第二十二、二十三章 函数与一次函数题型过关专练 -2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】（人教版）

**基本信息** 聚焦函数与一次函数，按基础-中等-优质分层设计，覆盖概念、性质、应用及几何综合，逻辑递进且贴合核心素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|常量变量等9类|概念辨析与基础计算|从常量变量到函数定义，再到一次函数概念生成| |性质应用|表格/关系式表示关系等8类|知识综合与方法迁移|从平移/增减性到与方程不等式结合，体现推理意识| |综合拓展|图像信息获取等10类|实际应用与几何结合|从实际问题建模到几何图形综合，发展应用意识与创新意识|

第二十二、二十三章 函数与一次函数 思维导图 【类型一】常量与变量 1．下列两个变量间不存在函数关系的是（   ） A．圆的面积和半径的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【答案】D 【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、圆的面积随半径的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； B、随x的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项不符合题意； D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项符合题意． 2．广西南宁市武鸣区是全国知名的沃柑主产区，南宁沃柑以果皮光滑、果肉脆嫩、甜度高、汁水足而闻名，是南宁的特色水果名片．南宁沃柑的市场零售价为5元/斤，买m斤沃柑共支付n元，则5和m分别是（  ） A．常量，变量 B．变量，常量 C．常量，常量 D．变量，变量 【答案】A 【分析】根据定义判断5和m的属性即可得到结果． 【详解】解：沃柑的零售价5元/斤是固定不变的数值，故5是常量． 购买沃柑的斤数可以取不同的数值，故是变量． 因此5是常量，是变量． 3．寒假白白一家自驾游福州，爸爸开车到加油站加油，白白发现加油机上某一时刻的数据显示牌如图所示，则其中的常量是__________．（请填写“金额”、“油量”或“单价”） 【答案】单价 【详解】解：由题意得，常量是单价． 【类型二】函数的定义 1．下列图象中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据考查函数的定义判断即可． 【详解】解：选项A：作垂直于轴的直线，会出现与图像有2个交点，不满足“一个对应唯一”，故不是函数； 选项B：圆的图像中，垂直于轴的直线会出现与圆有2个交点，不满足定义，故不是函数； 选项C：作垂直于轴的直线，会出现与图像有2个交点，不满足定义，故不是函数； 选项D：任意作垂直于轴的直线，与图像都只有1个交点，满足“一个对应唯一”，故是的函数． 故选：D． 2．对于下列问题中的两个变量，y不是x的函数的是（   ） A．圆的面积y与半径x B．乘坐摩天轮的游客离地面的高度y与时间x C．某天的气温y与时间x D．某款手机的销售量y与进货数量x 【答案】D 【分析】函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，否则y不是x的函数． 【详解】解：根据函数定义判断各选项: ∵选项A中，任意给定一个半径x，都有唯一确定的圆面积y与之对应，因此y是x的函数； 选项B中，任意给定一个时间x，都有唯一确定的游客高度y与之对应，因此y是x的函数； 选项C中，任意给定一个时间x，都有唯一确定的气温y与之对应，因此y是x的函数； 选项D中，任意给定一个进货数量x，销售量y不是唯一确定的值，不存在唯一的y与确定的x对应， ∴y不是x的函数的是D． 3．下列关系式：，其中是的函数的是____（填序号） 【答案】①②④⑥ 【分析】根据函数的定义，判断每个关系式中，对x的任意一个确定的值，是否有唯一确定的y值与之对应，逐一判断即可得到结果． 【详解】解：① 对于关系式 ，x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数． ② 对于关系式 ，x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数． ③ 对于关系式 ，当x取任意非零确定值时，y有两个不同的值与之对应，因此y不是x的函数． ④ 对于关系式 ，当x取任意满足条件的确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数． ⑤ 对于关系式 ，当x取任意非零确定值时，y有两个不同的值与之对应，因此y不是x的函数． ⑥ 对于关系式 ，x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数． 【类型三】正比例与一次函数的定义 1．下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义（形如（其中为常数，且）的函数是的正比例函数）对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、符合正比例函数的定义，符合题意； B、是一次函数，常数项不为，不是正比例函数，不符合题意； C、是反比例函数，不符合正比例函数的形式，不符合题意； D、中未说明，当时不是正比例函数，不符合题意． 2．已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数需满足两个条件：x的次数为1，且一次项系数不为0，据此列等式和不等式计算即可得到m的值． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解，得，即或， 又∵，即， ∴． 3．若是正比例函数，则m的值是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，一次项系数不为零，常数项为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， 解得． 【类型四】求自变量的值与取值范围 1．函数中自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式中被开方数必须为非负数，据此列不等式求解即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数是非负数， ∴对于函数， ∴， 解不等式得． 2．变量x，y的一些对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 【答案】B 【分析】根据表格中两个变量对应值的变化规律即可求解． 【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可得，， 当时，． 3．已知，那么______． 【答案】/ 【分析】把代入，即可求解． 【详解】解：． 【类型五】一次函数的平移 1．将直线沿轴向下平移个单位长度后得到的直线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】掌握“上加下减”的平移法则，按平移规律求解即可． 【详解】解：直线沿轴向下平移个单位长度， 平移后的直线表达式为． 2．将直线向左平移2个单位长度得到直线：，则直线的解析式是（   ） A． B． C． D．以上解析式都不对 【答案】C 【分析】利用一次函数平移“左加右减自变量”的规律可得平移后的关系式为，再根据对应常数项相等得出答案． 【详解】解：设的解析式为． ∵向左平移2个单位长度，则平移后直线的关系式为，即． ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 3．已知点是一次函数图象上的一点，若将该函数图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后，点A的对应点位于第二象限，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征与平移的性质，掌握函数图象平移的规律“左加右减、上加下减”，以及第二象限内点的坐标符号特征是解题的关键.先根据点在一次函数图象上得到与的关系，再根据平移规律得到平移后点的坐标，最后结合第二象限点的坐标特征列不等式组求解即可． 【详解】解：已知点在一次函数的图象上， ， 将该函数图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位， 根据平移规律，点的对应点坐标为， 即，化简得， ∵对应点位于第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， 可得不等式组：， 解不等式，得； 解不等式，得． 综上，的取值范围是． 【类型六】一次函数与坐标轴的交点坐标 1．一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴上点的横坐标为的性质，将代入一次函数解析式求出的值，即可得到函数与轴的交点坐标． 【详解】解：令，得， 一次函数的图象与轴交点坐标是． 2．直线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入即可求出直线与轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， ， 即直线与轴的交点坐标为． 3．已知直线与坐标轴交于、两点，那么线段的长是______． 【答案】10 【分析】先求出、两点的坐标，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在直线中， 令，则； 令，则，解得； ，． ． 【类型七】一次函数的增减性 1．若点都在直线（为常数）上，则的大小关系是（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数解析式的斜率判断y随x的增减性，再比较两点横坐标的大小即可得到y的大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 2．已知一次函数的图象经过点，且的值随的增大而增大，若点在该函数的图象上，则点的坐标可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的性质确定，再结合点得到，然后将各选项坐标代入解析式，验证是否成立，从而筛选出符合条件的选项． 【详解】解：∵一次函数中随的增大而增大， ∴． ∵函数图象经过点， ∴， ∴． 选项A：， 将代入，得：， 又，矛盾，故A错误． 选项B： 将代入，得：， 将代入，得：， ， ， ，不符合，故B错误． 选项C： 将代入，得：， 将代入，得：， ， ， ，不符合，故C错误． 选项D： 将代入，得：， 将代入，得：， ， ， ，符合，故D正确． 3．若点在一次函数的图象上，则的大小关系是________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键． 根据题意判断出函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 【类型八】画一次函数的图像 1．已知一次函数，并完成下列问题 (1)画出这个函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出直线与轴，轴的交点坐标，画出函数图象即可； （2）根据图象，写出y的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴直线与坐标轴的交点坐标为， 画出函数图象如下： （2）解：由图象可知，当时，y的取值范围是． 2．直线（其中），当取不同的数值时，可以得到许多不同的直线，我们一起来探究这些直线的某些共同特征： (1)当时，直线的函数解析式为______，请画出此函数图象；当时，直线的函数解析式为______，请画出此函数图象；当时，直线的函数解析式为______，请画出此函数图象；观察图象，猜想：直线（其中）必经过点______； (2)证明你的猜想． 【答案】(1)；；； (2)见解析 【分析】（1）分别将的值代入解析式；再画出一次函数的图象，观察图象，即可求解； （2）由，可得当时，无论取何值，，即可求解． 【详解】（1）解：当时，直线的函数解析式为； 当时，直线的函数解析式为； 当时，直线的函数解析式为， 它们的图象如图所示， 猜想：直线（其中）必经过点． （2）证明：， 当时，无论取何值，， 直线（其中）必经过点． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与点． (1)求此一次函数的解析式，并在坐标系中画出它的图象； (2)若设点为此一次函数图象与轴的交点，求的面积． 【答案】(1)，画图见解析 (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，画一次函数的图象，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握求一次函数的解析式及画一次函数的图象是关键． （1）先用待定系数法求一次函数的解析式，再经过，两点作直线即可； （2）先求出一次函数与x轴的交点坐标，再计算三角形的面积即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 将，代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； 经过，两点作直线，如图所示： （2）解：令，则， 解得， ， ， ， ， 在中，的面积为． 【类型九】求一次函数的解析式 1．已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)求当时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设关于的函数解析式为，将当时，，代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）中解析式求解，即可解题． 解题的关键是掌握正比例函数解析式的形式，以及利用待定系数法求正比例函数解析式． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 当时，， ， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：， ， 解得． 2．已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的表达式． (2)若，是该一次函数图象上的两点，时，求函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分别表示出和，根据的取值范围结合不等式的性质即可表示出的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点和， ，解得， ； （2）解：当时，， 当时，， ， ， ， 即． 3．如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或 【分析】（1）设直线的函数解析式为，将、代入求解即可； （2）联立两直线解析式组成方程组，求得，再求出，即可根据三角形面积公式计算； （3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，可知，据此可求得，即可求得答案；当点P在x轴下方时，可知，据此可求得，即可求出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将、代入，得， 解得：， 直线的函数解析式为； （2）解：联立两直线解析式组成方程组， 解得：， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， ； （3）解：存在． 当点P在x轴上方时， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； 当点P在x轴下方时， ， ， ， ， ， ， ， 此时点P的坐标为； 综上所述：在直线上存在点或，使得面积是面积的3倍． 【点睛】在一次函数与面积的综合问题中，通常要结合图形中点的不同位置全面考虑，分别求解． 【类型一】用表格表示变量间的关系 1．某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 【答案】D 【分析】根据表格信息逐一判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：选项A：快递费用随着交寄物品质量的变化而变化，故自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用，A说法正确； 选项B：由表格数据可知，交寄物品质量增大时，快递费用也随之增大，B说法正确； 选项C：查表可得，当交寄物品质量为时，快递费用为元，C说法正确； 选项D：计算相邻费用的差值，当交寄物品的质量从增加到时，快递费用增加元，可知交寄物品质量每增加，快递费用增加元，不是元，D说法不正确． 2．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗实验，实验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表： 小时 0 1 2 3 升 100 92 84 76 由表格中与的关系可知，当汽车行驶5小时时，油箱的剩余油量为____升． 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示函数关系．由表格数据可知，油箱剩余油量与行驶时间成线性关系，每小时耗油升，初始油量为升，因此关系式为，进而令，代入解析式，即可求解． 【详解】解：由表格数据可知，油箱剩余油量与行驶时间成线性关系，每小时耗油升，初始油量为升，因此关系式为， 当时，. 故答案为：． 3．在高海拔（为高海拔，为超高海拔，以上为极高海拔）地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据： 海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 空气含氧量/（） 299.3 265.5 234.8 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 105.97 (1)如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)在海拔高度0m的地方空气含氧量是多少？海拔高度4000m的地方空气含氧量是多少？ (3)随着海拔高度的变化，空气含氧量是如何变化的？ 【答案】(1)该表反映了海拔高度和空气含氧量的关系，海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量 (2)； (3)随着海拔高度的增加，空气含氧量逐渐减少 【详解】（1）解：该表反映了海拔高度和空气含氧量的关系，海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； （2）解：观察表格可知，在海拔高度的地方空气含氧量是；海拔高度的地方空气含氧量是； （3）解：观察表格可知，随着海拔高度的增加，空气含氧量逐渐减少． 【类型二】用关系式表示变量间的关系 1．如图，一农户建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的篱笆围成．为方便进出，在边上留一扇1米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得米，，据此可得，根据列出不等式组求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米， ∵篱笆的长度为25米， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，根据用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米，设边的长为米，则，即可作答． 【详解】解：∵用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米，设边的长为米，边的长为米， ∴， ∴． 3．淇淇自主创业，在网上经营一家水果店．为了增加销量，淇淇开展了促销活动：若顾客一次性购买水果的总价超过120元，顾客就少付超过部分的．每笔订单顾客网上支付成功后，淇淇会得到支付款的．设顾客一次购买水果的总价是x元，淇淇得到的金额是y元． (1)当时，y与x的函数关系式是________；当时，求y与x的函数关系式． (2)顾客甲和乙都购买水果，若二人分别购买，网上支付成功后，淇淇分别得到81元和117元． ①求顾客乙购买水果的总价； ②若甲、乙二人合买，直接写出二人合买比分别购买省多少钱． 【答案】(1)当时，；当时， (2)①顾客乙购买水果的总价为元；②二人合买比分别购买省元 【分析】（1）根据所给的收费方案列式求解即可； （2）①根据题意可求出顾客乙购买水果的总价超过120元，再把代入中求出x的值即可得到答案；②根据题意可求出顾客甲购买水果的总价不超过120元，据此求出顾客甲购买水果的总价，再分别求出二人单独购买的费用和合买的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，当时，； 当时， （2）解：①∵， ∴顾客乙购买水果的总价超过120元， 在中，当时，， 解得， 答：顾客乙购买水果的总价为135元； ②∵， ∴顾客甲购买水果的总价不超过120元， 在中，当时，，解得， ∴顾客甲购买水果的总价为90元， ∴顾客甲和顾客乙一起购买水果的总价为元， 元， 元， 元 答：二人合买比分别购买省元． 【类型三】用图像表示变量间的关系 1．如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【详解】∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选：A． 2．已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 【详解】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 3．甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 【答案】(1)甲出发的时间t；距起点的距离s (2)6； (3)当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米 【分析】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，常量与变量，体现了方程思想，当甲第1次追上乙时，根据所跑路程相等列出方程求出t是解题的关键． （1）根据图象的横轴表示自变量，纵轴表示因变量即可得出答案； （2）根据甲100秒跑了600米，乙150秒跑了（米）计算速度即可； （3）设t秒时，甲第1次追上乙，根据所跑路程相等列出方程求出t，进而得到甲距起点的距离． 【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是甲出发的时间t，因变量是他们距起点的距离s． 故答案为：甲出发的时间t；他们距起点的距离s． （2）解：甲的速度为：（米/秒）， 乙的跑步速度为： （米/秒）． 故答案为：6；． （3）解：设t秒时，甲追上乙， 根据题意得： 解得： ， 则（米）， 答：当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米． 【类型四】一次函数与一元一次方程 1．已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 2．已知一次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则关于的方程的解是____________． 0 1 2 0 2 4 6 【答案】 【分析】方程的解为一次函数中时对应的的值，只需从表格中查找对应数据即可求解． 【详解】解：观察表格可知，当时，对应的的值为， 即当时，成立， 因此方程的解是． 3．小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下． (1)根据函数表达式列表如下，则表中___________； ．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．． ．．． 3 1 0 1 2 3 ．．． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)方程的解为___________ 【答案】(1) (2)图见解析 (3)或 【分析】本题考查绝对值函数的列表、图像绘制，以及利用函数图像解方程，解题关键是掌握绝对值的计算方法、函数图像的画法，以及利用函数交点求解方程的思想． （1）利用函数表达式，将代入计算对应的值，得到； （2）根据列表中与的对应值，在平面直角坐标系中描点并连线，画出函数的图象； （3）解绝对值方程，需分和两种情况讨论，分别求解后检验解是否满足对应范围，从而确定方程的解． 【详解】（1）解：已知函数为，当时，将代入函数表达式： ，因此； 故答案为：； （2）如图所示： （3）解绝对值方程需分情况讨论： 情况一：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：，   检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 情况二：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：， 检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 综上，方程的解为或． 故答案为：或． 【类型五】一次函数与一元一次不等式 1．如图，函数的图象过点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的平移规律即可得出结果． 【详解】解：函数的图象向左移动一个单位后， 即为函数的图象，该图象过点， 且函数图像上升， 故关于的不等式的解集为． 2．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中画出了一次函数和的图象（如图），两直线相交于点，分别与轴交于点．已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的不等式的解集是_______； (2)关于的不等式的解集是________； (3)关于的不等式组解集是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用与轴交于且递减，得图像在轴上方时，解集为； （）根据两直线交点横坐标为，得交点左侧在下 方，解集为； （）解：由交点且递减，得函数值小于时；解：由与轴交于，递增，得；取两者公共部分，不等式组解集为． 【详解】（1）解：不等式，表示的图像在轴上方， ∵与轴交于，且随增大而减小， ∴图像在轴上方时； （2）解：不等式，表示的图像在图像下方， ∵两直线交点的横坐标为，交点左侧满足在下方， ∴解集为； （3）解：∵：表示函数值小于，交点，递减， ∴解集为； ∵：表示函数值大于，与轴交于，递增， ∴解集为； ∴两个解集的公共部分为，即不等式组的解集． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出：的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式； （2）根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数图象上， ， ，        即点坐标为， ∵一次函数经过、点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：由图象可得不等式的解为：． 【类型六】一次函数与二元一次方程组 1．已知函数的图象如图所示，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：由图可知，函数的交点坐标为， ∴方程组的解是． 2．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 3．【活动回顾】 我们教科书曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线； 结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取两点和，作出直线． 【解决问题】 （1）请你在图1所给的平面直角坐标系中再画出以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象． （2）观察图象，二元一次方程组的解是_______； 【拓展延伸】 （3）如图2所示．在同一平面直角坐标系中，二元一次方程图象是，二元一次方程的图象是，请根据图象，判断方程组的解的情况是_______（不需要说明理由）． 【思维发散】 （4）若二元一次方程组无解，求a的值 【答案】（1）见详解；（2），（3）无解， （4）4 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据两点确定一条直线即可画出函数图象； （2）根据函数图象即可确定交点坐标以及二元一次方程组的解； （3）根据图象即可确定方程组解的情况； （4）根据方程组无解，可知两条直线平行，即k值相等，进而可得出a的值． 【详解】解：（1），取点， 则以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象如下： （2）根据图象可知，两直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解是 （3）根据函数图象可知，两直线平行， ∴方程组二元一次方程组的解是无解． （4）∵二元一次方程组无解，即，即， ∴二元一次方程图象和二元一次方程图象平行， ∴ ∴ 【类型七】求直线围成的图形面积 1．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点C，与x轴交于点D．动直线轴，与直线，分别交于，． (1)求k，b的值； (2)当时，直接写出t的取值范围； (3)在直线上有一点P，使的面积为6，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）联立一次函数解析式求出，根据图象的位置关系进行解答即可； （3）设P点的坐标为．求出的长度，根据面积列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，直线经过点，， 根据题意，得， 解得， （2）解：由（1）可得，的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故． ∵动直线轴，与直线，分别交于，． ∴当时，t的取值范围为； （3）解：设P点的坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴ ∵的面积为6， ∴ 即， 解得或 ∴P点的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)若点在直线上，连接，求的面积． (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)4 (3) 【分析】（1）把代入解析式，求出m的值，把点A的坐标代入求出k的值即可； （2）先求出点C与点B的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可； （3）根据函数图象求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）得， 直线的解析式为， 当时，，则， 设直线与轴交点为，当时，，则， ∴； （3）解：根据图象得，不等式的解集为：． 3．如图，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)结合图象直接写出关于的方程组的解为__________； (2)结合图形直接写出的解集为_________； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； （）求出点坐标，得到的长，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的交点问题，一次函数与几何图形，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与直线相交于点， ∴关于的方程组的解为， 故答案为：； （2）解：由函数图象可知，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：把代入，得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【类型八】一次函数的对称与旋转 1．如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3)作图见解析， (4)，作图见解析， 【分析】（1）利用描点法作图即可； （2）根据一次函数的平移即可解答； （3）先求得直线与轴，轴的交点，利用轴对称的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答； （4）先利用旋转的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，可得， 解得， ∴直线经过，， 作图如下： ； （2）解：将直线向下平移4个单位得到直线，作图如下： 可得直线所对应的函数表达式为； （3）解：当时，可得， 解得， 当时，， 是直线上的点， 直线与直线关于轴成轴对称， 是直线上的点， 设直线的表达式为， 把代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： ； （4）解：根据（3）中可得，且直线经过点， 将直线绕点逆时针旋转得到直线， 点绕点逆时针旋转的对应点为点 直线经过，， 设直线的表达式为， 把，代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： . 