4.4 数学归纳法课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4 数学归纳法 类型二　数学归纳法在数列中的应用(逻辑推理、数学运算) [例2](教材提升·例3)已知数列{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项. (1)计算a1,a2,a3,并由此猜想数列{an}的通项公式; 【解析】(1)由=得Sn=,由Sn可求得a1=2,a2=6,a3=10,由此猜想{an}的通项公式为an=4n-2,n∈N*. [例2](教材提升·例3)已知数列{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项. (2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想. 【解析】(2)①当n=1时,a1=2,等式成立; ②假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即ak=4k-2, 所以当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=-,所以(ak+1+ak)(ak+1-ak-4)=0. 又ak+1+ak≠0,所以ak+1-ak-4=0,所以ak+1=ak+4=4k-2+4=4(k+1)-2, 所以当n=k+1时,等式也成立. 由①②可知,an=4n-2对任何n∈N*都成立. 类型三　数学归纳法在证明与正整数有关的命题中的应用(逻辑推理、数学运算) 角度1　证明恒等式 [例3](教材提升·例2)观察下列等式: =1; =3; =6; =10; =15; … (1)猜想第n(n∈N*)个等式; 【解析】(1)猜想第n(n∈N*)个等式为=. [例3](教材提升·例2)观察下列等式: =1; =3; =6; =10; =15; … (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【解析】 (2)①当n=1时,左边=1,右边=1, 猜想成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,有=,则当n=k+1时, ==(k+1) =(k+1)==. 故当n=k+1时,猜想也成立. 由①②可知猜想成立. 角度2　证明不等式 [例4](教材提升·例4)证明:不等式1++++…+>(n∈N*)恒成立. 【证明】当n=1时,1>成立,假设n=k时,不等式1++++…+>成立, 那么n=k+1时,1++++…++++…+>++…+, 因为>,>,…,=, 所以1++++…++++…+>+=, 即n=k+1时,该不等式也成立, 综上可知,不等式1++++…+>(n∈N*)恒成立. 角度3　证明数的整除 [例5](教材提升·习题4.4T8)用数学归纳法证明:11n+1+122n-1能被133整除(n∈N*). 【证明】①当n=1时,11n+1+122n-1=112+12=133,能被133整除,所以n=1时结论成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,11k+1+122k-1能被133整除,那么当n=k+1时,11k+2+122k+1= 11k+1×11+122k-1×122=11k+1×11+122k-1×11-122k-1×11+122k-1×122=11×(11k+1+122k-1) +133×122k-1. 由归纳假设可知11×(11k+1+122k-1)+133×122k-1能被133整除,即11k+2+122k+1能被133整除. 所以当n=k+1时结论也成立. 综上,由①②可知,11n+1+122n-1能被133整除. 例2【即学即练】 (2024·杭州高二检测)已知数列{an}满足a1=1,an+1+anan+1-an=0(n∈N*). (1)求a2,a3,a4; 【解析】(1)由an+1+anan+1-an=0可知an+1=,当n=1时,代入a1=1, 解得a2=;当n=2时,代入a2=,解得a3=; 当n=3时,代入a3=,解得a4=. (2024·杭州高二检测)已知数列{an}满足a1=1,an+1+anan+1-an=0(n∈N*). (2)试猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明. 【解析】(2)猜想数列{an}的通项公式为an=. ①当n=1时,左边=a1=1,右边==1,an=成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,ak=成立.则当n=k+1时,有ak+1===, 即当n=k+1时,an=也成立.由①②可知,an=对任何n∈N*都成立. 例3【即学即练】 用数学归纳法证明:++…+=(n∈N*). 【证明】(1)当n=1时,=成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即有++…+=, 则当n=k+1时,++…++=+ ==,即当n=k+1时等式也成立. 由(1)(2)可得对于任意的n∈N*等式都成立. 例4【即学即练】 用数学归纳法证明:当n∈N*时,1+22+33+…+nn<(n+1)n. 【证明】(1)当n=1时,左边=1,右边=2,1<2,不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,即1+22+33+…+kk<(k+1)k, 那么,当n=k+1时,左边=12+22+33+…+kk+(k+1)k+1<(k+1)k+(k+1)k+1= (k+1)k(k+2)<(k+2)k+1=[(k+1)+1]k+1=右边, 即当n=k+1时不等式也成立. 根据(1)(2)可知,不等式对任意n∈N*都成立. 例5【即学即练】 证明:n3+5n(n∈N*)能够被6整除. 【证明】①当n=1时,n3+5n=6,显然能够被6整除,命题成立. ②假设当n=k时,命题成立,即n3+5n=k3+5k能够被6整除, 当n=k+1时,n3+5n=(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6, 由假设知:k3+5k能够被6整除, 而k(k+1)为偶数,故3k(k+1)能够被6整除, 故(k+1)3+5(k+1)=(k3+5k)+3k(k+1)+6能够被6整除, 即当n=k+1时,命题成立, 由①②可知,命题对一切正整数成立,即n3+5n(n∈N*)能够被6整除. 14 作业： 十一 数学归纳法 剩余内容 《专题与测试卷》 p40 等差数列测试题 12，13 p44 等比数列测试题 13 $$