4.4 数学归纳法（第二课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

4.4 数学归纳法（第二课时） 人教A版选择性必修二第四章 数列 检查预习 人教A版选择性必修二第四章 数列 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 回顾旧知 数学归纳法： 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 下面用数学归纳法证明这个猜想. 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 下面用数学归纳法证明这个猜想. 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 （1）当n=2时，由上述过程知，猜想成立. 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 下面用数学归纳法证明. 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 牛刀小试 人教A版选择性必修二第四章 数列 牛刀小试 人教A版选择性必修二第四章 数列 牛刀小试 人教A版选择性必修二第四章 数列 牛刀小试 人教A版选择性必修二第四章 数列 1.这节课学习了哪些知识？ 2.用到了哪些数学方法和思想？ 课堂小结 人教A版选择性必修二第四章 数列 2. 完成对应的课时训练并预习下一课时内容. 1.课本第51页习题第2、3题； 布置作业 人教A版选择性必修二第四章 数列 引入课题 人教A版选择性必修二第四章 数列 1. 一个关于自然数 的命题，如果证得当 时命题成立，并在假设当 （ ，且 ）时命题成立的基础上，证明了当 时命题成立，那么综合上述，对于（ ） A. 一切正整数命题成立 B. 一切正奇数命题成立 C. 一切正偶数命题成立 D. 以上都不对 2. 已知某个命题与正整数有关，如果当 （ ）时该命题成立，那么可以推出 时该命题也成立. 现已知 时该命题成立，那么（ ） A. 时该命题成立 B. 时该命题不成立 C. 时该命题都成立 D. 可能 取某个大于 的整数时该命题不成立 3. 用数学归纳法证明 时，从“ ”到“ ”，左边需增添的代数式是（ ） A. B. C. D. 4. 用数学归纳法证明当 为奇数时， 能被 整除，如果在归纳假设中，假设当 时命题成立，那么下一步应证明 ______时命题也成立. （1）（归纳奠基）证明当 （ ）时命题成立； （2）（归纳递推）以“当 （ ， ）时命题成立”为条件，推出“当 时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立，这种证明方法称为数学归纳法（mathematical induction）． 例2：用数学归纳法证明： ① 分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当 时，①式成立”为条件，得出“当 时，①式也成立”的命题，证明时必须用上上述条件. 例2：用数学归纳法证明： ① 证明：（1）当 时，①式的左边 ， 右边 ， 所以①式成立. 即当 时，①式也成立. 由（1）（2）可知， ①式对任何 都成立. 例2：用数学归纳法证明： ① （2）假设当 时，①式成立，即 在上式两边同时加上 ，有 例3:已知数列 满足 ， ，试猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 分析：先将数列 的递推关系 化为 ，通过计算 的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想. 解：由 ，可得 由 可得 同理可得 归纳上述结果，猜想 ① （1）当 时，①式左边 ，右边 ，猜想成立. （2）假设当 时，①式成立，即 那么 即当 时，猜想也成立. 由（1）（2）可知，猜想对任何 都成立. 例4：设 为实数，且 ， ， 为大于1的正整数，记数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 分析：该问题中涉及两个字母， 是大于 且不等于零的实数， 是大于1的正整数.一种思路是不求和，而直接通过 取特殊值比较 与 的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出 ，再通过 取特殊值比较 与 的大小关系后作出猜想.两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想. 例4：设 为实数，且 ， ， 为大于1的正整数，记数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 解法1：由已知可得 当 时， ，由 ，知 ，可得 当 时， ，由 且 ， 知 ，可得 由此，我们猜想，当 且 ， 且 时， . 例4：设 为实数，且 ， ， 为大于1的正整数，记数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小，并用数学归纳法证明你的结论. （2）假设当且 时，不等式成立，即 则 所以，当 时，猜想也成立. 由（1）（2）可知，不等式 对任何大于1的正整数 都成立. 例4：设 为实数，且 ， ， 为大于1的正整数，记数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小，并用数学归纳法证明你的结论. ①当 时，因为 ，所以 ，所以 ②当 时， ，且 ，又因为 ， 所以 ，可得 综合①②可得，当 且 时， 由此，我们猜想，当 且 ， 且 时， . 例4：设 为实数，且 ， ， 为大于1的正整数，记数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 解法2：因为 ， ，所以所给数列是等比数列，公比为 ，于是 当 时， ，由 ，知 ，可得 当 时， ，由 ， ，得 ，可得 例4：设 为实数，且 ， ， 为大于1的正整数，记数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小，并用数学归纳法证明你的结论. （1）当 时，由上述过程知，猜想成立. （2）假设当且 时，不等式 成立，即 亦即 由 ，得 .又因为 ， ，所以 .于是 所以，当 时，猜想也成立. 由（1）（2）可知，不等式 对任何大于1的正整数 都成立. 1.用数学归纳法证明： 2.若数列 的前 项和为 ，计算 ，由此推测计算 的公式，并用数学归纳法进行证明. 3.观察下列两个数列 ： 数列 ： ； 数列 ： . 猜想从第几项起 小于 ，并证明你的结论. 猜想满足 ， 的数列 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. $