专题03矩形性质与判定复习讲义(知识梳理+13大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题03矩形性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记矩形的定义、专属性质与判定定理，清晰区分平行四边形与矩形的异同。 2.掌握矩形边角、对角线的特殊特征，理解矩形是特殊的平行四边形。 3.牢记矩形与直角三角形、斜边上中线的关联结论，夯实基础知识点。 1.能灵活运用矩形性质，进行边长、角度、线段长度的计算与推导。 2.可根据已知条件，精准选择判定方法，完成矩形的几何证明题。 3.学会结合图形综合分析，解决矩形与全等、勾股定理结合的综合题型。 1.规避矩形易错陷阱，分清平行四边形、矩形、菱形的概念混淆点。 2.规范几何答题步骤，熟练书写性质、判定的推理过程，减少步骤扣分。 3.掌握中考常考题型解题思路，提升矩形选择、填空、解答题的答题速度与准确率。 题型01.矩形性质理解 题型02.由矩形的性质求角度 题型03.由矩形的性质求线段长 题型04.由矩形的性质求面积 题型05.利用矩形的性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形与折叠问题 题型08.矩形的判定定理理解 题型09.证明四边形是矩形 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型12.由矩形的性质与判定求线段长 题型13.由矩形的性质与判定求面积 解答题7题 一句话定位：矩形是最 “规矩” 的平行四边形—— 有一个角是直角的特殊平行四边形，兼具平行四边形所有性质+直角专属特权。 知识点01.矩形的定义 知识点02:矩形四大 “独家性质”（必背秒杀） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:判定三招（最简、最稳、最常考） 知识点04:场神结论（直接用，提速 50%） 1.对角线分矩形为4 个等腰三角形 2.直角三角形斜边中线＝斜边一半（矩形推导） 3.矩形对角线：长 ²＋宽 ²＝对角线 ²（勾股直通） 一句话秒懂矩形 “一垂定矩形，对角线相等定矩形，三角直角定矩形” 题型01.矩形性质理解 【典例】平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用图表示，则图中阴影部分表示的图形是（　　） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系解答即可． 【详解】解：正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形； 正方形、矩形和菱形都是特殊的平行四边形， 故图中阴影部分表示的图形是正方形． 【跟踪专练1】矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．两组对边分别相等 C．对角线垂直 D．两组对角分别相等 【答案】A 【分析】根据矩形与菱形的性质，逐项判断，即可得出答案． 【详解】解：A选项：对角线相等，是矩形具有而菱形不具有的性质，故本选项符合题意； B选项：两组对边分别相等，矩形和菱形都具有该性质，故本选项不符合题意； C选项：对角线垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，故本选项不符合题意； D选项：两组对角分别相等，矩形和菱形都具有该性质，故本选项不符合题意； 【跟踪专练2】有下列说法，其中正确说法的序号是（    ） ①矩形具有平行四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③菱形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的等腰三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． A．①④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据平行四边形与特殊平行四边形的性质逐个判断各说法即可． 【详解】解：∵矩形是特殊的平行四边形， ∴矩形具有平行四边形的所有性质，故①正确； ∵普通平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形， ∴②错误； ∵菱形是四边相等的平行四边形，任意一条对角线分割该平行四边形（菱形）后，得到的两个三角形三边对应相等（菱形边长相等，对角线为公共边），因此两个三角形全等，且每个三角形有两条边是菱形的边长，因此是等腰三角形， ∴③正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，四个小三角形等底同高，面积都等于平行四边形面积的，因此四个小三角形面积相等， ∴④正确； 综上，正确说法的序号是①③④． 故选：C． 题型02.由矩形的性质求角度 【典例】在矩形中，对角线、相交于点，若，则的度数为______． 【答案】70 【分析】本题考查矩形的性质以及等腰三角形的性质，解题关键是熟练掌握矩形性质和等腰三角形性质是解题的关键． 依据矩形对角线相等且互相平分的性质，得出，确定为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角，得到，根据三角形内角和，结合已知，通过计算出的度数． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形， ∴． 在中，， 则是等腰三角形， ∴ ． ∵， ∴． ∴． 故答案为：70． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，交于点O，，则大小是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分和等边对等角得到，再结合是的外角，利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】根据矩形对角线相等而且互相平分可得，推出，由求出，再根据即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型03.由矩形的性质求线段长 【典例】在矩形中，对角线交于点O，若，则的长为_______． 【答案】7 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，可得，代入的长度即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线、相交于点O．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】先由矩形的性质得出，，再证明是等边三角形，得出，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，，点表示，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可推出结果． 【详解】解：如图，四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得，， 以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点， ， 点表示， 点所表示的数为：. 题型04.由矩形的性质求面积 【典例】如图，在矩形中，分别为的中点，若，四边形的周长是40，则矩形的面积是_____． 【答案】192 【分析】由题意知，是全等三角形，由此可得，即四边形为菱形，由菱形的周长，可求其边长，根据勾股定理可求得和，即可求得和的值，从而求得矩形面积． 【详解】在和中， ∵， ∴， ∴， 同理，即四边形为菱形． 又∵四边形的周长是40cm， ∴． ∵， 设，则． 由勾股定理得，，即， ∴， 矩形的面积． 故答案为：192． 【跟踪专练1】如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的_______．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等转化阴影部分面积，结合矩形对角线分面积的性质求解． 利用矩形对角线互相平分及对边平行可证，则，于是将阴影部分面积转化为的面积；矩形对角线分矩形为四个等积三角形，面积为矩形的，而阴影面积等于面积，故得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴（对角线互相平分且相等），． ∴． ∴ ∴． ∴阴影部分面积 ∵矩形对角线互相平分，将矩形分为四个面积相等的三角形，则， ∴阴影面积是矩形面积的． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线与相交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点；以，为邻边作平行四边形，若矩形的面积等于a，则四边形的面积=________． 【答案】 【分析】先求出平行四边形，平行四边形的面积，探究规律后即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 同理可得：，，……， ∴． 题型05.利用矩形的性质证明 【典例】已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵矩形的四个角都是直角， ∴； 故A正确，不符合题意； ∵矩形的对角线相等且互相平分， ∴，， ∴； 故B、D正确，不符合题意； C错误，符合题意； 故选：C 【跟踪专练1】.如图，在矩形中，与相交于点，，，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理．根据矩形的性质得，，证明是等边三角形得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【跟踪专练2.】如图，点E为矩形的边上的一点，作于点F，且满足．对于下面四个结论：①；②的面积与的面积相等：③；④，所有正确的结论是______（只写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．根据矩形的性质证明，得③正确；证明得出①正确；得出，④正确，过点B作于H，由三角形的面积公式可得，故②错误；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，③正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故④正确； 过点B作于H， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 故答案为：①③④． 题型06.求矩形在.坐标系中的坐标 【典例】如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可知对边平行且相等，结合点、的坐标即可确定点的横纵坐标． 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以，，且，， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，， 所以，， 因为点在第一象限，则点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为_____． 【答案】或或 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，根据是腰长为的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．根据当时，以及当时，分别进行讨论得出点的坐标． 【详解】解：矩形的顶点、的坐标分别为，，点为， ∴， 过作于， ①当时，如图1所示： ，， 由勾股定理得：， ； ②当时， 如图2所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 综上，满足题意的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【跟踪专练2】如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 题型07.矩形与折叠问题 【典例】把一张矩形纸片 按如下图方式折叠，使顶点B 和顶点D重合，折痕为 ．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，由题意得，；根据，即可求解. 【详解】解：∵，， ∴； ∴； 由折叠可知：， ∴ 故选：B. 【跟踪专练1】如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为__________． 【答案】/20度 【分析】本题考查了折叠的性质，折叠是一种对称变换，属于轴对称，解决本题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，由此解方程可得到的度数． 【详解】解：∵， 设， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠形成四边形， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴，解得， 即的度数为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在矩形纸片中，，，边上有一点，，将该纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长是_____，线段的长是_____． . 【答案】 10 【分析】添加辅助线，在中，使用勾股定理即可求解的长度，再使用勾股定理可求解的长度，再次使用勾股定理即可求解的长度． 【详解】解：过点M作交于点P，如图， ∴， 设， 根据翻折的性质可知，， ∴， 在中，， 即，解得， 则线段的长是10； 设， 根据翻折的性质可知，， ∴， 在中，， 即，解得， 则线段的长是5， 在中，， 则线段的长是． 题型08.矩形的判定定理理解 【典例】如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是_____________________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键． 先明确平行四边形的性质，再根据对角线相等的平行四边形是矩形这一判定定理，判断该平行四边形是否为矩形，从而得出侧边与上下底垂直的结论． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 若对角线， 则平行四边形是矩形， 其数学依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 【跟踪专练1】如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折痕翻折，使与边上的重合， ∴，， ∴四边形中， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定规则逐一判断选项即可． 【详解】解：对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，故A项错误． 对角线相等互相垂直且互相平分的四边形才是正方形，故B项错误． 平行四边形中对角线平分一组对角，可推出平行四边形邻边相等，邻边相等的平行四边形是菱形，故C项正确． 两组对边相等且有一个角是直角的四边形才是矩形，一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故D项错误． 题型09.证明四边形是矩形 【典例】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形，即可得出结论. 【详解】解：由作图可知：， ∴四边形是平行四边形. 【跟踪专练1】如图，在中，，，当______时，四边形是矩形． 【答案】10 【分析】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法． 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，证出即可． 【详解】解：当时， ， ， 四边形是矩形， 故答案为：10． 【跟踪专练2】如图，在中，点E，D，F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若且，则四边形是正方形 C．若，则四边形是菱形 D．如果，则四边形是矩形 【答案】B 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意； 若，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； 如果，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得四边形是矩形，故D选项正确，不符合题意； 若且，根据等腰三角形三线合一性质可知平分， 平行四边形是菱形，但不能判定是正方形（除非），故B选项错误，符合题意． 题型10.添条件使四边形是矩形 【典例】如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题已知四边形是平行四边形，需根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项的条件能否推出该平行四边形为矩形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 选项A：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）， 不能够判定为矩形，故A项不符合题意． 选项B：， 仅由，无法推出平行四边形中有一个角为直角或对角线相等，不能判定其为矩形．故B项不符合题意． 选项C：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能够判定为矩形，故C项不符合题意． 选项D：， ∵四边形是平行四边形，且 ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故D项符合题意． 【跟踪专练1】如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 【答案】6 【分析】利用平行四边形的性质得出对角线相等时即可判定出四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴时，四边形是矩形， ∴， ∴当时，四边形是矩形． 【跟踪专练2】在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 【答案】A 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、添加，无法使平行四边形变为菱形，故符合题意； B、添加，可以使菱形变为正方形，故不符合题意； C、添加，可以使平行四边形变为矩形，故不符合题意； D、添加，可以使矩形变为正方形，故不符合题意． 题型11.由矩形的性质与判定求角度 【典例】如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 【跟踪专练1】如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，多边形的内角和，矩形的性质，熟记性质并考虑利用四边形的内角和定理求解是解题的关键． 根据对顶角相等求出，再根据四边形的内角和等于求出，然后求出，最后根据旋转的性质可得即为旋转角． 【详解】解：∵矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置， ∴，， ∵矩形中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：D． 题型12.由矩形的性质与判定求线段长 【典例】如图，在中，为边上一动点（且点不与点、重合），于．则的最小值为___________． 【答案】4.8 【分析】此题主要考查了勾股定理，矩形的判定与性质、垂线段最短的性质．利用“垂线段最短”找出时，取最小值是解答该题的关键．先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：如图，连接， ∵ ， 又于点，于点， ， 四边形是矩形． ， 当最小时，也最小， 即当时，最小， ， ， 线段的最小值为； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出，判断出四边形是矩形；根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】如图，连接． ∵矩形中，，，， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段最短，即的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴， 即的最小值为． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，，为，，边上的点，且，，，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是矩形的判定及性质、勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 首先过作于点，利用矩形的判定可得四边形是矩形，根据矩形的性质得，，由求得的长，然后再在中，利用勾股定理求的长． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 题型13.由矩形的性质与判定求面积 【典例】如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 【跟踪专练1】如图，在中，，，平分，过点A作，且，连接，则四边形的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质与判定，证出四边形是矩形是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质得到，，利用勾股定理求出，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴矩形的面积． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（　　） A．矩形的面积 B．的度数 C．四边形的周长 D．的长度 【答案】A 【分析】连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，然后用分割法求得四边形的面积，进而可以根据条件得到结果． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ， 四边形、四边形是矩形， 设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，则，，，， ，，，， ， 矩形和矩形的周长已知， 和为定值， 为定值， 为定值， ， 当已知时，四边形的面积即为定值， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解题的关键是学会设矩形的长和宽并用含有未知数的式子表示矩形、矩形和四边形的面积． 【解答题】 1．如图，在平行四边形中，延长至点，使得，连接，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质求解即可； （2）证明平行四边形是矩形，再求出，由勾股定理得到，结合矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，即， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ∴，即， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， 平行四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 2．如图，矩形的对角线交于点，为中点，在射线上，且，连接．若，，则的长为多少？ 【答案】 【分析】根据矩形的性质，求出的长，证明四边形为矩形，进而得到即可. 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴. 3．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 4．如图所示，点E是的边的中点，且．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得，，证明，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，则，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∵E是的中点， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， ， ∴四边形为矩形． 5．在矩形中，，． (1)如图，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，当点Q落在上时，求的长． (2)M是边上的一个动点，将沿翻折，其中点C的对称点为． ①当A，M，三点共线时，的长为____________； ②的最小值为____________． 【答案】(1)； (2)①4；② 【分析】（1）利用折叠的性质得到，在中，利用勾股定理求解即可； （2）①设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； ②先判断点在以点为圆心，为半径的圆上，∴当B，D，三点共线时，取得最小值，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形，，， ∴，， 由折叠的性质知， 在中，； （2）解：①如图，设， 由折叠的性质知，，， ∵A，M，三点共线， ∴， ∴， ∴，， 在中，，即， 解得， ∴； ②由题意得，点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当B，D，三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别落在x轴，y轴上，．平分交于点D，点P在射线上，以为边作． (1)求证：； (2)当为菱形时，求Q的坐标； (3)当为直角三角形时，求的面积 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)16或8或48 【分析】本题考查矩形的性质、坐标与图形、求一次函数解析式、勾股定理、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． （1）分别求得，即可证得结论； （2）先根据矩形性质和等腰三角形的判定得到，，，再利用待定系数法求得直线的函数表达式为，设，则，由菱形性质得到，，进而利用两点坐标距离公式列方程求得m值即可求解； （3）分两种情况：①当时，②当时，利用勾股定理和两点坐标距离公式列方程求得m值，进而得到对应的点P坐标即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分交于点D， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 设的函数关系式为， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴，，即轴 ∴， 解得，， ∴或， ∵轴，， ∴或； （3）解：由（2）可得，又，， ∴， ， 当为直角三角形时，有两种情况： ①当时，， ∴， 解得，， ∴当时，，则P与C重合， ∴的面积为； 当时，，又，， ∴的面积为； ②当时，， ∴， 解得， ∴，又，， ∴的面积为， 综上，的面积为16或8或48． 7．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03矩形性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记矩形的定义、专属性质与判定定理，清晰区分平行四边形与矩形的异同。 2.掌握矩形边角、对角线的特殊特征，理解矩形是特殊的平行四边形。 3.牢记矩形与直角三角形、斜边上中线的关联结论，夯实基础知识点。 1.能灵活运用矩形性质，进行边长、角度、线段长度的计算与推导。 2.可根据已知条件，精准选择判定方法，完成矩形的几何证明题。 3.学会结合图形综合分析，解决矩形与全等、勾股定理结合的综合题型。 1.规避矩形易错陷阱，分清平行四边形、矩形、菱形的概念混淆点。 2.规范几何答题步骤，熟练书写性质、判定的推理过程，减少步骤扣分。 3.掌握中考常考题型解题思路，提升矩形选择、填空、解答题的答题速度与准确率。 题型01.矩形性质理解 题型02.由矩形的性质求角度 题型03.由矩形的性质求线段长 题型04.由矩形的性质求面积 题型05.利用矩形的性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形与折叠问题 题型08.矩形的判定定理理解 题型09.证明四边形是矩形 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型12.由矩形的性质与判定求线段长 题型13.由矩形的性质与判定求面积 解答题7题 一句话定位：矩形是最 “规矩” 的平行四边形—— 有一个角是直角的特殊平行四边形，兼具平行四边形所有性质+直角专属特权。 知识点01.矩形的定义 知识点02:矩形四大 “独家性质”（必背秒杀） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:判定三招（最简、最稳、最常考） 知识点04:场神结论（直接用，提速 50%） 1.对角线分矩形为4 个等腰三角形 2.直角三角形斜边中线＝斜边一半（矩形推导） 3.矩形对角线：长 ²＋宽 ²＝对角线 ²（勾股直通） 一句话秒懂矩形 “一垂定矩形，对角线相等定矩形，三角直角定矩形” 题型01.矩形性质理解 【典例】平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用图表示，则图中阴影部分表示的图形是（　　） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 【跟踪专练1】矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．两组对边分别相等 C．对角线垂直 D．两组对角分别相等 【跟踪专练2】有下列说法，其中正确说法的序号是（    ） ①矩形具有平行四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③菱形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的等腰三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． A．①④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 题型02.由矩形的性质求角度 【典例】在矩形中，对角线、相交于点，若，则的度数为______． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，交于点O，，则大小是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是______． 题型03.由矩形的性质求线段长 【典例】在矩形中，对角线交于点O，若，则的长为_______． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线、相交于点O．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【跟踪专练2】如图，矩形中，，，点表示，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（   ） A． B． C． D． 题型04.由矩形的性质求面积 【典例】如图，在矩形中，分别为的中点，若，四边形的周长是40，则矩形的面积是_____． 【跟踪专练1】如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的_______．    【跟踪专练2】如图，矩形的对角线与相交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点；以，为邻边作平行四边形，若矩形的面积等于a，则四边形的面积=________． 题型05.利用矩形的性质证明 【典例】已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】.如图，在矩形中，与相交于点，，，则的长为________． 【跟踪专练2.】如图，点E为矩形的边上的一点，作于点F，且满足．对于下面四个结论：①；②的面积与的面积相等：③；④，所有正确的结论是______（只写序号）． 题型06.求矩形在.坐标系中的坐标 【典例】如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为_____． 【跟踪专练2】如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型07.矩形与折叠问题 【典例】把一张矩形纸片 按如下图方式折叠，使顶点B 和顶点D重合，折痕为 ．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为__________． 【跟踪专练2】如图，在矩形纸片中，，，边上有一点，，将该纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长是_____，线段的长是_____． . 题型08.矩形的判定定理理解 【典例】如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是_____________________． 【跟踪专练1】如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 题型09.证明四边形是矩形 【典例】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【跟踪专练1】如图，在中，，，当______时，四边形是矩形． 【跟踪专练2】如图，在中，点E，D，F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若且，则四边形是正方形 C．若，则四边形是菱形 D．如果，则四边形是矩形 题型10.添条件使四边形是矩形 【典例】如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 【跟踪专练2】在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 题型11.由矩形的性质与判定求角度 【典例】如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    【跟踪专练1】如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 【跟踪专练2】如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 题型12.由矩形的性质与判定求线段长 【典例】如图，在中，为边上一动点（且点不与点、重合），于．则的最小值为___________． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，，为，，边上的点，且，，，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 题型13.由矩形的性质与判定求面积 【典例】如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【跟踪专练1】如图，在中，，，平分，过点A作，且，连接，则四边形的面积是_______． 【跟踪专练2】如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（　　） A．矩形的面积 B．的度数 C．四边形的周长 D．的长度 【解答题】 1．如图，在平行四边形中，延长至点，使得，连接，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 2．如图，矩形的对角线交于点，为中点，在射线上，且，连接．若，，则的长为多少？ 3．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 4．如图所示，点E是的边的中点，且．求证：四边形是矩形． 5．在矩形中，，． (1)如图，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，当点Q落在上时，求的长． (2)M是边上的一个动点，将沿翻折，其中点C的对称点为． ①当A，M，三点共线时，的长为____________； ②的最小值为____________． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别落在x轴，y轴上，．平分交于点D，点P在射线上，以为边作． (1)求证：； (2)当为菱形时，求Q的坐标； (3)当为直角三角形时，求的面积 7．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $