专题13反比例函数图象与性质复习讲义(知识梳理+14大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题13反比例函数图象与性质复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握图象特征：熟记反比例函数图象是双曲线，由两个分支组成，且永远不会与坐标轴相交。 2.理解核心性质：掌握比例系数 k 的正负与图象所在象限、函数增减趋势的对应关系。 3.明晰几何意义：透彻理解比例系数 k 的几何意义，即图象上任意一点与坐标轴垂线围成的矩形、三角形面积与 k 的关系。 4.区分函数类型：能准确区分反比例函数与一次函数、正比例函数的图象特征与性质差异。 1.数形结合能力：能根据 k 的符号快速判断图象分布，或根据图象位置特征反推 k 的取值范围。 2.图象分析能力：能结合图象分析函数的增减性（特别注意 “在每个象限内” 的前提），并比较不同点的函数值大小。 3.模型应用能力：能运用 k 的几何意义，灵活解决与面积、坐标相关的综合几何问题。 1.基础题稳拿分：熟练应对选择题、填空题中关于图象判断、性质辨析、k 值求解的基础题型。 2.综合题规范答题：规范解答反比例函数与一次函数、几何图形结合的综合解答题，步骤完整，逻辑严谨。 3.规避高频易错点：牢记 “在每个象限内” 这一增减性前提，避免因忽略 k 的符号或跨象限比较而导致的答题失误。 题型01.画/判断反比例函数图象 题型02.由反比例函数判断解析式 题型03.由函数图象对称性求点坐标 题型04.由象限分布求参数范围 题型05.判断反比例函数的增减性 题型06.判断图象所在象限 题型07.由反比例函数增减性求参数 题型08.比较函数值或自变量大小 题型09.求反比例函数解析式 题型10.由比例系数求图形面积 题型11.由图形面积求比例系数 题型12.一次函数与反比例函数综合判断 题型13.一次函数与反比例函数交点问题 题型14.一次函数与反比例函数综合应用 解答题8题 知识点01:反比例函数的概念 1.定义 一般地，形如 y=（k 为常数，k0）的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数。 2.等价表达式: (1)y= (2) y=kx−1 (3) xy=k 3.取值范围自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） 知识点05:比例系数 k 的几何意义 1.过 y=(k0) 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 ∣k∣。 2.连接 y=(k0) 图象上任意一点与原点，并从该点向 x 轴、y 轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到 ∣k∣ 的值，进而确定函数表达式。 高频易错点 1.跨象限判断增减性，概念错误； 2.忽略k的正负，象限记反； 3.忘记面积要加绝对值，符号出错； 4.误以为双曲线和坐标轴有交点。 题型01.画/判断反比例函数图象 【典例】反比例函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质，根据知反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交，故可得答案． 【详解】解：对于反比例函数，， ∴反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，． 故答案为：． 【跟踪专练2】定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 题型02.由反比例函数判断解析式 【典例】反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出的取值范围是解题的关键． 根据点、的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：据点、的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征， 观察函数图象可知：，即． 故选：C． 【跟踪专练1】反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数系数k的几何意义，能根据题意得出符合要求的反比例函数图象上点的坐标是解题的关键．根据所给点A坐标，得出一个在反比例函数图象上点的坐标，据此可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， ∵点A的坐标为， ∴点可在反比例函数的图象上． 将点代入得， ， ∴k的值可以是． 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练2】综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（    ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解． 【详解】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为， 将代入可得， 反比例函数解析式为， 根据反比例函数图象可得： 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小， 当浸在液体中的高度时，该液体的密度， 选项说法正确，符合题意； 根据反比例函数图象可得， 当液体的密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误 ，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，解题关键是结合反比例函数图象解题． 题型03.由函数图象对称性求点坐标 【典例】如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反比例函数与正比例函数的图像都是中心对称图形，则它们的交点关于原点对称． 【详解】解：∵双曲线与直线相交于、两点， ∴点与关于原点对称， ∵点坐标为， ∴点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的中心对称性，熟练掌握关于原点中心对称的点的横纵坐标分别互为相反数是解答本题的关键． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知反比例函数的图象在第一、三象限，则下列关于该反比例函数的说法中，错误的是（   ） A． B．当时， C．在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 D．若点在其图象上，则点也在其图象上 【答案】B 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据反比例函数的图象与性质逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，故A正确，不符合题意； ∴函数图象的两个分支分别位于第一三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，故B错误，C正确； ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴点在其图象上，则点也在其图象上，故D正确，不符合题意． 故选：B． 题型04.由象限分布求参数范围 【典例】若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数的比例系数，图象在第一、三象限，，图象在第二、四象限．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ， ， 故选：A． 【跟踪专练1】已知反比例函数的图象的两支分别在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题． 根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 【跟踪专练2】如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 图象在第一象限， ， 是整数， ， 故答案为：． 题型05.判断反比例函数的增减性 【典例】已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是_________． 【答案】/． 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴此函数的图象分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵，且这两点都在第三象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键． 【跟踪专练1】如图，反比例函数的图象经过，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，直接根据反比例函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴由图象可得，当时，或． 故选：B． 【跟踪专练2】已知，，三点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象经过的象限，增减性是解题的关键．根据反比例函数的解析式得到反比例函数经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∴图象经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大， 当时，即时，，故A选项错误，不符合题意； 当，即时，，故B选项正确，符合题意； 当，即时，，故C选项错误，不符合题意； 当时，即时，，故D选项错误，不符合题意． 故选：B ． 题型06.判断图象所在象限 【典例】反比例函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质，根据知反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，故可得答案． 【详解】解：∵中， ∴反比例函数图象的两支分布在第一、三象限， 所以，选项C符合题意， 故选：C． 【跟踪专练1】下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数中， ∴该函数图象经过第一、三象限，而非第二、四象限，故A选项错误； 反比例函数在每一个象限内随的增大而减小，不连续，并非随的增大而减小．故B选项错误； 在反比例函数中，，且， ∴函数图象与轴、轴均无交点，故C选项错误； 当时，， ∴点在该函数图象上，故D选项正确． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，将反比例函数的图象向右平移1个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）    A．该函数图象交y轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，，若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数平移后的图象性质，包括对称性质、增减性及与坐标轴的交点． 根据图象结合相关计算逐选项判断即可． 【详解】解：A．当时，，该函数图象交y轴于点，此选项错误； B．该函数图象关于点对称，此选项错误； C．关于直线对称，将反比例函数的图象向右平移1个单位，直线也向右平移1个单位，为直线， 该函数图象关于直线对称，此选项正确； D．该函数图象上任取两点，，若或，则，此选项错误； 故答案为：C． 题型07.由反比例函数增减性求参数 【典例】对于双曲线，当时，随的增大而减小，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵对于双曲线，当时，随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知点，均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点的横坐标代入反比例函数得到对应函数值，再根据已知的函数值大小关系列不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵ 点，在反比例函数的图象上， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 解得． 【跟踪专练2】平面直角坐标系中，点，点在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，正确利用反比例函数的性质解答是解题的关键． 由点和点都在反比例函数的图象上，且，可得，然后求出范围即可． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，且， ∴在每个象限内，随着的增大而增大， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∴，解得：， 故答案为：． 题型08.比较函数值或自变量大小 【典例】已知点，，都在反比例函数的图象上，则用“”将，，按从大到小的顺序排列为____________． 【答案】 【分析】根据题意得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，由此问题可求解． 【详解】解：由反比例函数可知该函数在第一、第三象限，则有在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故． 【跟踪专练1】在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出当时，随的增大而减小，然后将和代入求出y的值，进而求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而减小，且． 将代入得 ，将代入得 ． ∵，且随增大而减小， ∴． 【跟踪专练2】已知点、、都在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数判断函数所在象限和增减性，再结合的取值范围比较的大小即可． 【详解】解：∵中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，点，在第一象限， ∴，，， ∵在第一象限内随增大而减小，且， ∴， ∴． 题型09.求反比例函数解析式 【典例】反比例函数的图像经过点，则k的值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标一定满足函数解析式． 将已知点的坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴把，代入得： ， 解得． 【跟踪专练1】如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴、轴都在格线上，其中反比例函数（，）的图像被撕掉了一部分，已知点，在格点上，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图像及其系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图像是解题的关键． 观察网格，设点、，将点、代入反比例函数得到，结合、均为正整数，且，据此解答即可． 【详解】解：观察网格，设点、， 将点、代入反比例函数得 ， 整理得， 由于点，在格点上，且在轴右侧， 则、均为正整数，且， 当时，，此时点，， 则点，满足； 当时，，此时点，， 则点，满足， 结合选项，当时，更符合图像， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴于点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先把P点的纵坐标代入一次函数中可确定P点坐标，然后把P点坐标代入双曲线中可计算出k的值． 【详解】解：∵， ∴P点的纵坐标为2， 把代入得， 所以P点坐标为， 把代入得，解得． 题型10.由比例系数求图形面积 【典例】如图，点，在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．9 D．13 【答案】C 【分析】设轴于点D，轴于点C，由题意求出，，则，，，由反比例函数的几何意义可得，然后代入即可求值． 本题考查了反比例函数的性质及k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设轴于点D，轴于点C， 由条件可知，， ∴，，， 由反比例函数的几何意义可得， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点在轴的正半轴上，则（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】连接，根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，和均为正三角形，且点，均在反比例函数上，连结交于点，连结，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，先根据和均为正三角形可知，故可得出，可得，由反比例函数系数的几何意义即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，如下图所示： ∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴． 题型11.由图形面积求比例系数 【典例】如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点分别在轴正半轴上，且轴，若的面积为，则k的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了几何图形面积求反比例函数系数，理解图示，掌握反比例函数系数与图形面积的关系是关键． 根据题意，等高，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴等高， ∴，且点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点， ∴， 故答案为：4 ． 【跟踪专练1】如图，反比例函数的图象过点A，正方形的面积为4，则k的值是（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据k的几何意义和反比例函数图象的性质，可得k的值． 【详解】解：反比例函数的图象过点A，正方形的面积为4， ， ， 由反比例函数图象可知，， ． 【跟踪专练2】如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 【答案】4 【分析】作于，根据反比例函数系数的几何意义得到，利用正比例函数和反比例函数的性质得到点与点关于原点对称，，即可得到，由得到，根据等腰三角形三线合一，得出，即可得出，从而求得． 【详解】作于， 过原点的直线交双曲线于、两点， 点与点关于原点对称，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型12.一次函数与反比例函数综合判断 【典例】在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的性质，掌握函数图象的性质是关键． 根据比例系数，分类讨论，数形结合分析判定即可． 【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限， 当时，一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， ∴只有C选项符合题意， 故选：C ． 【跟踪专练1】如图，反比例函数（）的图像和一次函数（）的图像相交于，两点，则当时，的取值范围是______． 【答案】或． 【分析】本题考查了用函数图象求不等式的解集，本题中根据一次函数与反比例函数的图象的位置关系找到不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知：在第二象限时，在点的左侧， 即， 在第四象限时 ，在点的左侧， 即， 综上所述，当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：当时，一次函数图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限， 只有D选项满足题意． 题型13.一次函数与反比例函数交点问题 【典例】在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，巧用整体思想是解题的关键． 根据题意，将点P坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式得， ， 又∵， ， 则， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练1】如图，一次函数（为常数）与反比例函数（为常数）的图象相交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据正比例函数图象与反比例函数图象的中心对称性可知，交点A与B关于原点对称，利用关于原点对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解∶∵一次函数（为常数）与反比例函数（为常数）的图象相交于、两点， ∴点A与点B关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 【跟踪专练2】如图，直线与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据两函数图象的上下位置关系以及交点坐标确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，所以不等式的解集是或． 题型14.一次函数与反比例函数综合应用 【典例】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数相交可得：，代入代数式，根据完全平方公式变形，即可求解； 【详解】函数与的图象交于点 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，先利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再根据题意得到，则点B和点D的纵坐标都为1，据此求出B、D的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴， ∵轴于点C， ∴点B和点D的纵坐标都为1， 在中，当时，， 在中，当，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象及性质，将函数变形为，因此该函数图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，根据由函数的图象逐项判断即可． 【详解】解：∵函数可变形为， ∴函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到， ∵函数的图象的对称中心为原点， ∴函数的图象的对称中心为，故A选项错误； ∵由图可知，函数在时，不存在连续的增减性， ∴函数的图象在时，不存在连续的增减性，故B选项错误； ∵由图象可知，函数图象在时，有最低点，即存在最小值， ∵， 即当时，由最小值，为2， ∴函数在时，有最小值，为， ∴函数在时，由最小值，为，故C选项正确； ∵由函数与函数，可得， 即， 解得，， ∴二次函数的图象与函数的图象有2个不同的公共点，故D选项错误． 故选：C 【解答题】 1．如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断，，是否在反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点A不在该反比例函数图象上，点B，C在该反比例函数图象上 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，判断点是否在反比例函数图象上，平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出点P的坐标． （1）用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特点，逐个进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点． 设， 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴不在该反比例函数图象上； ∵， ∴在该反比例函数图象上； ∵， ∴在该反比例函数图象上． 2．如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，过点作交轴于点，可知四边形是平行四边形，则有，从而，所以平行四边形即为所求； （2）连接并延长交反比例函数于，连接，由反比例函数的对称性可知，可得，所以即为所求． 【详解】（1）解：连接，过点作交轴于点，如图： 轴，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形即为所求； （2）解：连接并延长交反比例函数于，连接，如图： 由反比例函数图象的对称性可知，与关于点对称， ， ， ， ， ， 即为所求． 3．已知反比例函数的图像经过第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限内的两点、且，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键． （1）根据反比例函数的图像经过第一、三象限可得，由此即可得； （2）根据反比例函数的增减性可得，再结合即可得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴， 解得． （2）解：对于反比例函数，在第一象限内，随的增大而减小， ∵这个函数的图像经过第一象限内的两点、且， ∴， 解得， 又∵， ∴的取值范围为． 4．已知反比例函数（为常数，）． (1)若该反比例函数图象与正比例函数的图象的一个交点为P，且点P的纵坐标是2，求k的值． (2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌反比例函数的性质是解题的关键． （1）求出点的坐标，进而解题； （2）根据反比例函数的性质解题即可． 【详解】解：（1）把代入得：， 即， 代入得：， 解得：； （2）由题意知，， 解得． 5．如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的长． (3)记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象，比例系数的几何意义，熟练掌握相关知识是关键． （1）将点代入反比例函数的表示式求出的值即可； （2）将代入反比例函数的表达式，求出点的坐标，使用勾股定理计算出的长； （3）根据反比例函数的比例系数的几何意义进行判断即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴，， 在直角中，； （3）解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ，， ∴． 故答案为：． 6．如图，直线分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴，垂足为点． (1)求直线的解析式； (2)若四边形的面积为5，求的值，并直接写出不等式的取值范围． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查求一次函数解析式以及反比例函数与一次函数交点问题，求出点P坐标是解答本题的关键． （1）运用待定系数法解答即可； （2）设，表示出根据四边形的面积为5，列方程求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴、轴交于点、点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴, ∵四边形的面积为5， ∴， ∴， 解得或（舍去） ∴, 又在反比例函数的图象上， ∴； 由图象得：不等式的取值范围为． 7．反比例函数与一次函数的图象交于两点．    (1)求k的值； (2)观察图象，请直接写出当时，x的取值范围为 ． (3)点在双曲线上，求a与b的大小关系． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数，涉及待定系数法函数解析式、一次函数与y轴的交点问题等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）利用待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得答案； （3）根据反比例函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于两点， ∴， ∴ （2）由图象可知：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． （3）∵反比例函数中， ∴随着的增大而减小， ∵点在双曲线上， ∴ 8．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，点A坐标为，点P是x轴负半轴上的一点． (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点P的坐标： (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“绣湖四边形”．在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是绣湖四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是“绣湖四边形”，点的坐标为或或或 【分析】（1）把分别代入两个解析式计算即可； （2）设，表示出和的面积，再根据列方程计算即可； （3）设，分四种情况：当时，利用平移的性质可得；当时，运用平移的性质可得；当时，通过构造全等三角形建立方程即可得出；当时，利用平移的性质可得． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得：， ； 双曲线经过点， ， 解得：， ； （2）解：如图，设直线交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 解得：，， ， 又， ，， 在中，令，得， 解得：， ， ， 设，且， ， ，即， ， ，即， 解得：， ； （3）解：平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是“绣湖四边形”，理由如下． ，，， ，， ， ，， ， 是直角三角形，， 设，当时，如图， 则，，． 解得：， ； 当时，如图， 则，，， 解得：， ； 当时，如图，设直线交轴于点，过点作轴于，作轴，过点作于， 则，， 由（2）知：， ，， ， ，， 是等腰直角三角形，， 轴， ， ， ，即， ，， ， ，， ，， ，， ； 当时，如图， 则，， ， 解得：， ； 综上所述，平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是“绣湖四边形”，点的坐标为或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13反比例函数图象与性质复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握图象特征：熟记反比例函数图象是双曲线，由两个分支组成，且永远不会与坐标轴相交。 2.理解核心性质：掌握比例系数 k 的正负与图象所在象限、函数增减趋势的对应关系。 3.明晰几何意义：透彻理解比例系数 k 的几何意义，即图象上任意一点与坐标轴垂线围成的矩形、三角形面积与 k 的关系。 4.区分函数类型：能准确区分反比例函数与一次函数、正比例函数的图象特征与性质差异。 1.数形结合能力：能根据 k 的符号快速判断图象分布，或根据图象位置特征反推 k 的取值范围。 2.图象分析能力：能结合图象分析函数的增减性（特别注意 “在每个象限内” 的前提），并比较不同点的函数值大小。 3.模型应用能力：能运用 k 的几何意义，灵活解决与面积、坐标相关的综合几何问题。 1.基础题稳拿分：熟练应对选择题、填空题中关于图象判断、性质辨析、k 值求解的基础题型。 2.综合题规范答题：规范解答反比例函数与一次函数、几何图形结合的综合解答题，步骤完整，逻辑严谨。 3.规避高频易错点：牢记 “在每个象限内” 这一增减性前提，避免因忽略 k 的符号或跨象限比较而导致的答题失误。 题型01.画/判断反比例函数图象 题型02.由反比例函数判断解析式 题型03.由函数图象对称性求点坐标 题型04.由象限分布求参数范围 题型05.判断反比例函数的增减性 题型06.判断图象所在象限 题型07.由反比例函数增减性求参数 题型08.比较函数值或自变量大小 题型09.求反比例函数解析式 题型10.由比例系数求图形面积 题型11.由图形面积求比例系数 题型12.一次函数与反比例函数综合判断 题型13.一次函数与反比例函数交点问题 题型14.一次函数与反比例函数综合应用 解答题8题 知识点01:反比例函数的概念 1.定义 一般地，形如 y=（k 为常数，k0）的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数。 2.等价表达式: (1)y= (2) y=kx−1 (3) xy=k 3.取值范围自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） 知识点05:比例系数 k 的几何意义 1.过 y=(k0) 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 ∣k∣。 2.连接 y=(k0) 图象上任意一点与原点，并从该点向 x 轴、y 轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到 ∣k∣ 的值，进而确定函数表达式。 高频易错点 1.跨象限判断增减性，概念错误； 2.忽略k的正负，象限记反； 3.忘记面积要加绝对值，符号出错； 4.误以为双曲线和坐标轴有交点。 题型01.画/判断反比例函数图象 【典例】反比例函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是________． 【跟踪专练2】定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 题型02.由反比例函数判断解析式 【典例】反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为______． 【跟踪专练2】综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（    ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 题型03.由函数图象对称性求点坐标 【典例】如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是________． 【跟踪专练2】已知反比例函数的图象在第一、三象限，则下列关于该反比例函数的说法中，错误的是（   ） A． B．当时， C．在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 D．若点在其图象上，则点也在其图象上 题型04.由象限分布求参数范围 【典例】若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知反比例函数的图象的两支分别在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 题型05.判断反比例函数的增减性 【典例】已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是_________． 【跟踪专练1】如图，反比例函数的图象经过，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【跟踪专练2】已知，，三点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型06.判断图象所在象限 【典例】反比例函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 【跟踪专练2】如图，将反比例函数的图象向右平移1个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）    A．该函数图象交y轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，，若，则 题型07.由反比例函数增减性求参数 【典例】对于双曲线，当时，随的增大而减小，则的取值范围为______． 【跟踪专练1】已知点，均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】平面直角坐标系中，点，点在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是______． 题型08.比较函数值或自变量大小 【典例】已知点，，都在反比例函数的图象上，则用“”将，，按从大到小的顺序排列为____________． 【跟踪专练1】在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点、、都在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型09.求反比例函数解析式 【典例】反比例函数的图像经过点，则k的值为（   ） A．4 B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴、轴都在格线上，其中反比例函数（，）的图像被撕掉了一部分，已知点，在格点上，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【跟踪专练2】如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴于点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 题型10.由比例系数求图形面积 【典例】如图，点，在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．9 D．13 【跟踪专练1】如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点在轴的正半轴上，则（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 【跟踪专练2】如图，和均为正三角形，且点，均在反比例函数上，连结交于点，连结，则为（    ） A． B． C． D． 题型11.由图形面积求比例系数 【典例】如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点分别在轴正半轴上，且轴，若的面积为，则k的值为_____． 【跟踪专练1】如图，反比例函数的图象过点A，正方形的面积为4，则k的值是（   ） A．2 B． C． D．4 【跟踪专练2】如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 题型12.一次函数与反比例函数综合判断 【典例】在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，反比例函数（）的图像和一次函数（）的图像相交于，两点，则当时，的取值范围是______． 【跟踪专练2】在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型13.一次函数与反比例函数交点问题 【典例】在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，，则的值为_______． 【跟踪专练1】如图，一次函数（为常数）与反比例函数（为常数）的图象相交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为________． 【跟踪专练2】如图，直线与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D．或 题型14.一次函数与反比例函数综合应用 【典例】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为___________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为_______． 【跟踪专练2】小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 【解答题】 1．如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断，，是否在反比例函数的图象上． 2．如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 3．已知反比例函数的图像经过第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限内的两点、且，直接写出的取值范围． 4．已知反比例函数（为常数，）． (1)若该反比例函数图象与正比例函数的图象的一个交点为P，且点P的纵坐标是2，求k的值． (2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 5．如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的长． (3)记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 6．如图，直线分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴，垂足为点． (1)求直线的解析式； (2)若四边形的面积为5，求的值，并直接写出不等式的取值范围． 7．反比例函数与一次函数的图象交于两点．    (1)求k的值； (2)观察图象，请直接写出当时，x的取值范围为 ． (3)点在双曲线上，求a与b的大小关系． 8．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，点A坐标为，点P是x轴负半轴上的一点． (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点P的坐标： (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“绣湖四边形”．在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是绣湖四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $