小升初奥数培优应用题：圆柱与圆锥的应用（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优应用题：圆柱与圆锥的应用 【知识点梳理】 1. 基本公式回顾 (1) 圆柱 1　 侧面积： （ 为底面周长， 为高） 2　 表面积： 3　 体积： (2) 圆锥 1　 侧面积： （ 为母线长，小升初较少直接考侧面积公式，多考展开图扇形关系） 2　 体积： 2. 核心比例关系（解题关键） 在奥数应用中，直接代入数值计算往往繁琐，利用比例法能大幅简化运算。 (1) 等高模型： 若圆柱与圆锥底面积相等、高相等，则： (2) 等底模型： 若圆柱与圆锥底面积相等，体积也相等，则： (3) 等高等体积模型： 若圆柱与圆锥高相等，体积也相等，则： (4) 一般比例推导： 3. 常见经典模型 (1) 旋转体模型 1　 矩形旋转：长方形以长为轴旋转一周得到圆柱；以宽为轴旋转一周得到另一个圆柱。 2　 三角形旋转：直角三角形以直角边为轴旋转一周得到圆锥。 3　 注意：旋转轴不同，生成的立体图形半径和高互换，体积可能不同。 (2) 切割与拼接模型 1　 横切：平行于底面切割，增加两个底面积。每切一刀，表面积增加 。 2　 纵切：沿直径垂直于底面切割，增加两个长方形截面。每个截面面积为 （圆柱）或三角形（圆锥，需具体分析）。 3　 拼合：将圆柱底面分成若干扇形，切开拼成近似长方体。 体积不变。 表面积增加：增加了两个侧面，面积为 。 (3) 排水法与浸没问题 1　 完全浸没：物体体积 = 水面上升部分的体积。 2　 未完全浸没：需建立方程，利用“水的体积不变”或“总体积=水+浸入部分”求解。 (4) 漏斗/沙堆模型 1　 圆锥形沙堆铺成长方体路面： 。 2　 注意单位换算（如厘米转米）。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 一个圆柱的底面半径是3厘米，高是5厘米，求它的体积和表面积。 【详解】 体积 (立方厘米)。 侧面积 (平方厘米)。 底面积 (平方厘米)。 表面积 (平方厘米)。 【答案】体积141.3立方厘米，表面积150.72平方厘米。 2. 一个圆锥的底面直径是10厘米，高是12厘米，求它的体积。 【详解】 半径 (厘米)。 体积 。 先算 ，则 (立方厘米)。 【答案】314立方厘米。 3. 等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是27立方分米，圆锥的体积是多少？ 【详解】 根据等底等高关系， 。 所以 (立方分米)。 【答案】9立方分米。 4. 等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是48立方厘米，求圆柱和圆锥的体积各是多少？ 【详解】 设圆锥体积为 ，则圆柱体积为 。 。 圆柱体积 (立方厘米)。 【答案】圆柱36立方厘米，圆锥12立方厘米。 5. 一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是12立方厘米，求原圆柱的体积。 【详解】 最大的圆锥即等底等高。 ，削去部分 。 。 (立方厘米)。 【答案】18立方厘米。 【进阶提升篇】 6. 一个圆柱的高增加2厘米，表面积就增加12.56平方厘米，求这个圆柱的底面半径。 【详解】 高增加，底面积不变，增加的表面积即为增加的侧面积。 。 (厘米)。 【答案】1厘米。 7. 把一根长2米的圆柱形木料锯成3段小圆柱，表面积增加了12.56平方分米，求这根木料原来的体积。 【详解】 锯成3段需要锯2刀，每刀增加2个底面，共增加4个底面。 (平方分米)。 长 米 分米。 体积 (立方分米)。 【答案】62.8立方分米。 8. 一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是2米。如果每立方米沙重1.5吨，这堆沙重多少吨？ 【详解】 半径 (米)。 体积 (立方米)。 重量 (吨)。 【答案】28.26吨。 9. 将一个直角三角形两条直角边分别为3厘米和4厘米，以3厘米的直角边为轴旋转一周，得到的立体图形体积是多少？ 【详解】 以3厘米为轴，则高 ，底面半径 。得到的是圆锥。 (立方厘米)。 【答案】50.24立方厘米。 10. 一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等。如果圆柱的高是6厘米，那么圆锥的高是多少？ 