第一单元《简易方程》（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

苏教版小学五年级下册 第一单元《简易方程》讲义 一、单元知识框架总览 本单元是小学阶段代数知识的起始内容，主要包括四大板块： 1. 等式与方程的概念：认识等式和方程的含义，理解两者之间的关系。 2. 等式的性质：掌握等式的基本性质，为解方程奠定理论基础。 3. 解方程：利用等式的性质求出方程的解，学会检验和规范书写。 4. 列方程解决实际问题：分析题中的等量关系，设未知数列方程并求解。 二、知识点清单 知识点1：等式与方程的概念 等式：用等号（=）连接、表示左右两边相等关系的式子叫做等式。 方程：含有未知数的等式叫做方程。方程必须同时满足两个条件——①是等式；②含有未知数。 方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。等式包含方程，方程是等式的子集。 例题：下面的式子中，哪些是等式？哪些是方程？ ① 3x + 5 = 20　　② 7 + 8 = 15　　③ 6y — 4　　④ 2a = 10　　⑤ 5x < 3 解答：等式：①、②、④（都用等号连接，表示相等关系） 方程：①、④（既是等式又含有未知数） ③没有等号，不是等式 ⑤是不等式符号“<”，不是等式 变式训练1.判断对错。 “含有未知数的式子叫做方程。”（　　） 答案：×（方程必须是含有未知数的“等式”，只含未知数但不是等式的式子不是方程） 变式训练2：在括号中填“等式”或“方程”。 x + 8 = 20（　　）　　12 + 6 = 18（　　）　　7x — 3（　　） 答案：方程；等式；既不是等式也不是方程 变式训练3：判断：方程一定是等式，但等式不一定是方程。（　　） 答案：√（方程必须满足“等式”+“含未知数”两个条件，所以方程都是等式；但等式可以不含未知数，所以不一定是方程） 知识点2：等式的性质 等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。 注意： 1. 必须是“两边”同时进行相同的运算 2.加、减的数必须相同 3.乘、除时，除数不能为0（除0无意义） 例题：根据等式性质填空： （1）若 x + 15 = 38，则 x + 15 — 15 = 38 ○ _______ （2）若 3x = 21，则 3x ÷ 3 = 21 ○ _______ 解答： （1）-15。根据性质1，等式两边同时减去15，等式仍然成立。 （2）÷3。根据性质2，等式两边同时除以3（不为0），等式仍然成立。 变式训练1：如果 5x = 30，根据等式的性质，两边同时_______，得 x = _______。 答案：除以5；6 变式训练2：判断：等式两边同时乘同一个数，所得结果仍然是等式。（　　） 答案：√ 变式训练3：若 x ÷ 4 = 12，则 x ÷ 4 × 4 = 12 ○ ，根据的是等式性质 。 答案：× 4；性质2（等式两边同时乘4） 知识点3：方程的解与解方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。它是一个具体的数值。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。它是一系列变形操作的“过程”。 书写规范：①写“解”字 ②等号对齐 ③乘除时除数不为0 检验方法：将求出的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等。若左边=右边，则该值是方程的解。 例题：解方程：x + 18 = 45，并检验。 解答： x + 18 = 45 解： x + 18 — 18 = 45 — 18 x = 27 检验：将x=27代入原方程，左边=27+18=45，右边=45，左边=右边，所以x=27是原方程的解。 变式训练1：方程 2x = 14 的解是 x = _______。 答案：7。 解：2x÷2=14÷2， x=7。 检验：左边=2×7=14=右边，所以x=7是方程的解。 变式训练2：x = 3 是不是方程 5x- 6 = 9 的解？请检验说明。 答案：是。 检验：将x=3代入，左边=5×3—6=15—6=9，右边=9，左边=右边，所以x=3是方程的解。 变式训练3：判断：“解方程”和“方程的解”意思是相同的。（　　） 答案：×。“方程的解”是一个数值（结果），“解方程”是求这个数值的过程 例题：解下列方程： （1）x — 13 = 22　　　（2）5x = 95　　　（3）3x + 8 = 35 解答： （1）x — 13 = 22 解： x — 13 + 13 = 22 + 13 　　 x = 35 （2）5x = 95 解：5x ÷ 5 = 95 ÷ 5　　　 x = 19 （3）3x + 8 = 35 解：3x + 8 — 8 = 35 — 8 　　 3x = 27　 3x ÷ 3 = 27 ÷ 3 　　 x = 9 变式训练1：解方程 8x = 96。 答案：x = 12。 解：8x÷8=96÷8， x=12。 变式训练2：解方程 4x + 5x = 63。 答案：x = 7。 解：(4+5) x=63， 9x=63， 9x÷9=63÷9， x=7。 变式训练3：解方程 2x-9 = 15。 答案：x = 12。 解： 2x—9+9=15+9， 2x=24， 2x÷2=24÷2， x=12。 知识点4：列方程解决实际问题 解题步骤： 1. 审题：弄清已知条件和所求问题 2. 找等量关系：从关键句中找出数量间的相等关系（如“比……多/少”“是……的几倍”等） 3. 设未知数：一般把待求量设为x 4. 列方程：将等量关系转化为含x的等式 5. 解方程：利用等式的性质求解 6. 检验并作答：检验结果是否合理，写出答句 常见数量关系： 1.加法：和 = 加数 + 加数 2.减法：差 = 被减数 — 减数 3.乘法：积 = 因数 × 因数 4.除法：商 = 被除数 ÷ 除数 例题：学校买了3个篮球和2个足球，一共花了296元。每个篮球68元，每个足球多少元？ 解答： 解：设每个足球x元。 等量关系：篮球总价 + 足球总价 = 总花费 　　 68×3 + 2x = 296 　　 204 + 2x = 296 　　 2x = 296 — 204 　　 2x = 92 　 　 x = 46 答：每个足球46元。 变式训练1：小明的书比小红的书的3倍还多2本，小明有29本书，小红有多少本书？ 解：设小红有x本书。 3x+2=29， 3x=27， x=9。 答：小红有9本书。 变式训练2：甲乙两车同时从相距540千米的两地相对开出，2.5小时后相遇，甲车每小时行56千米，乙车每小时行多少千米？ 解：设乙车每小时行x千米。 (56+x)×2.5=540， 56+x=216， x=160。 答：乙车每小时行160千米。 变式训练3：一个书架上层的书比下层少68本，下层的本数是上层的3倍。下层有多少本书？ 解：设上层有x本，则下层有3x本。 3x—x=68， 2x=68， x=34，下 层34×3=102（本）。答：下层有102本书。 知识点5：特殊公式与规律 连续自然数的规律： 1.5个连续自然数（或偶数、奇数）的和 = 中间一个数的5倍 2.奇数个连续自然数的和 ÷ 个数 = 中间数 3.若中间数是m，则连续三个偶数依次为m—2，m，m+2 例题：三个连续自然数的和是54，求这三个数。 解：设中间数为x，则较小数为x—1，较大量为x+1。 (x—1) + x + (x+1) = 54 3x = 54 x = 18 较小数：18—1=17，较大数：18+1=19。 答：这三个数分别是17、18、19。 变式训练1：三个连续偶数的和是84，中间的偶数是多少？ 答案：28。 解：设中间数为x。 3x=84，x=28。 答：中间的偶数是28。 变式训练2：把结果相同的式子连起来。x² 和 x+x（当x=2时，x²和x+x是否相等？） 答案：当x=2时，x²=2×2=4，x+x=2+2=4，结果相同； 但当x=3时，x²=9，x+x=6，不相同。 x²表示x×x，而x+x表示2个x相加，两者意义不同，只有在x=0或x=2时数值相等。 变式训练3：用字母表示：一张正方形桌面的边长为a米，桌面的周长为_______米，面积为_______平方米。 答案：C = 4a；S = a² 三、巩固练习（共30题） （一）判断题（每题2分） 1. 含有等号的式子一定是方程。（　　） 答案：×　　 解析：如12+6=18有等号但不是方程，方程还必须含有未知数。 2. 方程一定是等式，等式不一定是方程。（　　） 答案：√ 3. 等式两边同时乘或除以同一个数，所得结果仍然是等式。（　　） 答案：×　　 解析：除以的数不能为0。 4. x = 5 是方程 3x — 7 = 8 的解。（　　） 答案：√　　 检验：3×5—7=15—7=8，右边=8，左边=右边。 5. 2x 和 x² 表示的意义相同。（　　） 答案：×　　 解析：2x表示2×x，x²表示x×x。 6. 解方程时，等号要上下对齐。（　　） 答案：√ 7. a × a 可以写作 2a。（　　） 答案：×　　 解析：a×a写作a²，2a表示a+a。 8. 若 3x = 1.8，则 x = 0.6。（　　） 答案：√　　解：x=1.8÷3=0.6。 （二）填空题（每题2分） 1. 下面的式子中：① 2x+3=11 ② 5×6=30 ③ x—7＞4 ④ 4y÷2=6，等式有_______，方程有_______。（填序号） 答案：等式：①、②、④；方程：①、④ 2. 如果 x + 25 = 60，那么 x = _______。 答案：35。解：x=60—25=35。 3. 每本练习本x元，买5本需要_______元；付了20元，应找回_______元。 答案：5x；20—5x 4. 比a的3倍多5的数是_______。 答案：3a+5 5. 三个连续的自然数，中间一个是n，最大的一个是_______。 答案：n+1 6. 当 a = 4 时，3a + 2 = _______。 答案：14。3×4+2=12+2=14。 7. 解方程 7x — 3x = 24，先将左边合并为_______，得 x = _______。 答案：4x；6 8. 长方形的长是a厘米，宽是b厘米，周长C=，面积S=。 答案：C=2(a+b)；S=ab 9. 果园里有梨树x棵，苹果树的棵数是梨树的2倍。苹果树有_______棵，两种树共有_______棵。 答案：2x；3x 10. 若 2x + 8 = 20，则 2x = _______，x = _______。 答案：12；6 （三）解方程（每题3分） 1. x + 32 = 76 解：x+32—32=76—32， x=44。 2. 6x = 102 答案：x = 17。 解：6x÷6=102÷6， x=17。 3. x ÷ 5 = 12 答案：x = 60。 解：x÷5×5=12×5， x=60。 4. 4x — 18 = 30 答案：x = 12。 解：4x—18+18=30+18， 4x=48， 4x÷4=48÷4， x=12。 5. 2x + 3x = 65 答案：x = 13。 解：(2+3)x=65， 5x=65， 5x÷5=65÷5， x=13。 6. 3(x + 2) = 27 答案：x = 7。 解：3(x+2)÷3=27÷3， x+2=9， x=7。 （四）列方程解决问题（每题5分） 1. 学校图书馆原有图书640本，本学期又购进x本，现在一共有图书920本。本学期购进图书多少本？ 答案：280本。 解：设购进x本。 640+x=920， x=920—640， x=280。 答：本学期购进图书280本。 2. 爷爷今年68岁，比小明年龄的8倍多4岁，小明今年多少岁？ 答案：8岁。 解：设小明今年x岁。 8x+4=68， 8x=64， x=8。 答：小明今年8岁。 3. 水果店运来苹果和橘子共360千克，苹果的重量是橘子的2倍。苹果和橘子各有多少千克？ 答案：橘子120千克，苹果240千克。 解：设橘子有x千克，则苹果有2x千克。 x+2x=360， 3x=360， x=120， 苹果120×2=240（千克）。 答：橘子120千克，苹果240千克。 4. 甲乙两地相距455千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行65千米，几小时后能到达乙地？ 答案：7小时。 解：设x小时后到达。 65x=455， x=455÷65， x=7。 答：7小时后到达。 5. 一根绳子，第一次剪去15米，第二次剪去的比第一次的2倍少5米，两次共剪去多少米？（先用字母表示，再求值） 答案：设第一次剪去x米，则第二次剪去(2x—5)米，共剪去x+(2x—5)=(3x—5)米。当x=15时，共剪去3×15—5=45—5=40（米）。答：两次共剪去40米。 6. 鸡和兔关在同一个笼子里，共有35个头和94只脚。鸡和兔各有多少只？（选做·思维拓展） 答案：鸡23只，兔12只。解：设鸡有x只，则兔有(35—x)只。2x+4(35—x)=94，2x+140—4x=94，—2x=—46，x=23，兔35—23=12（只）。答：鸡有23只，兔有12只。 四、参考答案汇总 判断题 1. ×　　2. √　　3. ×　　4. √　　5. ×　　6. √　　7. ×　　8. √ 填空题 9. 等式：①②④　方程：①④　　10. 35　　11. 5x，20—5x　　12. 3a+5　　13. n+1　　14. 14　　15. 4x，6　　16. 2(a+b)，ab　　17. 2x，3x　　18. 12，6 解方程 19. x=44　　20. x=17　　21. x=60　　22. x=12　　23. x=13　　24. x=7 列方程解决问题 25. 280本　　26. 8岁　　27. 橘子120千克，苹果240千克　　28. 7小时　　29. 40米　　30. 鸡23只，兔12只 学科网（北京）股份有限公司 $