2．（1）【知识结论】 我们知道一次函数的图象可以由直线平移个单位得到． 那么将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为：________； （2）【拓展探究】 我们已学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经过图形变换后的函数表达式”的数学活动． ①（平移变换）将图1中一次函数的图象沿着轴向左平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．小组探究发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在原图象上任取两点，，将这两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，其坐标分别为（________），（________），从而求出直线对应的函数表达式为：______________________________； ②（轴对称变换）将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：________________； （3）【学以致用】 将一次函数的图象沿轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数图象对应的函数为．由和的图象组成的函数图象对应的函数为．当时，，则的取值范围为________．    【答案】（1）；（2）①，，；②；（3） 【分析】此题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，平移、对称的性质，熟练掌握相关知识是解本题的关键． （1）根据平移的规律求解即可； （2）①根据坐标的平移规律求出，的坐标，进而根据待定系数法求解即可；②同①在一次函数的图象上任取两点，，求出关于轴对称的点，进而根据待定系数法求解即可； （3）同（2）方法求出，可知，分三种情况求出的值，可知，，求出在的取值范围，进而可知中的取值范围，进而可知的范围． 【详解】解：（1）将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为， 故答案为：； （2）①，两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，， 设直线的解析式为，将点，代入得， 解得， 直线对应的函数表达式为， 故答案为：，，； ②在一次函数的图象上任取两点，，则，两点关于轴的对称点为，， 设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为，即一次函数的图象关于轴对称的函数表达式为， 故答案为：； （3）， 函数与轴交点为，与轴交于点． 这两点关于轴对称的对称点坐标分别为，． 将其向左平移个单位，再向上平移个单位得到对应点的坐标分别为， 函数的解析式为． ， 当时， ， 随的增大而减小． 当时，， 当时，代入，得到， ， ，矛盾，不合题意，舍去； 当，即时， ， 随的增大而增大， 当时，， ， ，不合题意，舍去； 当，即时， 由图象知函数最小值为． ， ， ，， ， 当时，， 当时，， 当时，，则， 当时，，则， ， ．    3．【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为___________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为___________． ②如图2，将直线绕点逆时针旋转45°．则所得图象对应的函数表达式为___________． 【拓展应用】 （5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为___________． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）①；②；（5）或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （4）①设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式； ②过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （5）分A为直角顶点和B为直角顶点讨论，根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2）∵，， ∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ∴． ∴． ∴过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵， 当时，， ∴点， 当时，，解得， ∴点． 如图， ∵一次函数的图象关于x轴对称，， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （4）①如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； ②如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （5）当A为直角顶点时，过C作轴于M，过B作轴于N，如图， 则， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 当B为直角顶点时，过B作轴于N，过C作于M，如图， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，C的坐标为或． 【类型一】从函数图象获取信息 1．碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．当温度为时，碳酸钠溶解度为 B．当温度为时，碳酸钠溶解度为 C．当温度为时，碳酸钠的溶解度最大 D．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 【答案】B 【详解】解：观察图象可知：当时，图象与轴交点在原点上方，即，故A选项错误； 当时，图象对应的纵坐标为，即溶解度为，故B选项正确； 图象的最高点对应的横坐标为，即当温度为时溶解度最大，故C选项错误； 图象在呈上升趋势，在后呈下降趋势，即溶解度先增大后减小，故D选项错误． 2．酸和碱作用生成盐和水的反应叫作中和反应．向装有一定量的稀氢氧化钠溶液的试管中滴加稀盐酸，下面是同学们运用手持技术数字化实验测出的溶液的和温度．如图是溶液和温度分别与滴加稀盐酸的体积的关系图象．下列结论中错误的是（   ） A．未滴加稀盐酸时，试管中的稀氢氧化钠溶液的是，温度是 B．当滴加稀盐酸的体积V是时，溶液的是 C．溶液的随着滴加的稀盐酸的体积V增大而减小 D．当溶液的温度是时，此时溶液一定呈酸性 【答案】D 【分析】根据所给函数图象逐一判断即可． 【详解】解：A、由函数图象可知，未滴加稀盐酸时，试管中的稀氢氧化钠溶液的是，温度是，原说法正确，不符合题意； B、由函数图象可知，当滴加稀盐酸的体积V是时，溶液的是，原说法正确，不符合题意； C、由函数图象可知，溶液的随着滴加的稀盐酸的体积V增大而减小，原说法正确，不符合题意； D、由函数图象可知，当溶液的温度是时，加入的稀盐酸的体积V小于或为，当加入的稀盐酸的体积V小于时，此时溶液的大于，即此时溶液呈碱性，原说法错误，符合题意． 3．如图1，将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽．水槽内水面的高度y（）与注水时间x（）之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，那么再经过________秒可将水槽注满． 【答案】10 【分析】根据函数图象可得正方体铁块的棱长为，然后计算出无铁块时水面上升的速度，进而求出无铁块时水面上升所需的时间，两者之差即为取出铁块后需补充注水的时间． 【详解】解：由图象可得，正方体的棱长为， 没有铁块时，水面从上升到，所用的时间为 ∴水面上升的速度为， ∴若无铁块，水面上升所需时间为 ∴铁块占据的体积对应的注水时间为 ∴如果将正方体铁块取出，那么再经过10秒可将水槽注满． 【类型二】动点问题的函数图象 1．如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线经过点，即，，结合当运动时间为秒时，，即可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点． 根据图象可知，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线经过点，即，． ∵四边形为菱形， ∴，． 又． ∴． ∴． ∴． ∵当运动时间为秒时， ， ∴． ∴． 2．边长为4的正方形的边上有一个动点P，从点A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y，请结合下面函数图象分析：当时，y的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意可得点在正方形的边上每移动一周，则的值增加16，而（周）……10（单位长度），从而可得当时，点位于上距离点D2个单位长度，最后根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：点在正方形的边上每移动一周，则的值增加16， （周）……10（单位长度）， 当时，点位于上距离点2个单位长度，如图所示： ． 3．如图1，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接，设BF的长为x，，如图2是点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是______． 【答案】 【分析】连接，由对称的性质可得， 所以，当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，根据图，时，，设，则，根据，此时可计算， 连接交于，连接，过点作于，通过，算得，，计算通过勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，连接，，交于， ∵在菱形中点，点关于对称， ∴， ∴， 当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，如图，当时，， 设，则，， ∴， ∴， ∴，， 由图知：， 如图，连接交于，连接，过点作于， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由勾股定理得：，此时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， 即图象最低点的纵坐标是． 【类型三】一次函数的规律 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、、的坐标，同理可得出、、、…的坐标，进而得到、、、、……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得， ． 同理，可得出：，，，……， 的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， 的横坐标为（为正整数）， ∴点的横坐标是． 2．在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律． 首先，根据等腰直角三角形的性质求得点，的坐标；然后，将点，的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线的解析式为；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点，的横坐标为，即可求得点的坐标，进一步可得答案． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 点的坐标为， 同理，在等腰直角三角形中，，，则， 和均在一次函数的图象上， ， 解得， 该直线的解析式为， 和的横坐标相同，都是3， 当时，，即，则， ， …… 以此类推，，的横坐标为， 当时，， 点的坐标为． 点的坐标为． 故选：D． 3．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意，先找到点，，横纵坐标的规律，然后由求解即可． 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 同理可得，，，… ∵，， ∴ ∵ ∴点的坐标为，即． 【类型四】一次函数的将军饮马 1．如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、轴对称-最短路线问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，结合函数图象分三种情形计算分析即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，如图1， ， 关于直线的对称点， 连接交于点，此时取最小值等于， 又， 轴， ， 故①正确，②错误； 连接并延长交直线于，如图2， 此时，取最大值等于， 设直线为， ， ， ， 直线为， 联立方程组， ， 此时， 故③错误； 由题意，连接，作的垂直平分线交于点，如图3， ， 取得最小值为， 在的垂直平分线上， ， 的中点为， 直线为， 的垂直平分线为， 联立方程组， ， ，此时取得最小值， 故④正确； 综上，正确的有①④； 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边，使得点落在第一象限，连接，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质及轴对称-最短路线问题，根据点的运动先证明点在直线上运动，再根据轴对称最值问题，作点关于直线的对称点，连接，求出的长即可． 【详解】解：如图，作，边交直线于点，作直线， 由直线可知，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 轴，即点在直线上运动， 过点作关于直线的对称点，连接，即为所求最小值， 此时，在中，，， ， ． 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴上一动点，点是正比例函数图象上一动点，则周长的最小值为___________．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形，平面直角坐标系的特点，两点之间距离的计算，掌握以上知识是关键． 过点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接，当点共线时，周长的最小值，结合两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：点的坐标为，点是轴上一动点，点是正比例函数图象上一动点，如图所示，过点作关于轴的对称点，连接交轴于点，作点作关于直线的对称点，连接，交轴于点，交直线于点，      ∴，，， ∴当点共线时，周长的最小值， ∴， 连接，过点作轴于点， ∴，，即，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【类型五】一次函数的应用一方案问题 1．活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下： 项目 方案一（第三方合作安装） 方案二（物业自主安装） 费用明细 1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋 2．充电桩安装费：50元/个 3．免费提供3年质保服务 1．每栋楼无基础服务费 2．充电桩安装费：35元/个 3．充电桩辅材采购费：20元/个 4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同） 若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？ 【答案】当时，选方案一费用较少；当时，选方案一和方案二费用一样多；当时，选方案二费用较少 【分析】设方案一的费用为元，方案二的费用为元，根据方案一和方案二分别列出所需的费用，然后求出，和时对应x的取值范围，进而可求解． 【详解】解：设方案一的费用为元，方案二的费用为元， ， ， 若，则解得：， 若，则解得：， 若，则解得：， 所以， 当时，选方案一费用较少； 当时，选方案一和方案二费用一样多； 当时，选方案二费用较少． 2．仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二． 背景 某学校计划购入A，B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元． ☆任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数量不超过A款的1.5倍． ☆任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案． 【答案】(1)每台A款学习机的价格是1000元,每台B款学习机的价格是800元 (2)购买20台A款学习机，30台B款学习机，最省钱 【分析】（1）根据购买两款学习机的两组总价条件，列二元一次方程组，求解两款的单价； （2）先设购买款的数量，用它表示款数量和总费用；再根据款数量不超过 款倍的约束条件，求费用函数的最小值，得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设每台款学习机的价格是元，每台B款学习机的价格是元． 由题意得，解得， ∴每台款学习机的价格是1000元，每台款学习机的价格是800元． （2）解：设购买台款学习机，台款学习机，总费用为元． 由题意可得：， 解得． 由题意得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， 此时，，． ∴购买20台款学习机，30台款学习机，最省钱． 3．请你根据以下素材，完成有关任务． 背景 为助力乡村振兴，推广云南特色农产品，某特产店推出云南小粒咖啡礼盒与云南野生菌干货礼盒两款产品． 素材1 购买2盒云南小粒咖啡和3盒野生菌干货共花费145元；购买3盒云南小粒咖啡和5盒野生菌干货共花费230元． 素材2 某游客计划购买这两种产品共40盒，若要求野生菌干货礼盒的数量不少于云南小粒咖啡礼盒的1.5倍． 请完成下列任务 (1)任务1：确定单价，求购买一盒云南小粒咖啡和一盒野生菌干货分别需要多少元？ (2)任务2：拟定购买方案，请设计最省钱的购买方案，并求出最低总费用． 【答案】(1)购买一盒云南小粒咖啡需要元，购买一盒野生菌干货需要元 (2)购买了云南小粒咖啡礼盒盒，则购买野生菌干货礼盒盒时最省钱，总费用最低为元 【分析】（1）购买一盒云南小粒咖啡需要x元，购买一盒野生菌干货需要y元，根据题目的数量关系列式方程组求解即可； （2）设购买了云南小粒咖啡礼盒盒，则购买野生菌干货礼盒盒，由此列不等式得到，设购买两种礼盒总费用为，根据数量关系，结合一次函数图像的性质求解即可． 【详解】（1）解：购买一盒云南小粒咖啡需要x元，购买一盒野生菌干货需要y元， ∴， 解得，， ∴购买一盒云南小粒咖啡需要元，购买一盒野生菌干货需要元； （2）解：设购买了云南小粒咖啡礼盒（是大于0的整数）盒，则购买野生菌干货礼盒盒， ∴， 解得，， ∵某游客计划购买这两种产品共40盒， ∴， 设购买两种礼盒总费用为， ∴， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，总费用最低，最低总费用为元，则， ∴购买了云南小粒咖啡礼盒盒，则购买野生菌干货礼盒盒时最省钱，总费用最低为元． 【类型六】一次函数的应用一利润问题 1．项目学习 项目主题：机器人采购中的数学建模与优化决策 项目背景：年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武》节目．机器人完成倒退跨越障碍、后空翻、连续空翻等高难度动作，并展示棍术、双节棍、醉拳等武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划采购、两款入门级商用机器人，用于商业展演与科技推广，两款机器人价格贴合企业实际采购预算． 驱动任务：请你作为公司的数学建模顾问，完成以下两个任务，为公司提供采购决策依据． (1)任务一：已知每台种机器人比种机器人贵1万元，用万元购进种机器人的数量是用万元购进种机器人数量的2倍． 求购买一台种机器人、一台种机器人各需多少万元？ (2)任务二：该公司计划再次购买型和型机器人共台，(两款均需购买)，购买型机器人数量不超过型机器人数量的2倍，且商家给出了两种型号机器人均打八折的优惠．问购买型和型机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少万元？ 【答案】(1)购买一台种机器人需要万元，购买一台种机器人需要万元； (2)购买型机器人台、型机器人台时花费最少，最少花费是万元． 【分析】（1）设未知数表示、两款机器人的单价，根据“万元购进种机器人的数量是用万元购进种机器人数量的2倍”这一等量关系列分式方程求解，最后检验分式方程的根即可． （2）设购买型机器人的数量，表示出型机器人的数量，根据限制条件列不等式确定自变量的取值范围，再列出总花费关于型机器人数量的一次函数，根据一次函数的增减性求最值． 【详解】（1）解：设购买一台种机器人需要万元，则购买一台种机器人需要万元， 根据题意得：解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：购买一台种机器人需要5万元，购买一台种机器人需要6万元． （2）解：设购买型机器人台，则购买型机器人台，为正整数， 根据题意得：， ，且为正整数， 设总花费为万元，． ， 随的增大而减小， 当取最大值时，最小，的最大正整数值为， 此时，， 答：购买型机器人台、型机器人1台时花费最少，最少花费是万元． 2．随着线上经济的快速发展，某商户在线上投资销售、两种商品．两种商品的月利润获取方式不同，种商品的月利润是该商品投资金额（万元）的；种商品的月利润（万元）与该商品的投资金额（万元）满足函数关系式，已知商品投资金额为万元时，盈利万元． (1)直接写出销售、两种商品的月利润，（万元）与对应商品的投资金额（万元）的函数关系式______；______． (2)若只选择其中一种商品投资销售，投资金额为多少时，投资产品的月利润更高？ (3)若该商户共投资万元同时销售，两种商品，其中投资商品的金额不少于投资商品金额的倍，要获得月利润最大，应该怎样分配投资金额？并求出最大月总利润． 【答案】(1)； (2)投资金额为万元时，投资产品的月利润更高 (3)投资万元销售商品，投资万元销售商品，月利润最大，最大月总利润为万元 【分析】（1）直接表示出，再根据待定系数法表示出； （2）令，解不等式求解即可； （3）设投资万元销售商品，则投资万元销售商品，根据“投资商品的金额不少于投资商品金额的倍”可确定的取值范围，然后表示出总利润为， 根据一次函数的增减性即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：； 商品投资金额为万元时，盈利万元，， ， ， ； （2）解：令，即， 解得， 投资金额， ， 即投资金额为万元时，投资产品的月利润更高； （3）解：设投资万元销售商品，则投资万元销售商品，销售月总利润为， 则：，解得， ， ， ， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（万元）， 此时（万元）， 即投资万元销售商品，投资万元销售商品，月利润最大，最大月总利润为万元． 3．快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，甲种型号机器人每小时分拣的快递量比乙种型号机器人每小时分拣的快递量多件．甲种型号机器人分拣件快递的时间与乙种型号机器人分拣件快递的时间相同． (1)求甲、乙两种型号的机器人每小时各分拣多少件快递？ (2)已知甲种型号机器人每台万元，乙种型号机器人每台万元．该公司计划购买这两种型号的机器人共台，且这台机器人每小时分拣快递量的总和不少于件．求购买多少台甲种型号的机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； (2)购买台甲种型号的机器人所花总费用最少，最少费用是万元． 【分析】（）设甲种型号机器人每小时分拣件快递，则乙种型号机器人每小时分拣件快递，根据题意得 ，然后解分式方程并检验即可； （）设购买台甲种型号机器人，则购买台乙种型号机器人，总费用为万元，根据题意得，得出的取值范围，再表示出总费用，然后根据一次函数的性质求出最小费用即可． 【详解】（1）解：设甲种型号机器人每小时分拣件快递，则乙种型号机器人每小时分拣件快递， 根据题意得 ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合实际意义， ∴（件）， 答：甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； （2）解：设购买台甲种型号机器人，则购买台乙种型号机器人，总费用为万元， 根据题意得， 化简得， 解得， 总费用， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵为整数， ∴的最小值为，此时最小值为：（万元）， 答：购买台甲种型号的机器人所花总费用最少，最少费用是万元． 【类型七】一次函数的应用一行程问题 1．2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米．小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程与出发时间之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程与出发时间之间的函数关系如图2所示． (1)求小明跑步的速度（单位：千米/分）． (2)求图中的值． (3)两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值． 【答案】(1)千米/分 (2)126 (3)出发时，两人相距最远为 【分析】（1）根据速度的定义求解即可； （2）设对应的函数表达式，待定系数法求解即可； （3）根据题意，分，， ， ，求解即可； 【详解】（1）解：小明跑步的速度为千米/分． （2）解：小明跑了60分钟，路程为15千米，根据图2，得此时二人相距5千米， 故此时小聪跑的路程为（千米）， 故图象经过点， 设对应的函数表达式， 由题意得图象过点， ， 解得． 对应的函数表达式． 令， 解得． 的值为126． （3）解：当时，根据题意，得， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15千米，小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到60，故最大值小于5千米即； 小明跑完最后所需的时间为． 当时，根据题意，得小明跑的路程表达式为， 小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21千米，不变； 小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到94，故最大值小于千米即； ， 当时，他们之间相距最远，且为千米． 2．随着人工智能的发展，许多餐厅使用智能机器人送餐．图1是某餐厅的机器人小聪和小智，他们从厨房门口出发，准备给相距的同一桌客人送餐，小聪比小智先出发，且速度保持不变，小智出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小聪行走的时间为，小聪和小智行走的路程分别为与之间的对应关系如图2所示，请根据图象回答下列问题： (1)小智提速后的速度为___________； (2)___________； (3)求小聪行走的路程与行走的时间之间的函数表达式；小智比小聪提前多少秒送餐到位？ 【答案】(1) (2) (3)，秒 【分析】（1）先确定小智出发时间和提速前的路程、时间，计算提速前速度，再得提速后速度； （2）结合小智提速后的路程计算到达时间； （3）用待定系数法求小聪的函数表达式，再分别求出小聪和小智到达时间，计算时间差． 【详解】（1）解：小智从开始出发，到时走了， 此阶段时间为，则提速前速度为， 提速后速度是原来的倍， 所以提速后速度为； （2）小智提速后行驶的路程为总路程减去提速前的，即， 提速后速度为， 所以提速后行驶时间为；   小智从出发，先花走，再花走， 总时间为，即小智到达时间为， 此时； （3）由上述计算，小聪速度为， 且从开始行走， 所以与的函数表达式为； 小聪要走到， 令，即，小聪到达时间为， 解得， 小智到达时间为， 所以小智比小聪提前的时间为． 3．一条笔直的公路上依次有A、B、C三地．甲、乙两车同时出发，甲车从A地出发，以m千米/时的速度匀速驶向B地，到达B地休息0.5小时后按原速继续驶向C地；乙车从B地出发，以n千米/时的速度匀速驶向C地，到达C地后立即调头（调头时间忽略不计），以n千米/时的速度匀速经过B地驶向A地．甲车比乙车晚小时到达目的地．甲、乙两车与B地的距离y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是________千米，________； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)甲车出发多少小时，甲车与乙车之间相距172千米？请直接写出答案． 【答案】(1)170，68 (2) (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的实际应用-行程问题、一元一次方程的应用，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义． （1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度即可； （2）设函数解析式为，把，，代入，解方程组求的值即可得答案； （3）当甲开往B时，乙开往C时；当甲开往B时，乙到达C后返回B处时；当甲超过B处开往C处时，乙到达B后开往A处时；然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图可知 ∵ ，所以 故答案为：170，68 （2）解：根据甲车的速度和到达C处的时间可得的距离为： ∵甲车比乙车晚小时到达目的地 ∴ 乙车的速度为： ∴的横坐标为：，的横坐标为： ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， ∴ ，解得 ∴线段所在直线的函数解析式为： （3）解：设甲车出发小时，甲车与乙车之间相距172千米， ①当甲开往B时，乙开往C时，则，解得：； ②当甲开往B时，乙到达C后返回B处时，则，解得：； ③当甲超过B处开往C处时，乙到达B后开往A处时，则，解得：； 所以甲车出发或或小时，甲车与乙车之间相距172千米. 【类型八】一次函数中的平行四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)点是直线上的动点，在轴上是否存在，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，平行四边形的性质，一次函数与几何图形的综合应用： （1）根据平移规则，求出的坐标即可； （2）求出直线的解析式，设，分分别为对角线进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段，，， ∴，即：； 故答案为：； （2）存在， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，， ∴， 设，当以为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况进行讨论， 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 综上：或或． 2．如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点．    (1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________； (2)点G是与y轴的交点，求点G的坐标； (3)若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标； (4)若点在折线上，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们交于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正方形的性质与判定，折叠的性质，等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形变化—轴对称等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质对边平行且相等进行求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点D的坐标即可； （3）设出点P的坐标，然后分P、Q关于x轴对称和关于y轴对称两种情况，分别求出点Q的坐标，再根据点Q在直线进行求解即可； （4）分两种情况讨论：当点P在上时，由折叠的性质可得，，证明是等腰直角三角形，进而证明四边形是正方形，从而得到三点共线，则，即可求出．当点P在上时，证明，再利用两点距离公式求出点M坐标即可解题． 【详解】（1）解：∵轴，，点A的坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∵D的坐标为， ∴， 故答案为：，； （2）解：设直线的解析式为， 把，带入中得， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点G的坐标为； （3）解：设，且， 若点P关于x轴的对称点在直线上， ∴， 解得， 此时． 若点P关于y轴的对称点在直线上时， ∴，解得， 此时 综上所述，点P的坐标为或． （4）解：当点P在AB上时，如解图1 由折叠的性质可得，， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴三点共线， ∴， ∴． 当点在上时，设直线的解析式为与x轴交点为，则， 如解图2，点落在轴上， 由折叠的性质可得，， ∵轴， ∴ ∴， ∴， 设点且，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴点 综上所述：点的坐标或 3．如图，在平面直角坐标系中，已知过点的直线和直线分别与轴交于点、点，点在直线上，其横坐标为；点、分别是直线和轴上的动点．    (1)求直线的解析式； (2)求的最小值； (3)在（2）的结论下，当点、分别是直线上的动点，以点、、、为顶点的四边形是否能构成平行四边形？若能，请直接写出该平行四边形对角线的交点坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）先求出直线与轴交点的坐标，再运用待定系数法可求出直线的解析式； （2）取点，连接，，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点，先证四边形是正方形，得，从而得在上，在直线上，由两点之间，线段最短，当、、、四点共线时，最小，最小值为的长，利用勾股定理即可得解； （3）求出直线的解析式，得到点的坐标，分为边和对角线两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，则， ∴， 设直线的解析式为：， 把和代入中，得， ， 解得，， ∴直线的解析式； （2）解：取点，连接，， 令直线中，，则，解得， ∴ ∵，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点在直线上，其横坐标为， ∴时，， ∴， 如图作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点，则，，，，      ∵四边形是正方形，， ∴在上，在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， 由两点之间，线段最短，当、、、四点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：设直线的解析式为：， 把和代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：， 当时，，解得，， ∴ 联立，解得，， ∴ ①当为对角线时，的中点即为对角线的交点，如图，      ∴的中点坐标为，即； ②当为边，且点在直线左侧时，如图，    ∵ ∴设的解析式为， 把代入得，， ∴的解析式为， 由解得，， ∴ ∴平行四边形的对角线的交点坐标为，即； 当点在直线右侧时，如图，    ∵， ∴设直线的解析式为， 由解得， ∴ 由解得， ∴， 由中点坐标公式得， 解得，， ∴， ∴平行四边形对角线交点坐标为， 综上，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，平行四边形对角线交点坐标为或或． 【类型九】一次函数中的特殊平行四边形 1．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴的负半轴上，直线经过点C，交x轴于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求点D的坐标及m的值； (3)点是线段上的一个动点（不与点O、B重合），经过点P且平行于轴的直线交AB于点M，交CE于点N，当四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (4)点是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，直接写出：为何值时，以点为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)、 (2)， (3) (4)或4或 【分析】（1）首先求出点、的坐标， （2）再利用勾股定理求出的长，再根据菱形的性质可求点、的坐标，把点的坐标代入直线解析式求出的值即可； （3）表示出设，，得，根据，可得答案； （4）若点、、、为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，分或或三种情形，分别求出的值． 【详解】（1）解：在中，令，得； ∴． 令，得， ∴． （2）解：由（1） 得，， 由勾股定理得，， 四边形是菱形， ， ， ，， 将代入得，， ； （3）解：， ， ， 点， 设，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， ； （4）解：点、、、为顶点的四边形是菱形， 是等腰三角形， 当时，， ， （负值舍去）， 当时，则点与重合， ； 当时，则， 解得， 综上：或4或时，以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了直线上点的坐标的特征，平行四边形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等知识，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题是解题的关键． 2．如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． (3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）求出，，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形；当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形；当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积； （3）分两种情况讨论：当时，此时，；当时，此时，． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵的长分别是方程的两个根（）， ∴，， 由折叠可知，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，故； 当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，故； 当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，即； 综上，直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式为； （3）当时，，此时， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴M点与P点关于对称， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，动点引出的几何图形面积与函数问题，两点间距离公式，一元二次方程，正方形的判定，等腰三角形的判定，掌握以上内容是解题关键． 3．对于平面直角坐标系中的点和矩形，给出如下定义：若矩形各边分别与坐标轴平行，且在矩形上存在一点，使得，两点间距离小于1，则称为矩形的“近距点”． (1)如图，若矩形对角线交点与坐标原点重合，且顶点． ①在点，，中，矩形的“近距点”是______； ②点在直线上，若为矩形的“近距点”，求点横坐标的取值范围． (2)将（1）中的矩形沿着轴平移得到矩形，矩形对角线交点为，直线与轴，轴分别交于点，．若线段上的所有点都是矩形的“近距点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①②或 (2)，或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，含的直角三角形，矩形的性质，解题的关键是理解题意，直观观察和数形结合． （1）①分别计算各点与矩形各边的最小距离，从而根据定义得出结果； ②可推出直线经过点和，点在矩形的内部时，作于，计算当时，的长，从而求得临界时点的横坐标，当点在矩形的外部时，时，此时点的横坐标，从而得出的范围，根据对称性求得点在第三象限时的范围； （2）先求得，，当时，轴，设交轴于，可求得；当在轴上时，设交轴于，此时，求得，进一步得出结果． 【详解】（1）解：在含的直角三角形中，， ， 此结论适合所有含的直角三角形； 矩形对角线交点与原点重合，且， ，，， 由勾股定理可得， ， ， ①在矩形中存在一点，使得， 即在上至少找到一点到的距离小于1． 当时，到上最小距离为，成立， 为近距点． 当时，最小距离为，不成立， 不是近距点． 当时，最小距离为，不成立， 不是近距点． 故答案为：． ②如图1， 在上取点，作于， 当时， ∵直线过点， ， ， ， 当时， ， ， ， 或； （2）解：如图2， 由题意得，，， 当时，轴，设交轴于， ， ， ， 当与重合时，， ， 当在轴上时，设交轴于，此时， 同理可得：， 当与重合时，， ， 综上所述：，或． 【类型十】一次函数的新定义 1．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 2．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________， (2)若一次函数的“不动点”为，求，的值； (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上不与原点重合的一个动点，使得，求满足条件的点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题． （1）根据“不动点”定义，联立一次函数与的方程组，求解即可得到交点坐标． （2）先利用“不动点”在上求出的值，再将“不动点”坐标代入一次函数解析式求出的值． （3）先根据直线无“不动点”得出两直线平行，求出的值，进而得到直线解析式，求出、两点坐标，设出点坐标，利用三角形面积公式列方程求解，注意排除与原点重合的点． 【详解】（1）解：联立 将代入，得 解得，则 一次函数的“不动点”为． （2）解：“不动点”在上 解得 又点在上，且 解得 ． （3）解：直线上没有“不动点”， 直线与直线平行， ， 直线解析式为 令，则，得 令，则，得 设，且 两边同时乘2，得 即 解得或 不与原点重合 舍去 答：满足条件的点坐标为． 3．阅读理解：在平面直角坐标系中，给出如下定义： 定义一：若有三点，，，且，则称点是，的轴美点； 定义二：若函数图像上存在某点到轴和轴的距离中，其中一个距离是另一个距离的2倍，则称点为该函数的“倍美点”，此函数称为“倍美函数”，如点是函数图像上的点，所以函数是“倍美函数”，点是该函数的“倍美点”．像、等则是特殊的“倍美函数”． 根据以上材料，完成下列问题： (1)已知函数与轴和轴分别相交于点A，，若有三点、、，则其中是A、“轴美点”的是__________．（只填字母） (2)已知两点、． ①请说明点、的“轴美点”在函数上； ②在①的条件下，若“倍美函数”上存在点，使得点既是，“轴美点”，又是此函数的“倍美点”，求出的值． (3)已知“倍美函数”，是否存在整数使得该函数恰好具有三个“倍美点”？若存在，直接写出值和“倍美点”坐标；若不存在，简要说理． 【答案】(1)D (2)①见解析；②7或或 (3)或 【分析】（1）分别求出各点到点A、B的距离，若相等，即为A，B的“轴美点”，据此判断即可； （2）①设函数上一点M为，利用两点间的距离公式得到的长度，可得，那么点G、H的“轴美点”在函数上；②根据点P在上，设出点P的坐标，进而根据“倍美点”的定义一个距离是另一个距离的2倍得到点P的坐标，代入“倍美函数”上即可求得m的值； （3）易得“倍美函数”关于直线对称，那么画出相关图象，得到与直线，时恰好有3个交点时的位置，计算出相关交点即可． 【详解】（1）解：∵与x轴和y轴分别相交于点A，B， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵点、、， ∴，；， ∵， ∴是A、B“轴美点”的是D． 故答案为：D． （2）解：①证明：设函数上一点M为， ∵、， ，， ∴， ∴G、H的“轴美点”在函数上； ②由题意得：点， Ⅰ、， ∴或，解得：或； Ⅱ、， ∴或，解得：或无解； 当时，点P为， ∴，解得：； 当时，点P为， ∴，解得：； 当时，点P为， ∴，解得：． 综上：m的值为7或或． （3）解：∵“倍美函数”恰好具有三个“倍美点”， ∴与和恰好有3个交点， 如图：当时，恰好具有三个“倍美点”，分别是； 当时，恰好具有三个“倍美点”， 或，解得：或． ∴“倍美点”分别是或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的性质、勾股定理、一次函数的图象、一次函数与方程组等知识点．理解并灵活运用所给的新定义解决问题是解决本题的关键．难点运用数形结合的方法得到恰好具有三个“倍美点”时“倍美函数”的具体位置． 1．（25-26八年级下·广西桂林·月考）在圆周长计算公式中，变量有（　　） A．L，π B．L，r C．L，π，r D．2π，r 【答案】B 【分析】常量是变化过程中保持不变的量，变量是变化过程中可以发生变化的量，根据概念判断即可． 【详解】解：∵在圆周长公式中，和都是常量，随半径的变化而变化， ∴变量为和，则B符合题意． 2．（25-26九年级下·福建宁德·月考）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中， ∴的图象经过一、三、四象限， 故选：B． 3．（25-26八年级下·北京·月考）对于正比例函数，当自变量x的值减小2时，函数y的值减小6，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出变化前后的函数值等式，即可求出的值． 【详解】解：设原来的自变量为，对应函数值为， 当减小后，新自变量为，对应函数值， 的值减小， ， 解得． 4．（25-26八年级下·河南南阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，再由平行线的性质和折叠的性质证明，得到；设点E的坐标为，则，，利用勾股定理建立方程求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出所在直线的解析式． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设点E的坐标为，则，， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为， 将点代入中，得，解得， ∴所在直线的解析式为． 5．（25-26九年级上·上海·月考）已知，那么_______． 【答案】5 【分析】本题考查求函数值． 将代入函数解析式计算 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：5． 6．（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据函数的图象，找到当时对应的的取值范围即可得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，x的取值范围是． 7．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）已知一次函数和的图象都经过，且与轴分别交于，两点，则的面积为______． 【答案】 24 【分析】先将点的坐标代入两个一次函数解析式，求出的值，再得到两个函数与轴交点的坐标，最后利用三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解： 一次函数和的图象都经过点 将代入两个解析式得 ， 解得：， 两个函数解析式分别为， 轴上点的横坐标为，分别令 得， 即 得， 即 都在轴上，因此 点到轴的距离为，即中边上的高为 ． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，经过点，与轴、轴分别交于点． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）把代入，可求出，得，把，代入，求出的值，得出相应的解析式，再令，得出的值，可得点的坐标； （2）求出点的坐标，再根据三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：对于，当时，，解得：， ∴, ∴． 9．（25-26八年级下·河南南阳·月考）已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)设点在函数的图象上，直接写出的值． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）设，将时，代入式子求解，即可解题； （2）将代入（1）中解析式求解，即可解题； （3）将点代入（1）中解析式求解，即可解题． 解题的关键在于根据题意求出与之间的函数关系式． 【详解】（1）解：与成正比例， 设， 时，， ， 解得， ， 即； （2）解：当时，； （3）解：点在函数的图象上， ， 解得． 10．（25-26九年级下·辽宁辽阳·月考）快递员小张某天9时离开公司去送快递，时回到公司，他离开公司的路程s与时间t的变化情况如图所示． (1)图象表示了哪两个变量之间的关系？ (2)时和时，他分别离公司多远？ (3)他可能在什么时间内休息，什么时间内吃午餐？ 【答案】(1)图象表示时间与快递员小张离开公司的路程之间的关系； (2)时他离公司；时他离公司； (3)可能在内休息；内吃午餐． 【分析】（1）根据图象的x轴和y轴即可确定表示了哪两个变量的关系； （2）由函数图像可以看出时他离公司，时他离公司； （3）如果休息，那么距离没有增加，由此就可以确定在哪段时间内休息，并吃午餐． 【详解】（1）解：图像表示了快递员小张离开公司的路程与时间这两个变量之间的关系．其中时间是自变量，离开公司的路程是因变量； （2）解：由函数图像可以看出时他离公司，时他离公司； （3）解：由图象看出和时距离没变且时间较长， 可能在内休息，内吃午餐． 1．（25-26八年级下·上海·期中）一次函数的图像经过第一、三、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次项系数的符号确定直线经过的象限，再结合已知经过的象限判断直线与y轴的交点位置，即可得到b的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的一次项系数为， ∴该一次函数图像一定经过第一、三象限， ∵该函数图像还经过第四象限， ∴函数图像与y轴相交于y轴负半轴， 当时，，交点坐标为， ∴． 2．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象找到一次函数的函数值大于或等于1时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分三个过程：当水的高度不高于小水杯的高度，当小水杯没有装满水，小水杯装满水，分别分析出高度与时间的关系即可得到答案． 【详解】解：当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度前，水杯内水面的高度为非0的定值，故选项A、D不合题意；当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度后，水杯内水面的高度逐渐增大，当水杯内水面的高度达到水杯高度时，水杯内水面的高度不再增加，故选项B符合题意；选项C不合题意； 4．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴的正半轴上，在第一象限，且是等边三角形．在射线上取点，…，分别以，，…为边作等边，，…使得，，，…在同一直线上，该直线交y轴于点C．若，，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得直线的解析式，利用等边三角形的性质分别求出，，的坐标，然后找到变化规律，即可求出的纵坐标． 【详解】解：是等边三角形，， 的横坐标为，，， 设，则， 解得：或， 点在第一象限， ， 的解析式为， ，，， ， ， ， ， ， 的横坐标为， 的纵坐标为， 同理，，， ， ∴点的横坐标是． 5．（25-26八年级下·福建福州·期中）将直线向下平移个单位长度后，所得的直线的解析式为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数平移“上加下减”的规律求解即可． 【详解】解：将直线向下平移个单位长度，所得直线的解析式为． 6．（25-26八年级下·北京延庆·期中）若点和是一次函数图象上的两点，则____．（填“”“ ”“ ”） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性． 再比较两点横坐标的大小． 即可得到纵坐标与的大小关系． 【详解】解∶在一次函数中，， 随的增大而增大， 点和，且． ∴． 7．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某车间每天需要完成一定量的零件的生产任务，每一名工人每天生产的零件数量和需要安排的工人人数如表，那么该车间每天需要完成零件__________件； 每一名工人每天生产的零件数量/件 60 40 30 … 需要安排的工人人数/人 2 3 4 … 【答案】120 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，通过计算表格中每种情况下的总零件数，发现结果均为120件，因此确定每天需要完成的零件总数为120件． 【详解】解：设每天需要完成的零件总数为件． 由表格数据：当每人每天生产60件时，需2人，则； 当每人每天生产40件时，需3人，则； 当每人每天生产30件时，需4人，则． 故该车间每天需要完成A零件120件， 故答案为：120． 8．（25-26八年级下·北京·期中）某校科技节启用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)无人机在75米高的上空停留的时间是___________分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为__________米/分； (3)图中a表示的数是______；b表示的数是______； (4)请写出无人机在50米高的上空飞行时，对应的时间t的取值范围___________． 【答案】(1)5 (2)25 (3)2，15 (4) 【分析】（1）根据图像找到无人机在75米高空的起止时间，用结束时间减去开始时间，算出停留时长； （2）利用分钟的高度变化，根据速度公式求出无人机的速度即可； （3）由（2）中求出的速度结合路程即可得出答案； （4）由（2）中求出的a的值结合图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，分钟这一段为无人机在75米高的上空停留的时间段， 故停留的时间为（分钟）； （2）解：由题意，无人机全程在上升和下降时的速度相同， 由图象可知，分钟这一段，无人机从50米上升到75米， 故速度为（米/分）； （3）解：由（2）可知，无人机的速度为25米/分， 故， ，即； （4）解：∵， ∴无人机在50米高的上空飞行时，对应的时间t的取值范围为； 9．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直线与x轴的交点的横坐标即为关于的方程的解，据此可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数的函数值小于1时自变量的取值范围即可得到答案； （3）找到一次函数的函数图象在一次函数的图象下方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案； （4）根据函数图象分别求出不等式和的解集即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与x轴交于点， ∴关于的方程的解是； （2）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是； （3）解：由函数图象可知，当，； （4）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式组的解集为． 10．（25-26八年级下·山西·期中）综合与探究 探索发现 如图1，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．(不需要证明) 迁移应用 如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， (1)直接写出___________，___________．在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为___________． (2)如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式． 拓展应用 (3)如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限，使以为腰的为等腰直角三角形？请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；；； (2)； (3)或 【分析】（1）利用一次函数解析式求出直线与坐标轴交点，得到线段长度，再作垂线构造型全等，通过角的关系证明三角形全等，结合全等性质计算线段长，从而求出点的坐标； （2）根据直线旋转特征判定等腰直角三角形，构造全等三角形求出直线上定点坐标，再代入两点坐标，利用待定系数法计算参数，求出直线函数表达式； （3）以为等腰直角三角形的腰，分直角顶点在、直角顶点在两种情况，分别构造一线三垂直全等图形，依托全等性质推算线段长度，结合象限特征确定点的坐标． 【详解】（1）解：直线， 令，得， ，； 令，得，解得， ，； 如图，过作轴于， ，， ，， ， 又， ， ，， 点横坐标为，纵坐标为，即． （2）解：如图，过点作交于点，过点作轴于点D， 由（1）知，， ∵直线绕点顺时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形，， 同（1），可证， ∴，， ∴， 又∵点在第二象限， ∴点坐标为； 设直线的解析式为， 将，代入， 得，解得， ∴的函数表达式为． （3）解：直线，令得， ， 令得， ， 为腰，为等腰直角三角形，在第二象限，分两种情况： ①直角顶点为，，， 如图，过作轴于，同理可得， ，， 点横坐标为，纵坐标为，即； ②直角顶点为，，， 如图，过作轴于，同理可得， ，， 点横坐标为，纵坐标为，即． 综上，点坐标为或． 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图为世界人口变化趋势图（含预测），下面关于世界人口的叙述正确的是（   ） A．从1800年开始年增长率持续降低 B．世界人口数量不断增长 C．从1800年开始年增长率持续升高 D．世界人口数量不断减少 【答案】B 【分析】从图象中获取信息进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，从1800年开始年增长率有升有降，世界人口数量不断增长， 故只有选项B正确. 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】对于一次函数（k、b为常数，），当时，的图象经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：，， 一次函数图象经过第二、三、四象限， 图象不经过第一象限． 3．（25-26八年级上·山西运城·期末）已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正比例函数的增减性，判断的正负性，分析一次函数中和的正负性，从而确定一次函数的图象经过的象限，进而匹配对应选项． 【详解】∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴． ∴一次函数图象从左下向右上倾斜，直接排除选项C、D． ∵， ∴， ∴一次函数与轴的交点在轴负半轴，排除选项A． 因此符合条件的图像是选项B． 4．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数的图象过定点，再利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，当时，， 所以一次函数的图象过定点． 由得，， 所以点B坐标为． 将代入得，， 所以点A坐标为． 当一次函数图象经过点A时， ， 解得． 当一次函数图象经过点B时， ， 解得， 所以当一次函数的图象与有交点时，k的取值范围是：． 5．（25-26八年级上·山西太原·期末）移动公司推出的“动感青春”套餐中流量计费规则如下（每月使用流量为） 不收费 超出的部分按元计费 超出的部分按元计费 则李明月使用流量费用y元与x的函数关系为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查函数，根据计费规则即可求得答案． 【详解】根据题意得：当时， 即 6．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】根据两直线平行得到，与轴交于得到． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，且与轴交于， ，， 该一次函数的解析式为． 7．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点是平面内任意一点．过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，若四边形的周长为，则点叫做“调和点”．例如：如图中的是一个“调和点”．若一次函数的图象上存在“调和点”，求的取值范围为____________ 【答案】或 【分析】先根据调和点的定义和矩形周长公式推导出调和点的坐标满足且、，通过分类讨论，得到调和点在正方形的边(正方形的顶点除外)上，；再对一次函数解析式变形，确定其恒过的定点；接着分别求出直线经过正方形的关键顶点和时的临界值，结合一次函数倾斜度的变化规律分类讨论，判断不同斜率区间内直线与轨迹是否有符合条件的交点，排除无交点的区间和不符合的临界值，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点， ∴四边形为矩形， ∵四边形的周长为，，， ∴，即，且，， 在第一象限内，，原方程可化为，在平面直角坐标系中表现为不含端点的线段； 同理，平面直角坐标系中满足的点在正方形上且不与点、、、重合， 问题转化为直线与正方形的边相交(正方形的顶点除外)， 将一次函数变形为， ∴当时，，即一次函数的图象必经过定点． ①当直线经过点时，将，代入解析式得： ，解得， 此时直线解析式为，线段在该直线上，故符合条件． 当时，直线与线段有交点，故符合条件． 综上，时满足条件． ②当直线经过点时，将，代入解析式得： ，解得， 此时直线解析式为， 当时，直线与线段有交点，故符合条件． 当时，直线与正方形的边相交(正方形的顶点除外)无交点，不满足要求． 综上所述，的取值范围为或． 8．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图 ，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一 次函数的解析式 ； (2)点D是y轴上一 点 ，且的面积是的面积的 3 倍 ，求点D的坐标 ； (3)若点 E在第二象限 ，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1)正比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）当为直角时，证明，得到点，当为直角时，同理可解． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得：，则， ∴正比例函数的解析式为， 把，代入，得：， 解得：， 故一次函数解析式为； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， 的面积，则的面积， 设点， 的面积， 解得：或， 故点D的坐标为或． （3）解：当为直角时，则，过点E作轴于点H， ，， ， ，， ， 则，， ， 则点 当为直角时， 同理可得，点， 综上，点E的坐标为或． 9．（24-25八年级下·上海·期末）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1) (2)①25辆；②为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 由题意得，， ∴， ∴y关于x的函数解析式为； （2）解：①在中，当时，则，解得， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②当时，解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 10．（25-26八年级上·山西运城·期末）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … (1)表格中m的值为________，n的值为________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 【答案】(1)m的值为4，n的值为0 (2)作图见解析 (3)①②③ (4)作图见解析；， 【分析】（1）分别将和代入求解即可； （2）利用描点法作图即可； （3）根据画出的函数图象分析即可； （4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 故； 把代入， 得， 故； （2）解：作图如图： （3）解：由图可知 函数图象关于直线对称，是轴对称图形，故①正确； 由图可知 当时，，随的增大而增大，故②正确； 由图可知当时，取得最小值，故③正确； 当时，，解得或，并非只有，故④错误； 综上，正确的是①②③； （4）解：作图如图： 当时，，解得， 当时，，解得， 方程组的解就是两个函数图象的交点坐标， 因此方程组的解为： 和 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二、二十三章 函数与一次函数 思维导图 【类型一】常量与变量 1．下列两个变量间不存在函数关系的是（   ） A．圆的面积和半径的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 2．广西南宁市武鸣区是全国知名的沃柑主产区，南宁沃柑以果皮光滑、果肉脆嫩、甜度高、汁水足而闻名，是南宁的特色水果名片．南宁沃柑的市场零售价为5元/斤，买m斤沃柑共支付n元，则5和m分别是（  ） A．常量，变量 B．变量，常量 C．常量，常量 D．变量，变量 3．寒假白白一家自驾游福州，爸爸开车到加油站加油，白白发现加油机上某一时刻的数据显示牌如图所示，则其中的常量是__________．（请填写“金额”、“油量”或“单价”） 【类型二】函数的定义 1．下列图象中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．对于下列问题中的两个变量，y不是x的函数的是（   ） A．圆的面积y与半径x B．乘坐摩天轮的游客离地面的高度y与时间x C．某天的气温y与时间x D．某款手机的销售量y与进货数量x 3．下列关系式：，其中是的函数的是____（填序号） 【类型三】正比例与一次函数的定义 1．下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 3．若是正比例函数，则m的值是______． 【类型四】求自变量的值与取值范围 1．函数中自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．变量x，y的一些对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 3．已知，那么______． 【类型五】一次函数的平移 1．将直线沿轴向下平移个单位长度后得到的直线的表达式是（     ） A． B． C． D． 2．将直线向左平移2个单位长度得到直线：，则直线的解析式是（   ） A． B． C． D．以上解析式都不对 3．已知点是一次函数图象上的一点，若将该函数图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后，点A的对应点位于第二象限，则m的取值范围是_______． 【类型六】一次函数与坐标轴的交点坐标 1．一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．直线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与坐标轴交于、两点，那么线段的长是______． 【类型七】一次函数的增减性 1．若点都在直线（为常数）上，则的大小关系是（  ） A． B． C． D．不能确定 2．已知一次函数的图象经过点，且的值随的增大而增大，若点在该函数的图象上，则点的坐标可能是（  ） A． B． C． D． 3．若点在一次函数的图象上，则的大小关系是________． 【类型八】画一次函数的图像 1．已知一次函数，并完成下列问题 (1)画出这个函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ． 2．直线（其中），当取不同的数值时，可以得到许多不同的直线，我们一起来探究这些直线的某些共同特征： (1)当时，直线的函数解析式为______，请画出此函数图象；当时，直线的函数解析式为______，请画出此函数图象；当时，直线的函数解析式为______，请画出此函数图象；观察图象，猜想：直线（其中）必经过点______； (2)证明你的猜想． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与点． (1)求此一次函数的解析式，并在坐标系中画出它的图象； (2)若设点为此一次函数图象与轴的交点，求的面积． 【类型九】求一次函数的解析式 1．已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)求当时的值． 2．已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的表达式． (2)若，是该一次函数图象上的两点，时，求函数值的取值范围． 3．如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【类型一】用表格表示变量间的关系 1．某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 2．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗实验，实验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表： 小时 0 1 2 3 升 100 92 84 76 由表格中与的关系可知，当汽车行驶5小时时，油箱的剩余油量为____升． 3．在高海拔（为高海拔，为超高海拔，以上为极高海拔）地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据： 海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 空气含氧量/（） 299.3 265.5 234.8 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 105.97 (1)如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)在海拔高度0m的地方空气含氧量是多少？海拔高度4000m的地方空气含氧量是多少？ (3)随着海拔高度的变化，空气含氧量是如何变化的？ 【类型二】用关系式表示变量间的关系 1．如图，一农户建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的篱笆围成．为方便进出，在边上留一扇1米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式为__________． 3．淇淇自主创业，在网上经营一家水果店．为了增加销量，淇淇开展了促销活动：若顾客一次性购买水果的总价超过120元，顾客就少付超过部分的．每笔订单顾客网上支付成功后，淇淇会得到支付款的．设顾客一次购买水果的总价是x元，淇淇得到的金额是y元． (1)当时，y与x的函数关系式是________；当时，求y与x的函数关系式． (2)顾客甲和乙都购买水果，若二人分别购买，网上支付成功后，淇淇分别得到81元和117元． ①求顾客乙购买水果的总价； ②若甲、乙二人合买，直接写出二人合买比分别购买省多少钱． 【类型三】用图像表示变量间的关系 1．如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 3．甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 【类型四】一次函数与一元一次方程 1．已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 2．已知一次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则关于的方程的解是____________． 0 1 2 0 2 4 6 3．小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下． (1)根据函数表达式列表如下，则表中___________； ．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．． ．．． 3 1 0 1 2 3 ．．． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)方程的解为___________ 【类型五】一次函数与一元一次不等式 1．如图，函数的图象过点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中画出了一次函数和的图象（如图），两直线相交于点，分别与轴交于点．已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的不等式的解集是_______； (2)关于的不等式的解集是________； (3)关于的不等式组解集是________． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出：的解集． 【类型六】一次函数与二元一次方程组 1．已知函数的图象如图所示，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 3．【活动回顾】 我们教科书曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线； 结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取两点和，作出直线． 【解决问题】 （1）请你在图1所给的平面直角坐标系中再画出以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象． （2）观察图象，二元一次方程组的解是_______； 【拓展延伸】 （3）如图2所示．在同一平面直角坐标系中，二元一次方程图象是，二元一次方程的图象是，请根据图象，判断方程组的解的情况是_______（不需要说明理由）． 【思维发散】 （4）若二元一次方程组无解，求a的值 【类型七】求直线围成的图形面积 1．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点C，与x轴交于点D．动直线轴，与直线，分别交于，． (1)求k，b的值； (2)当时，直接写出t的取值范围； (3)在直线上有一点P，使的面积为6，求P点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)若点在直线上，连接，求的面积． (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 3．如图，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)结合图象直接写出关于的方程组的解为__________； (2)结合图形直接写出的解集为_________； (3)求的面积． 【类型八】一次函数的对称与旋转 1．如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 2．（1）【知识结论】 我们知道一次函数的图象可以由直线平移个单位得到． 那么将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为：________； （2）【拓展探究】 我们已学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经过图形变换后的函数表达式”的数学活动． ①（平移变换）将图1中一次函数的图象沿着轴向左平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．小组探究发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在原图象上任取两点，，将这两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，其坐标分别为（________），（________），从而求出直线对应的函数表达式为：______________________________； ②（轴对称变换）将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：________________； （3）【学以致用】 将一次函数的图象沿轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数图象对应的函数为．由和的图象组成的函数图象对应的函数为．当时，，则的取值范围为________．    3．【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为___________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为___________． ②如图2，将直线绕点逆时针旋转45°．则所得图象对应的函数表达式为___________． 【拓展应用】 （5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为___________． 【类型一】从函数图象获取信息 1．碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．当温度为时，碳酸钠溶解度为 B．当温度为时，碳酸钠溶解度为 C．当温度为时，碳酸钠的溶解度最大 D．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 2．酸和碱作用生成盐和水的反应叫作中和反应．向装有一定量的稀氢氧化钠溶液的试管中滴加稀盐酸，下面是同学们运用手持技术数字化实验测出的溶液的和温度．如图是溶液和温度分别与滴加稀盐酸的体积的关系图象．下列结论中错误的是（   ） A．未滴加稀盐酸时，试管中的稀氢氧化钠溶液的是，温度是 B．当滴加稀盐酸的体积V是时，溶液的是 C．溶液的随着滴加的稀盐酸的体积V增大而减小 D．当溶液的温度是时，此时溶液一定呈酸性 3．如图1，将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽．水槽内水面的高度y（）与注水时间x（）之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，那么再经过________秒可将水槽注满． 【类型二】动点问题的函数图象 1．如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 2．边长为4的正方形的边上有一个动点P，从点A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y，请结合下面函数图象分析：当时，y的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图1，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接，设BF的长为x，，如图2是点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是______． 【类型三】一次函数的规律 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 【类型四】一次函数的将军饮马 1．如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边，使得点落在第一象限，连接，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴上一动点，点是正比例函数图象上一动点，则周长的最小值为___________．    【类型五】一次函数的应用一方案问题 1．活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下： 项目 方案一（第三方合作安装） 方案二（物业自主安装） 费用明细 1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋 2．充电桩安装费：50元/个 3．免费提供3年质保服务 1．每栋楼无基础服务费 2．充电桩安装费：35元/个 3．充电桩辅材采购费：20元/个 4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同） 若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？ 2．仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二． 背景 某学校计划购入A，B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元． ☆任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数量不超过A款的1.5倍． ☆任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案． 3．请你根据以下素材，完成有关任务． 背景 为助力乡村振兴，推广云南特色农产品，某特产店推出云南小粒咖啡礼盒与云南野生菌干货礼盒两款产品． 素材1 购买2盒云南小粒咖啡和3盒野生菌干货共花费145元；购买3盒云南小粒咖啡和5盒野生菌干货共花费230元． 素材2 某游客计划购买这两种产品共40盒，若要求野生菌干货礼盒的数量不少于云南小粒咖啡礼盒的1.5倍． 请完成下列任务 (1)任务1：确定单价，求购买一盒云南小粒咖啡和一盒野生菌干货分别需要多少元？ (2)任务2：拟定购买方案，请设计最省钱的购买方案，并求出最低总费用． 【类型六】一次函数的应用一利润问题 1．项目学习 项目主题：机器人采购中的数学建模与优化决策 项目背景：年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武》节目．机器人完成倒退跨越障碍、后空翻、连续空翻等高难度动作，并展示棍术、双节棍、醉拳等武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划采购、两款入门级商用机器人，用于商业展演与科技推广，两款机器人价格贴合企业实际采购预算． 驱动任务：请你作为公司的数学建模顾问，完成以下两个任务，为公司提供采购决策依据． (1)任务一：已知每台种机器人比种机器人贵1万元，用万元购进种机器人的数量是用万元购进种机器人数量的2倍． 求购买一台种机器人、一台种机器人各需多少万元？ (2)任务二：该公司计划再次购买型和型机器人共台，(两款均需购买)，购买型机器人数量不超过型机器人数量的2倍，且商家给出了两种型号机器人均打八折的优惠．问购买型和型机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少万元？ 2．随着线上经济的快速发展，某商户在线上投资销售、两种商品．两种商品的月利润获取方式不同，种商品的月利润是该商品投资金额（万元）的；种商品的月利润（万元）与该商品的投资金额（万元）满足函数关系式，已知商品投资金额为万元时，盈利万元． (1)直接写出销售、两种商品的月利润，（万元）与对应商品的投资金额（万元）的函数关系式______；______． (2)若只选择其中一种商品投资销售，投资金额为多少时，投资产品的月利润更高？ (3)若该商户共投资万元同时销售，两种商品，其中投资商品的金额不少于投资商品金额的倍，要获得月利润最大，应该怎样分配投资金额？并求出最大月总利润． 3．快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，甲种型号机器人每小时分拣的快递量比乙种型号机器人每小时分拣的快递量多件．甲种型号机器人分拣件快递的时间与乙种型号机器人分拣件快递的时间相同． (1)求甲、乙两种型号的机器人每小时各分拣多少件快递？ (2)已知甲种型号机器人每台万元，乙种型号机器人每台万元．该公司计划购买这两种型号的机器人共台，且这台机器人每小时分拣快递量的总和不少于件．求购买多少台甲种型号的机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【类型七】一次函数的应用一行程问题 1．2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米．小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程与出发时间之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程与出发时间之间的函数关系如图2所示． (1)求小明跑步的速度（单位：千米/分）． (2)求图中的值． (3)两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值． 2．随着人工智能的发展，许多餐厅使用智能机器人送餐．图1是某餐厅的机器人小聪和小智，他们从厨房门口出发，准备给相距的同一桌客人送餐，小聪比小智先出发，且速度保持不变，小智出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小聪行走的时间为，小聪和小智行走的路程分别为与之间的对应关系如图2所示，请根据图象回答下列问题： (1)小智提速后的速度为___________； (2)___________； (3)求小聪行走的路程与行走的时间之间的函数表达式；小智比小聪提前多少秒送餐到位？ 3．一条笔直的公路上依次有A、B、C三地．甲、乙两车同时出发，甲车从A地出发，以m千米/时的速度匀速驶向B地，到达B地休息0.5小时后按原速继续驶向C地；乙车从B地出发，以n千米/时的速度匀速驶向C地，到达C地后立即调头（调头时间忽略不计），以n千米/时的速度匀速经过B地驶向A地．甲车比乙车晚小时到达目的地．甲、乙两车与B地的距离y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是________千米，________； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)甲车出发多少小时，甲车与乙车之间相距172千米？请直接写出答案． 【类型八】一次函数中的平行四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)点是直线上的动点，在轴上是否存在，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点．    (1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________； (2)点G是与y轴的交点，求点G的坐标； (3)若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标； (4)若点在折线上，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们交于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知过点的直线和直线分别与轴交于点、点，点在直线上，其横坐标为；点、分别是直线和轴上的动点．    (1)求直线的解析式； (2)求的最小值； (3)在（2）的结论下，当点、分别是直线上的动点，以点、、、为顶点的四边形是否能构成平行四边形？若能，请直接写出该平行四边形对角线的交点坐标；若不能，请说明理由． 【类型九】一次函数中的特殊平行四边形 1．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴的负半轴上，直线经过点C，交x轴于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求点D的坐标及m的值； (3)点是线段上的一个动点（不与点O、B重合），经过点P且平行于轴的直线交AB于点M，交CE于点N，当四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (4)点是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，直接写出：为何值时，以点为顶点的四边形是菱形？ 2．如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． (3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 3．对于平面直角坐标系中的点和矩形，给出如下定义：若矩形各边分别与坐标轴平行，且在矩形上存在一点，使得，两点间距离小于1，则称为矩形的“近距点”． (1)如图，若矩形对角线交点与坐标原点重合，且顶点． ①在点，，中，矩形的“近距点”是______； ②点在直线上，若为矩形的“近距点”，求点横坐标的取值范围． (2)将（1）中的矩形沿着轴平移得到矩形，矩形对角线交点为，直线与轴，轴分别交于点，．若线段上的所有点都是矩形的“近距点”，直接写出的取值范围． 【类型十】一次函数的新定义 1．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________， (2)若一次函数的“不动点”为，求，的值； (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上不与原点重合的一个动点，使得，求满足条件的点坐标． 3．阅读理解：在平面直角坐标系中，给出如下定义： 定义一：若有三点，，，且，则称点是，的轴美点； 定义二：若函数图像上存在某点到轴和轴的距离中，其中一个距离是另一个距离的2倍，则称点为该函数的“倍美点”，此函数称为“倍美函数”，如点是函数图像上的点，所以函数是“倍美函数”，点是该函数的“倍美点”．像、等则是特殊的“倍美函数”． 根据以上材料，完成下列问题： (1)已知函数与轴和轴分别相交于点A，，若有三点、、，则其中是A、“轴美点”的是__________．（只填字母） (2)已知两点、． ①请说明点、的“轴美点”在函数上； ②在①的条件下，若“倍美函数”上存在点，使得点既是，“轴美点”，又是此函数的“倍美点”，求出的值． (3)已知“倍美函数”，是否存在整数使得该函数恰好具有三个“倍美点”？若存在，直接写出值和“倍美点”坐标；若不存在，简要说理． 1．（25-26八年级下·广西桂林·月考）在圆周长计算公式中，变量有（　　） A．L，π B．L，r C．L，π，r D．2π，r 2．（25-26九年级下·福建宁德·月考）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京·月考）对于正比例函数，当自变量x的值减小2时，函数y的值减小6，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 4．（25-26八年级下·河南南阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海·月考）已知，那么_______． 6．（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 7．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）已知一次函数和的图象都经过，且与轴分别交于，两点，则的面积为______． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，经过点，与轴、轴分别交于点． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 9．（25-26八年级下·河南南阳·月考）已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)设点在函数的图象上，直接写出的值． 10．（25-26九年级下·辽宁辽阳·月考）快递员小张某天9时离开公司去送快递，时回到公司，他离开公司的路程s与时间t的变化情况如图所示． (1)图象表示了哪两个变量之间的关系？ (2)时和时，他分别离公司多远？ (3)他可能在什么时间内休息，什么时间内吃午餐？ 1．（25-26八年级下·上海·期中）一次函数的图像经过第一、三、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴的正半轴上，在第一象限，且是等边三角形．在射线上取点，…，分别以，，…为边作等边，，…使得，，，…在同一直线上，该直线交y轴于点C．若，，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·福建福州·期中）将直线向下平移个单位长度后，所得的直线的解析式为_________． 6．（25-26八年级下·北京延庆·期中）若点和是一次函数图象上的两点，则____．（填“”“ ”“ ”） 7．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某车间每天需要完成一定量的零件的生产任务，每一名工人每天生产的零件数量和需要安排的工人人数如表，那么该车间每天需要完成零件__________件； 每一名工人每天生产的零件数量/件 60 40 30 … 需要安排的工人人数/人 2 3 4 … 8．（25-26八年级下·北京·期中）某校科技节启用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)无人机在75米高的上空停留的时间是___________分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为__________米/分； (3)图中a表示的数是______；b表示的数是______； (4)请写出无人机在50米高的上空飞行时，对应的时间t的取值范围___________． 9．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 10．（25-26八年级下·山西·期中）综合与探究 探索发现 如图1，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．(不需要证明) 迁移应用 如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， (1)直接写出___________，___________．在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为___________． (2)如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式． 拓展应用 (3)如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限，使以为腰的为等腰直角三角形？请直接写出点的坐标． 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图为世界人口变化趋势图（含预测），下面关于世界人口的叙述正确的是（   ） A．从1800年开始年增长率持续降低 B．世界人口数量不断增长 C．从1800年开始年增长率持续升高 D．世界人口数量不断减少 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3．（25-26八年级上·山西运城·期末）已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山西太原·期末）移动公司推出的“动感青春”套餐中流量计费规则如下（每月使用流量为） 不收费 超出的部分按元计费 超出的部分按元计费 则李明月使用流量费用y元与x的函数关系为_________． 6．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 7．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点是平面内任意一点．过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，若四边形的周长为，则点叫做“调和点”．例如：如图中的是一个“调和点”．若一次函数的图象上存在“调和点”，求的取值范围为____________ 8．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图 ，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一 次函数的解析式 ； (2)点D是y轴上一 点 ，且的面积是的面积的 3 倍 ，求点D的坐标 ； (3)若点 E在第二象限 ，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标． 9．（24-25八年级下·上海·期末）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 10．（25-26八年级上·山西运城·期末）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … (1)表格中m的值为________，n的值为________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 学科网（北京）股份有限公司 $