【详解】 由 且 ，可得 ，即 。 (厘米)。 【答案】18厘米。 【思维拓展篇】 11. 一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米，这个圆柱体的底面半径是多少？体积减少了多少？ 【详解】 减少的表面积是侧面积的一部分： 。 (厘米)。 体积减少量 (立方厘米)。 【答案】半径5厘米，体积减少235.5立方厘米。 12. 把一个棱长是6分米的正方体木块切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少？削去部分的体积是多少？ 【详解】 最大圆柱：底面直径 ，半径 ，高 。 (立方分米)。 正方体体积 (立方分米)。 削去部分 (立方分米)。 【答案】圆柱体积169.56立方分米，削去46.44立方分米。 13. 一个圆锥形容器，底面半径是10厘米，高是15厘米，里面装满水。将水倒入一个底面半径是5厘米的圆柱形容器中，水深多少厘米？ 【详解】 水的体积不变。 (立方厘米)。 圆柱底面积 (平方厘米)。 水深 (厘米)。 【答案】20厘米。 14. 一个圆柱的底面半径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的一半，它的体积变为原来的几倍？ 【详解】 设原半径 ，原高 ，原体积 。 新半径 ，新高 。 新体积 。 【答案】2倍。 15. 如图（文字描述），一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是10厘米，瓶里酒深15厘米。把瓶口塞紧后倒立，酒深25厘米。求酒瓶的容积。 【详解】 这是一个经典的“等积变形”问题。 正放时，酒的体积 。 倒放时，酒深25厘米，说明空余部分高度为 厘米。这部分空余空间在倒立时位于瓶底（现在是顶部），其形状是一个高为5厘米的圆柱（因为瓶底是平的圆柱形）。 所以， 。 酒瓶总容积 。 (立方厘米) = 1570毫升。 【答案】1570立方厘米（或毫升）。 【综合挑战篇】 16. 一个圆柱形水桶，底面半径20厘米，高50厘米。桶内水面高30厘米。放入一个底面半径10厘米的圆锥形铁块（完全浸没），水面上升了2厘米。求圆锥形铁块的高。 【详解】 水面上升体积 = 圆锥体积。 (立方厘米)。 。 。 (厘米)。 【答案】24厘米。 17. 有两个底面半径相等的圆柱，高的比是3:5。第一个圆柱的体积是48立方厘米，第二个圆柱的体积比第一个多多少？ 【详解】 底面积相等，体积比等于高之比。 。 ，则每一份为 。 (立方厘米)。 差值 (立方厘米)。 【答案】32立方厘米。 18. 一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1:6。如果圆锥的高是4.2厘米，圆柱的高是多少？ 【详解】 。 。 (厘米)。 【答案】8.4厘米。 19.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，边长是12.56厘米。求这个圆柱的体积。 【详解】 侧面展开是正方形，说明 厘米。 (厘米)。 (立方厘米)。 【答案】157.7536立方厘米。 20. 甲、乙两个圆柱体容器，底面积之比为4:3，甲容器中水深7厘米，乙容器中水深3厘米。往两个容器中注入同样多的水，直到水深相等。此时水深多少厘米？ 【详解】 设注入水的体积为 ，最终水深为 。 甲容器底面积 ，乙容器底面积 。 甲中注入水的体积： 。 乙中注入水的体积： 。 因为注入水量相同： 。 消去 ： 。 。 。 (厘米)。 【答案】19厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：圆柱与圆锥的应用 【知识点梳理】 1. 基本公式回顾 (1) 圆柱 1　 侧面积： （ 为底面周长， 为高） 2　 表面积： 3　 体积： (2) 圆锥 1　 侧面积： （ 为母线长，小升初较少直接考侧面积公式，多考展开图扇形关系） 2　 体积： 2. 核心比例关系（解题关键） 在奥数应用中，直接代入数值计算往往繁琐，利用比例法能大幅简化运算。 (1) 等高模型： 若圆柱与圆锥底面积相等、高相等，则： (2) 等底模型： 若圆柱与圆锥底面积相等，体积也相等，则： (3) 等高等体积模型： 若圆柱与圆锥高相等，体积也相等，则： (4) 一般比例推导： 3. 常见经典模型 (1) 旋转体模型 1　 矩形旋转：长方形以长为轴旋转一周得到圆柱；以宽为轴旋转一周得到另一个圆柱。 2　 三角形旋转：直角三角形以直角边为轴旋转一周得到圆锥。 3　 注意：旋转轴不同，生成的立体图形半径和高互换，体积可能不同。 (2) 切割与拼接模型 1　 横切：平行于底面切割，增加两个底面积。每切一刀，表面积增加 。 2　 纵切：沿直径垂直于底面切割，增加两个长方形截面。每个截面面积为 （圆柱）或三角形（圆锥，需具体分析）。 3　 拼合：将圆柱底面分成若干扇形，切开拼成近似长方体。 体积不变。 表面积增加：增加了两个侧面，面积为 。 (3) 排水法与浸没问题 1　 完全浸没：物体体积 = 水面上升部分的体积。 2　 未完全浸没：需建立方程，利用“水的体积不变”或“总体积=水+浸入部分”求解。 (4) 漏斗/沙堆模型 1　 圆锥形沙堆铺成长方体路面： 。 2　 注意单位换算（如厘米转米）。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 一个圆柱的底面半径是3厘米，高是5厘米，求它的体积和表面积。 2. 一个圆锥的底面直径是10厘米，高是12厘米，求它的体积。 3. 等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是27立方分米，圆锥的体积是多少？ 4. 等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是48立方厘米，求圆柱和圆锥的体积各是多少？ 5. 一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是12立方厘米，求原圆柱的体积。 【进阶提升篇】 6. 一个圆柱的高增加2厘米，表面积就增加12.56平方厘米，求这个圆柱的底面半径。 7. 把一根长2米的圆柱形木料锯成3段小圆柱，表面积增加了12.56平方分米，求这根木料原来的体积。 8. 一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是2米。如果每立方米沙重1.5吨，这堆沙重多少吨？ 9. 将一个直角三角形两条直角边分别为3厘米和4厘米，以3厘米的直角边为轴旋转一周，得到的立体图形体积是多少？ 10. 一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等。如果圆柱的高是6厘米，那么圆锥的高是多少？ 【思维拓展篇】 11. 一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米，这个圆柱体的底面半径是多少？体积减少了多少？ 12. 把一个棱长是6分米的正方体木块切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少？削去部分的体积是多少？ 13. 一个圆锥形容器，底面半径是10厘米，高是15厘米，里面装满水。将水倒入一个底面半径是5厘米的圆柱形容器中，水深多少厘米？ 14. 一个圆柱的底面半径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的一半，它的体积变为原来的几倍？ 15. 如图（文字描述），一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是10厘米，瓶里酒深15厘米。把瓶口塞紧后倒立，酒深25厘米。求酒瓶的容积。 【综合挑战篇】 16. 一个圆柱形水桶，底面半径20厘米，高50厘米。桶内水面高30厘米。放入一个底面半径10厘米的圆锥形铁块（完全浸没），水面上升了2厘米。求圆锥形铁块的高。 17. 有两个底面半径相等的圆柱，高的比是3:5。第一个圆柱的体积是48立方厘米，第二个圆柱的体积比第一个多多少？ 18. 一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1:6。如果圆锥的高是4.2厘米，圆柱的高是多少？ 19.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，边长是12.56厘米。求这个圆柱的体积。 20. 甲、乙两个圆柱体容器，底面积之比为4:3，甲容器中水深7厘米，乙容器中水深3厘米。往两个容器中注入同样多的水，直到水深相等。此时水深多少厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $