作轴于H，过点A作轴于T，如图2所示： 则， ∵点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∵点N的坐标为， 设直线的表达式为， 将点，点代入， 得：，解得：， 直线的表达式为； ②当点M在点E的下方的时，如图3所示： ∵直线的表达式为， ∴当时，， ∴点M的坐标为， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的表达式为， 将代入， 得：，解得：， ∴直线的表达式为， 综上所述：直线的表达式为或．（10分） 【点睛】此题主要考查了一次函数，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，一次函数交点坐标，正确地作出辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形是解决问题的关键． 26．（10分） 【答案】(1)①；②点M的坐标为；的周长的最小值为 (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质和平行线的性质可证明，则可证明，得到，故，据此可证明是等腰直角三角形，得到，则，可推出，再利用待定系数法求解即可；②可证明是等腰直角三角形，则，可求出；作点E关于直线的对称点T，连接，则，可证明当T、M、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；证明点P为的中点，求出点T的坐标为，据此可得答案； （2）作于点H，证明四边形是矩形，得到，证明，得到，，则可求出，，则，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当为等腰直角三角形时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 由题意得，，则， ∴， ∴直线的解析式为；（3分） ②由（1）①可知是等腰直角三角形，则， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，作点E关于直线的对称点T，连接，则， ∴的周长， ∴当T、M、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值； 由（1）①得， 由轴对称的性质可得， ∴E、P、T三点共线，即点P为的中点， ∴点T的坐标为，即， ∴， ∴的周长的最小值为； ∵轴， ∴点M的横坐标为4， 在中，当时，， ∴此时点M的坐标为（6分） （2）解：如图，作于点H， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证明， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ，   ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式， ∴， ∴， ∴直线的解析式．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二、二十三章 函数与一次函数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列函数中，为正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 2．小花去买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 3．点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．9 B．1 C． D． 4．已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，则放水后，水池中还有水（    ） 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A． B． C． D． 6．已知一次函数的图象和正比例函数的图象在同一个坐标系内，那么可能是（    ） A． B． C． D． 7．一根弹簧原长，它所挂的物体的质量不超过，并且挂重就伸长，则挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式是（  ） A． B． C． D． 8．如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 10．骑摩托车，骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程（）与行驶时间（）之间存在函数关系，图象如图所示．给出下面的结论：①甲、乙地相距；②行驶了用了；③比晚出发；④行驶的平均速度为每小时．则上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．在函数中，自变量的取值范围是_____． 12．已知和点是直线上的两个点，那么_____（“”或“”） 13．根据如图所示的计算程序计算y的值，若输入，则输出的y值是______． 14．将正比例函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的函数图像与x轴的交点坐标为______． 15．已知一次函数（是常数）与的部分对应值如下表： 0 1 2 6 4 2 0 不等式的解集是______． 16．如图，已知函数和图象交于点，点的横坐标为1，则关于，的方程组的解是___________． 17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点落在直线上，若正方形的面积为20，则点的坐标为________． 18．如图1，直角坐标系中点、、、，过点的直线，与四边形交于点，（点和点可以重合）．以的值为点的横坐标，线段的长度为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2．则函数的最大值是______，函数的图象与横轴两交点之间的距离为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）随着双11活动的到来，快递业务越来越多，某快递公司的大量快递需要分拣，为了提高效率，公司使用智能快递分拣机器人来分拣快递，该机器人每分钟可以分拣80件快递． (1)请补全下表； 分拣时间 1 2 3 4 5 已分拣的快递件 80 160 240 ______ ______ (2)写出已分拣的快递y与分拣时间x之间的关系式，并判断y是否为x的正比例函数． 20．（8分）已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的值． 21．（8分）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 22．（8分）一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求该函数的图象与轴，轴的交点坐标： (3)画出该函数图象． 23．（8分）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，某研究团队测得一定温度下声音的传播速度（）与温度（）部分对应数值如表：研究发现：是的一次函数． 温度（） 声音传播的速度（） (1)观察表中的数据，可以发现：声音传播的速度随温度的增高而______； (2)直接写出符合要求的函数表达式：________； (3)当温度为时，声音的传播速度是_______． 24．（8分）福州是世界茉莉花茶的发源地和主要产区，茉莉花茶是福州作为海上丝绸之路重要节点的文化名片．福州某茶企计划从闽江沿岸茉莉花种植基地购进茉莉花制成甲、乙两款茉莉花茶，用于供应本地茶博会与线上商城．已知乙款茉莉花茶的成本比甲款茉莉花茶的成本每千克高70元，5甲款茉莉花茶和乙款茉莉花茶的成本共需1900元． (1)问甲、乙两款茉莉花茶每千克的成本分别为多少元？ (2)该茶企计划制作甲、乙两款茉莉花茶共1000，其中甲款茉莉花茶的重量不超过乙款茉莉花茶重量的1.5倍，且两款茉莉花茶的总成本不超过229000元．若甲款茉莉花茶的售价是每千克250元，乙款茉莉花茶的售价是每千克350元，求销售完这两款茉莉花茶的最大利润． 25．（10分）如图，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，且与直线相交于点A， (1)求直线的表达式和点A的坐标． (2)如图1，点D在直线上，且横坐标为2，点Q为射线上一动点，若，请求出点Q的坐标． (3)如图2，过点A作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上一点，且，请直接写出直线的表达式． 26．（10分）如图1矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形． ①直线的函数解析式为：_____， ②在轴上另有一点的坐标为．请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和的周长的最小值． (2)如图2，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出直线的解析式． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二、二十三章 函数与一次函数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列函数中，为正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一判断选项即可． 【详解】解：A中，含有常数项，不符合正比例函数的形式； B中，的最高次数为2，不符合正比例函数的形式； C中，分母中含自变量，不符合正比例函数的形式； D中，符合（为常数且）的形式，是正比例函数． 2．小花去买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】D 【分析】根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 金额单价数量，单价不变，数量与金额是变化的量， ∴单价是常量，金额与数量是变量． 3．点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．9 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将点的横坐标代入解析式即可求出纵坐标的值． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ． 4．已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数表达式中的值、值进行判断函数图象的大致趋势． 【详解】解：∵随的增大而增大， ∴函数图象呈上升趋势， 又∵当时，， 即函数与轴交点位于轴负半轴， 故选项A满足函数图象． 5．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，则放水后，水池中还有水（    ） 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据表格数据得出每分钟放水量，再计算放水14min后的剩余水量即可． 【详解】解：∵水池原有水量为， 由表格数据可知，放水时间每增加，水池中水量减少，即每分钟放水量为， ∴放水后，总放水量为， ∴剩余水量为． 6．已知一次函数的图象和正比例函数的图象在同一个坐标系内，那么可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质． 根据一次函数和正比例函数的图象分别判断出每个选项中，的符号，即可判断． 【详解】解：A、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过二、三、四象限，则，，矛盾，不符合题意； B、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过一、二、三象限，则，，符合题意； C、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过一、三、四象限，则，，矛盾，不符合题意； D、由图象可得，正比例函数经过一、三象限，则，， 一次函数经过一、二、四象限，则，，矛盾，不符合题意； 7．一根弹簧原长，它所挂的物体的质量不超过，并且挂重就伸长，则挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：当时，，当时，，则设挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式为， ∴，解得：， ∴挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式为． 8．如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为． 9．如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式为，则可得到，根据矩形的性质可得直线经过矩形的中心，即经过的中点，根据中点坐标公式得到的中点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得： ， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴； ∵直线将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过矩形的中心，即经过的中点， ∵，， ∴的中点的坐标为， ∴， ∴． 10．骑摩托车，骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程（）与行驶时间（）之间存在函数关系，图象如图所示．给出下面的结论：①甲、乙地相距；②行驶了用了；③比晚出发；④行驶的平均速度为每小时．则上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】观察函数图象，根据横纵坐标的含义及图象上的关键点坐标，结合路程、速度、时间的关系逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知，轴表示路程，最大值为， 甲、乙两地相距，故①正确； 由图象可知，的图象经过点和， 的速度为（）， 行驶所需时间为（），故②错误； 由图象可知，在时出发，在时出发， 比晚出发，故③错误； 由图象可知，的图象经过点和， 行驶路程为，用时（）， 的平均速度为（），故④正确． 综上所述，正确的结论是①④． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得， 解不等式得． 12．已知和点是直线上的两个点，那么_____（“”或“”） 【答案】 【分析】根据正比例函数的性质，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵，是直线上的两个点，， ∴． 13．根据如图所示的计算程序计算y的值，若输入，则输出的y值是______． 【答案】4 【分析】根据流程图，将代入相应的关系式进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴. 14．将正比例函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的函数图像与x轴的交点坐标为______． 【答案】 【分析】先根据平移规律得到平移后的函数解析式，再令求解横坐标即可得到交点坐标． 【详解】解：将正比例函数的图像向下平移2个单位长度，根据平移规律“上加下减”， 可得平移后的函数解析式为， 令，可得， 解得， ∴平移后的函数图像与轴的交点坐标为． 15．已知一次函数（是常数）与的部分对应值如下表： 0 1 2 6 4 2 0 不等式的解集是______． 【答案】 【分析】不等式的解集为一次函数中时自变量的取值范围，结合表格数据判断函数增减性，即可得到对应解集. 【详解】解：由表格可得，当时，， 方程的解是， 根据表格数据可知，随的增大而减小， 当，即时，. 16．如图，已知函数和图象交于点，点的横坐标为1，则关于，的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】将代入求得，将代入，求得，将代入解方程组即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， 将代入，得，解得， ∴ 得解得， 将代入②得，解得， ∴方程组的解是． 17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点落在直线上，若正方形的面积为20，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】连接交于点，作轴于点，轴于点，求出，设，求出，，得到，证明，设，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接交于点，作轴于点，轴于点， 四边形是正方形， ，，，， ， ， ， 正方形的顶点落在直线上，设， ， ， ， 的坐标为，即， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 是的中点， ， 解得， ． 18．如图1，直角坐标系中点、、、，过点的直线，与四边形交于点，（点和点可以重合）．以的值为点的横坐标，线段的长度为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2．则函数的最大值是______，函数的图象与横轴两交点之间的距离为______． 【答案】 4 【分析】根据题意得出当直线和x轴重合时，线段的长度最大，然后求解即可； 根据题意得出函数m与横轴两个交点坐标的纵坐标为0，再结合图1得出当直线经过点B和点D时的k值，据此可解决问题． 【详解】解：根据题意得，当直线和x轴重合时，点P和点C重合，点A和点Q重合， ∴此时线段的长度最大，为； 当过点的直线经过点B时，， 解得， 则此时的函数解析式为， 同理可得，当直线经过点D时的解析式为， ∴函数m经过点和， ∴函数m的图象与横轴两交点之间的距离为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）随着双11活动的到来，快递业务越来越多，某快递公司的大量快递需要分拣，为了提高效率，公司使用智能快递分拣机器人来分拣快递，该机器人每分钟可以分拣80件快递． (1)请补全下表； 分拣时间 1 2 3 4 5 已分拣的快递件 80 160 240 ______ ______ (2)写出已分拣的快递y与分拣时间x之间的关系式，并判断y是否为x的正比例函数． 【答案】(1)320，400 (2)，y是x的正比例函数 【分析】本题考查了列关系式， （1）根据该机器人每分钟可以分拣80件快递，进而计算即可； （2）根据该机器人每分钟可以分拣80件快递列关系式，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵该机器人每分钟可以分拣80件快递， ∴（件），（件）， 分钟分拣快递320件，5分钟分拣快递400件； 故答案为：320，400；（3分） （2）解：∵该机器人每分钟可以分拣80件快递， ∴， 可知y是x的正比例函数．（6分） 20．（8分）已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：设， 把，代入得， 解得， ， 与之间的函数表达式为；（4分） （2）解：当时，．（8分） 21．（8分）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则有，然后把当时，；当时，代入求解即可； （2）直接把代入（1）中求解的函数解析式即可． 【详解】（1）解：设，由可得：， ∴把，和，代入得： ，解得：， ∴y与x的函数解析式为：；（4分） （2）解：由（1）可把代入得：．（8分） 22．（8分）一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求该函数的图象与轴，轴的交点坐标： (3)画出该函数图象． 【答案】(1)这个一次函数的表达式为 (2)该函数的图象与轴，轴的交点坐标分别为， (3)见解析 【分析】（1）这个一次函数的表达式为，代入点和，得到，解得，即可求解； （2）当时，，解得，得到该函数的图象与轴的交点坐标为；当时，，得到该函数的图象与轴的交点坐标为； （3）利用两点法即可画出函数图象． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象经过点和， ∴将点和代入中，得 ，解得， ∴这个一次函数的表达式为；（2分） （2）解：由（1）知这个一次函数的表达式为， ∵当时，， 解得， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为； ∵当时，， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为；（5分） （3）解：一次函数的图象如图所示， （8分） 23．（8分）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，某研究团队测得一定温度下声音的传播速度（）与温度（）部分对应数值如表：研究发现：是的一次函数． 温度（） 声音传播的速度（） (1)观察表中的数据，可以发现：声音传播的速度随温度的增高而______； (2)直接写出符合要求的函数表达式：________； (3)当温度为时，声音的传播速度是_______． 【答案】(1)增大 (2) (3) 【分析】（1）观察表格中温度和传播速度的变化趋势，即可得到结论； （2）利用待定系数法，选取表格中两组对应坐标，求解得到一次函数的解析式； （3）将给定温度代入解析式，计算得到对应传播速度即可． 【详解】（1）解：观察表格数据可得，温度升高时，声音传播速度随之变大， 因此声音传播的速度随温度的增高而增大．（2分） （2）解：设该一次函数为， 从表格中选取两组对应值：当时， ；当时，， 将两组值代入函数式得 ， 解得 ， 因此符合要求的函数表达式为．（5分） （3）解：将代入 ， 得 ， 因此声音的传播速度是．（8分） 24．（8分）福州是世界茉莉花茶的发源地和主要产区，茉莉花茶是福州作为海上丝绸之路重要节点的文化名片．福州某茶企计划从闽江沿岸茉莉花种植基地购进茉莉花制成甲、乙两款茉莉花茶，用于供应本地茶博会与线上商城．已知乙款茉莉花茶的成本比甲款茉莉花茶的成本每千克高70元，5甲款茉莉花茶和乙款茉莉花茶的成本共需1900元． (1)问甲、乙两款茉莉花茶每千克的成本分别为多少元？ (2)该茶企计划制作甲、乙两款茉莉花茶共1000，其中甲款茉莉花茶的重量不超过乙款茉莉花茶重量的1.5倍，且两款茉莉花茶的总成本不超过229000元．若甲款茉莉花茶的售价是每千克250元，乙款茉莉花茶的售价是每千克350元，求销售完这两款茉莉花茶的最大利润． 【答案】(1)甲款茉莉花茶每千克成本180元，乙款茉莉花茶每千克成本250元 (2)销售完这两款茉莉花茶的最大利润为91000元． 【分析】（1）设甲款茉莉花茶每千克成本为x元，则乙款每千克成本为元，根据“5甲款茉莉花茶和乙款茉莉花茶的成本共需1900元”列出一元一次方程，求解即可； （2）设甲款茉莉花茶制作m千克，则乙款为千克，销售完这两款茉莉花茶的利润为，根据题意列出不等式组，求得，再列出利润为关于m的一次函数，利用 一次函数的性质求解即可 【详解】（1）解：设甲款茉莉花茶每千克成本为x元，则乙款每千克成本为元， 根据题意列方程：， 解得：， 则乙款成本为： (元/千克) 答：甲款茉莉花茶每千克成本180元，乙款茉莉花茶每千克成本250元；（3分） （2）解：设甲款茉莉花茶制作m千克，则乙款为千克，销售完这两款茉莉花茶的利润为， 由题意得， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， 所以m的取值范围：， ∴， 整理得， ∵， ∴随的增大而减小，当时，取得最大值， 最大值为． 答：销售完这两款茉莉花茶的最大利润为91000元．（8分） 25．（10分）如图，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，且与直线相交于点A， (1)求直线的表达式和点A的坐标． (2)如图1，点D在直线上，且横坐标为2，点Q为射线上一动点，若，请求出点Q的坐标． (3)如图2，过点A作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上一点，且，请直接写出直线的表达式． 【答案】(1)； (2) (3)直线的表达式为或 【分析】（1）将点，点代入之中求出，进而可得直线的表达式；联立，得，由此可得点A的坐标； （2）连接，依题意得点，根据点，点，由此可利用勾股定理的逆定理证明，设点，其中，则，然后根据得，由此解出，进而可得点Q的坐标； （3）依题意有以下两种情况：①点M在点E的上方时，过点B作交直线于点N，过点N作轴于H，过点A作轴于T，先证明为等腰直角三角形得，进而证明和全等得，由此得，则点，然后利用待定系数法即可求出直线的表达式；②当点M在点E的下方的时，先求出点，则，证明和全等得，则点，再利用待定系数法即可求出直线的表达式，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， ，得：， ∴直线与直线的交点坐标为；（3分） （2）解：连接，如图1所示： ∵点D在直线上，且横坐标为2， ∴点， ∵， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴， ∵点Q为射线上一动点， ∴设点，其中， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为；（6分） （3）解：∵M为y轴上一点，且， ∴有以下两种情况： ①点M在点E的上方时，过点B作交直线于点N，过点N作轴于H，过点A作轴于T，如图2所示： 则， ∵点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∵点N的坐标为， 设直线的表达式为， 将点，点代入， 得：，解得：， 直线的表达式为； ②当点M在点E的下方的时，如图3所示： ∵直线的表达式为， ∴当时，， ∴点M的坐标为， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的表达式为， 将代入， 得：，解得：， ∴直线的表达式为， 综上所述：直线的表达式为或．（10分） 【点睛】此题主要考查了一次函数，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，一次函数交点坐标，正确地作出辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形是解决问题的关键． 26．（10分）如图1矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形． ①直线的函数解析式为：_____， ②在轴上另有一点的坐标为．请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和的周长的最小值． (2)如图2，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1)①；②点M的坐标为；的周长的最小值为 (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质和平行线的性质可证明，则可证明，得到，故，据此可证明是等腰直角三角形，得到，则，可推出，再利用待定系数法求解即可；②可证明是等腰直角三角形，则，可求出；作点E关于直线的对称点T，连接，则，可证明当T、M、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；证明点P为的中点，求出点T的坐标为，据此可得答案； （2）作于点H，证明四边形是矩形，得到，证明，得到，，则可求出，，则，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当为等腰直角三角形时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 由题意得，，则， ∴， ∴直线的解析式为；（3分） ②由（1）①可知是等腰直角三角形，则， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，作点E关于直线的对称点T，连接，则， ∴的周长， ∴当T、M、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值； 由（1）①得， 由轴对称的性质可得， ∴E、P、T三点共线，即点P为的中点， ∴点T的坐标为，即， ∴， ∴的周长的最小值为； ∵轴， ∴点M的横坐标为4， 在中，当时，， ∴此时点M的坐标为（6分） （2）解：如图，作于点H， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证明， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ，   ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式， ∴， ∴， ∴直线的解析式．（10分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第二十二、二十三章 函数与一次函数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列函数中，为正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 2．小花去买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 3．点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．9 B．1 C． D． 4．已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，则放水后，水池中还有水（    ） 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A． B． C． D． 6．已知一次函数的图象和正比例函数的图象在同一个坐标系内，那么可能是（    ） A． B． C． D． 7．一根弹簧原长，它所挂的物体的质量不超过，并且挂重就伸长，则挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式是（  ） A． B． C． D． 8．如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 10．骑摩托车，骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程（）与行驶时间（）之间存在函数关系，图象如图所示．给出下面的结论：①甲、乙地相距；②行驶了用了；③比晚出发；④行驶的平均速度为每小时．则上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．在函数中，自变量的取值范围是_____． 12．已知和点是直线上的两个点，那么_____（“”或“”） 13．根据如图所示的计算程序计算y的值，若输入，则输出的y值是______． 14．将正比例函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的函数图像与x轴的交点坐标为______． 15．已知一次函数（是常数）与的部分对应值如下表： 0 1 2 6 4 2 0 不等式的解集是______． 16．如图，已知函数和图象交于点，点的横坐标为1，则关于，的方程组的解是___________． 17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点落在直线上，若正方形的面积为20，则点的坐标为________． 18．如图1，直角坐标系中点、、、，过点的直线，与四边形交于点，（点和点可以重合）．以的值为点的横坐标，线段的长度为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2．则函数的最大值是______，函数的图象与横轴两交点之间的距离为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）随着双11活动的到来，快递业务越来越多，某快递公司的大量快递需要分拣，为了提高效率，公司使用智能快递分拣机器人来分拣快递，该机器人每分钟可以分拣80件快递． (1)请补全下表； 分拣时间 1 2 3 4 5 已分拣的快递件 80 160 240 ______ ______ (2)写出已分拣的快递y与分拣时间x之间的关系式，并判断y是否为x的正比例函数． 20．（8分）已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的值． 21．（8分）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 22．（8分）一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求该函数的图象与轴，轴的交点坐标： (3)画出该函数图象． 23．（8分）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，某研究团队测得一定温度下声音的传播速度（）与温度（）部分对应数值如表：研究发现：是的一次函数． 温度（） 声音传播的速度（） (1)观察表中的数据，可以发现：声音传播的速度随温度的增高而______； (2)直接写出符合要求的函数表达式：________； (3)当温度为时，声音的传播速度是_______． 24．（8分）福州是世界茉莉花茶的发源地和主要产区，茉莉花茶是福州作为海上丝绸之路重要节点的文化名片．福州某茶企计划从闽江沿岸茉莉花种植基地购进茉莉花制成甲、乙两款茉莉花茶，用于供应本地茶博会与线上商城．已知乙款茉莉花茶的成本比甲款茉莉花茶的成本每千克高70元，5甲款茉莉花茶和乙款茉莉花茶的成本共需1900元． (1)问甲、乙两款茉莉花茶每千克的成本分别为多少元？ (2)该茶企计划制作甲、乙两款茉莉花茶共1000，其中甲款茉莉花茶的重量不超过乙款茉莉花茶重量的1.5倍，且两款茉莉花茶的总成本不超过229000元．若甲款茉莉花茶的售价是每千克250元，乙款茉莉花茶的售价是每千克350元，求销售完这两款茉莉花茶的最大利润． 25．（10分）如图，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，且与直线相交于点A， (1)求直线的表达式和点A的坐标． (2)如图1，点D在直线上，且横坐标为2，点Q为射线上一动点，若，请求出点Q的坐标． (3)如图2，过点A作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上一点，且，请直接写出直线的表达式． 26．（10分）如图1矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形． ①直线的函数解析式为：_____， ②在轴上另有一点的坐标为．请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和的周长的最小值． (2)如图2，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出直线的解析式． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $