小升初思维拓展：圆柱和圆锥（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初思维拓展：圆柱和圆锥 1．把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？ 2．一个圆柱形水桶，若将高改为原来的一半，底面直径为原来的2倍，可装水40千克，那么原来的水桶可装水多少千克？ 3．如图，等腰梯形上底为6cm，下底为12cm，高为3cm，现在沿上下底中点线旋转一周得到一个立体图形，求立体图形的体积。 4．如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为厘米，则薄膜展开后的面积是多少平方米？ 5．把一个底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径分成相同的两块，表面积增加了100平方厘米．求这个圆柱体的体积． 6．一机器零件的形状、尺寸如图所示，求它的表面积。（单位：厘米） 7．从图样上剪下半径为30厘米的扇形，做成一个圆锥．圆锥的底面直径是20厘米． （1）求剪下的扇形的圆心角． （2）求圆锥的表面积． 8．如图，是直角三角形，、的长分别是3和4．将绕旋转一周，求扫出的立体图形的体积．() 9．小贝有一块长18厘米，宽16厘米，高14厘米的长方体铁块。他希望把长方体铁块切割成圆柱体。该圆柱体的最大可能体积是多少立方厘米？（取） 10．一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米。其内有一些水，正放时水面离容器顶厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 11．已知圆柱体的高是厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了平方厘米，求圆柱体的体积．() 12．有一个粮仓，它的上面是圆锥体，下面是圆柱体（如图所示）．已知圆柱的底面周长是18.84米，高4米，圆锥的高是0.9米，求这个粮仓的体积是多少立方米？ 13．如图所示，壁虎在一座油罐的下底边A处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的B处有一只害虫，壁虎决定捕捉这只害虫．为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．请问：壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？ 14．A和B都是高度为12分米的圆柱形容器，底面半径分别为1分米和2分米，现有一水龙头单独向A注水，1分钟可注满。现在将两容器在它们的高度的一半处用一根细管连通（连通管的容积忽略不计）仍用该水龙头向A中注水。 （1）2分钟时容器A中的水有多高？ （2）3分钟时容器A中的水有多高？ 15．把一块长18.84厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体钢锭和一块底面直径是8厘米，高25厘米的圆柱形钢块，熔铸成一个底面半径为8厘米的圆锥形钢块，这个圆锥形钢块的高是多少厘米？ 16．一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？ 17．如图所示，一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱，在它的中间依次向下挖去半径分别为3厘米、2厘米，高分别为2厘米、1厘米的圆柱，最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 18．一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大，则这个圆柱体木棒的侧面积是多少．(取) 19．如图，直角三角形如果以边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为，以边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为，那么如果以为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ 20．有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中．钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米．这段钢材有多长？ 21．把一块长为15.8厘米，宽为8.4厘米，高为6厘米的长方体铝块和一块底面积直径为8.4厘米，高10厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为10厘米的圆锥形铝块，求这块圆锥形铝块的高是多少厘米？ 22．一个圆锥形容器高24厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的圆柱形容器中，水面高多少厘米？ 23．如图是个柱体，高是20厘米，底面是一个半径为10厘米，圆心角为270°的扇形，求这个柱体的表面积和体积。 24．把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？ 25．将一个棱长为20厘米的正方体，削成一个圆柱体，并且要使圆柱体的体积最大，则削去部分的体积是 立方厘米． 26．如图，是矩形，，，对角线、相交．、分别是与的中点，图中的阴影部分以为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(取3) 27．如下图所示，皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中，皮球直径为10cm，水桶底面直径为40cm，小球有的体积浸在水中，问小球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米（π＝3）。 28．如下图：用一张长82.8厘米、宽10厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁皮厚度不计）． 29．如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积。 30．有一块棱长分别为6dm、8dm、10dm的长方体木块，把它切割成体积尽可能大的圆锥体木块．求这个圆锥体木块的体积？ 31．有一个高8厘米，容量为50毫升的圆形容器，里面装满了水，现把长16厘米的圆柱垂直放入，使的底和的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把从拿走后，中的水的高度只有6厘米，求圆柱体的体积是多少？ 32．一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是厘米，水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？ 33．一个底面周长为9.42厘米的圆柱体，从正中间斜着截去一段后，剩下的立体图形如图所示。请问，截后的体积是多少？ 34．已知直角三角形的三条边长分别为，，，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(取) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．25.12 【详解】沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为厘米，底面半径为厘米，所以原来的圆柱体的体积是(立方厘米)． 2．20千克 【分析】利用圆柱的体积V=πr2h，可以求出改造后这桶水的容积积与原来这桶水的容积之间的关系，依此就能求出原来可装水的重量． 【详解】解：40÷22×2 =40÷4×2 =20（千克） 答：原来可装水20千克． 3．63立方厘米 【分析】根据题意，观察图形可知旋转体为一个圆柱台子，无法直接求出其体积。根据等腰梯形45度角，可考虑将两腰延长形成等腰三角形，经过旋转可知原图形旋转体的体积可由大圆锥体积－延长圆锥的体积。根据体积公式计算即可。 【详解】（立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 4．65.94平方米 【详解】缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：(立方厘米)，薄膜展开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为厘米，所以薄膜展开后的面积为 平方厘米平方米． 另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积． 由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为(平方厘米)，展开后为一个长方形，宽为厘米，所以长为厘米，所以展开后薄膜的面积为平方厘米平方米． 5．392.5立方厘米 【分析】要求圆柱的体积，已知底面半径为10÷2=5厘米，还需要求得圆柱的高；根据题干把一个圆柱沿底面直径切开，分成两个相等的半圆柱，表面积增加部分就是以这个圆柱的底面直径和圆柱的高为边长的两个长方形的面积，由此利用长方形的面积公式即可求得圆柱的高，代入圆柱的体积公式即可解决问题． 【详解】解：圆柱的高为：100÷2÷10 =50÷10 =5（厘米） 所以圆柱的体积为：3.14×（10÷2）2×5 =3.14×25×5 =392.5（立方厘米） 答：原来这个圆柱的体积是392.5立方厘米． 6．110.91平方厘米 【分析】机器零件的表面积＝上下面2个个圆环的面积＋2个长6厘米宽1厘米的长方形面积个半径为2厘米圆柱的侧面积个半径为1厘米圆柱的侧面积，依此代入数据计算即可求解。 【详解】1＋1＝2（厘米） 3.14×（22－12）×2＋6×1×23.14×2×2×63.14×1×2×6 3.14×3×2＋12＋3.14×18＋3.14×9 ＝3.14×4.5＋3.14×18＋3.14×9＋12 ＝3.14×31.5＋12 ＝98.91＋12 ＝110.91（平方厘米） 答：它的表面积是110.91平方厘米。 7．（1）120°      （2）1256平方厘米 【详解】设扇形的圆心角为n，则扇形的弧长为；这弧长恰为圆锥的底面周长，从而，解得n=120°． ． 答：扇形的圆心角是120°，圆锥的表面积是1256平方厘米． 8．37.68 【详解】如右上图所示，扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为3，高为4， 体积为：． 9．2816立方厘米 【分析】根据题意会有三种情况，分别以长、宽、高当做圆柱体的高时，此时只需底面圆取最大即可。分别求出此时做大的圆柱体体积对比即可。 【详解】①当高是18厘米时 （14÷2）2×π×18 ＝4918 ＝2772（立方厘米） ②当高是16厘米时 （14÷2）2×π×16 ＝4916 ＝2464（立方厘米） ③当高是14厘米时 （16÷2）2×π×14 ＝6414 ＝2816（立方厘米） 2464＜2772＜2816 答：圆柱体的最大可能体积是2816立方厘米。 10．1620立方厘米 【分析】根据题意，设圆锥的高为h厘米，水体积是v立方厘米。根据正放时和倒放时的体积不变，可得关于h的方程，求得圆锥体的高，再根据容器的容积＝圆柱体的容积＋圆锥体的容积列式计算即可求解。 【详解】解：设圆锥的高为h厘米，水体积是v立方厘米。 正放时水体积： 倒放时水体积： 则： 容器的容积为： ＝ ＝1296＋324 ＝1620（立方厘米） 答：这个容器的容积是1620立方厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱和圆锥的体积的计算方法，关键是明白：容器的容积＝圆柱体的容积＋圆锥体的容积。 11．30 【详解】圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的纵切面，长方形的长等于圆柱体的高为10厘米，宽为圆柱底面的直径，设为，则，(厘米)．圆柱体积为：(立方厘米)． 12．121.518立方米 【分析】一般思路是将这个粮仓上下两部分的体积算出来，再求总的体积；但考虑到圆柱和圆锥的底面积相等，所以可以将圆锥折合成等体积等底面积的圆柱． 【详解】解法一：圆柱或圆锥底面的半径为18.84÷3.14÷2=3(米) 从而圆柱的体积为 圆锥的体积为 从而粮仓的体积为113.04+8.478=121.518(立方米) 解法二：在保证底面积不变的前提下，将圆锥体转化成圆柱体，为了保持体积不变，新的圆柱体的高应当为圆锥体高的，即0.3米，从而新的粮仓成为高为4+0.3=4.3（米）的圆柱体，并且与原粮仓的体积相等． 圆柱的底面半径为18.84÷3.14÷2=3（米） 从而原粮仓的体积=新粮仓的体积= 答：这个粮仓的体积是121.518立方米． 13．13米 【分析】为了找到最短路线，我们可以把圆柱的侧面沿AB剪开，展成一个平面（如图5b所示），在一个平面上两点间以直线段距离最短，因此连接AB，即为最短路线． 【详解】将圆柱的侧面沿AB剪开，展成如图5b）所示的平面，连接AB即为最短路线，并且BC=5米， 答：壁虎至少要爬行13米才能抓到害虫． 14．（1）6分米 （2）7.2分米 【分析】当注水量小于总容量的一半时，A中的水位高是12分米的一半；当注水量大于总容量的一半时，A中的水位高是体积除以底面积之和。 【详解】容器A的体积＝12×π×12＝12π（升） 容器B的体积＝2×2×π×12＝48π（升） 共12π＋48π＝60π（升） 一半60π÷2＝30π（升） （1）2分钟注入水12π×2＝24π，小于30π，所以A中的水为6分米 （2）3分钟注水12π×3＝36π，大于30π，水高h＝36π÷（π＋4π）＝7.2（分米） 答：（1）2分钟时容器A中的水有6分米高。（2）3分钟时容器A中的水有7.2分米高。 15．24.375厘米 【分析】要求圆锥的高，必须知道圆锥的体积和底面积，而题中的圆锥是两个不同形体的几何体熔铸而成的，所以这个圆锥的体积等于长方体体积与圆柱体积的和． 【详解】解：设圆锥的高为x厘米． ×（3.14×82×x）=18.84×5×4＋3.14×（8÷2）2×25 x=24.375 答：这个圆锥形钢块高是24.375厘米． 16．182.8736 【详解】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短厘米，表面积就减少平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是平方厘米，所以底面周长是(厘米)，侧面积是：(平方厘米)，两个底面积是：(平方厘米)．所以表面积为：(平方厘米)． 17．251.2平方厘米 【分析】要求最后得到的立体图形表面积是多少，认真观察，不难发现即求圆柱原来的表面积和挖出的3个小圆柱的侧面积的和（那一圈一圈的表面面积计算可以把它看成是从下往上一压缩，就是原来圆柱体的上底的面积）；根据“圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2”和“圆柱的侧面积＝底面周长×高＝2πrh”解答即可。 【详解】大圆柱表面积：2×3.14×4×4＋3.14×42×2 ＝100.48＋100.48 ＝200.96（平方厘米） 200.96＋2×3.14×3×2＋2×3.14×2×1 ＝200.96＋37.68＋12.56 ＝251.2（平方厘米） 答：最后得到的立体图形表面积是251.2平方厘米。 18．3152.56平方厘米 【详解】根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面． 设圆柱体底面半径为，高为，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大： ，所以，所以，圆柱体侧面积为： ． 19．9.6π 【详解】设，，那么以边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为，以边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为，由此可得到两条等式： ，两条等式相除得到，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到，根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度为，那么斜边上的高为． 如果以为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为，高的和为5，所以体积是． 20．96 【详解】根据题意可知，圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底面半径是水桶底面半径的，即，钢材底面积就是水桶底面积的．根据体积一定，圆柱体的底面积与高成反比例可知，钢材的长是水面下降高度的16倍． 6÷()=96(厘米)，(法2)：3．14×20×6÷(3．14×5)=96(厘米)． 21．12.90厘米 【分析】要想求出圆锥体的高，必须确定它的体积，而圆锥体是用两个不同形状的几何体熔铸而成的，故圆锥体的体积就等于长方体的体积加上圆柱体的体积． 【详解】长方体的体积为15.8×8.4×6=796.32（立方厘米） 圆柱体的体积为（立方厘米） 设圆锥体的高为x厘米，则圆锥体的体积为（立方厘米） 根据题意，圆锥体积等于长方体体积与圆锥体体积之和，列方程可得 即104.64x=1350.22 从而x=12.90（厘米） 答：这块圆锥体铝块的高是12.90厘米． 【点睛】抓住其中的不变量：总体积． 22．8 【详解】设圆锥形容器底面积为，圆柱体内水面的高为，根据题意有：，可得厘米． 23．表面积为1813平方厘米，体积为4710立方厘米 【分析】底面圆心角是一个270°的扇形，用270°除以360°可以先求出这个扇形占圆的。根据圆柱的体积公式“圆柱的体积＝底面积×高”先求出完整圆柱的体积，然后乘即可求出这个柱体的体积。 这个柱体的表面积包括了上下两个圆、完整圆柱侧面积的、两个长方形，依次求出每部分的面积然后相加即可求出这个柱体的表面积。 【详解】 表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：这个柱体的表面积为1813平方厘米，体积为4710立方厘米。 24．25.12 【详解】沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为厘米，底面半径为厘米，所以原来的圆柱体的体积是(立方厘米)． 25．1720 【详解】显然，只有当圆柱体的底面直径和高均为20厘米时，圆柱体的体积最大，削去部分的体积设为V，则有 即削去部分的体积为1720立方厘米． 26．180 【详解】扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形． 两个圆锥的体积之和为(立方厘米)； 圆柱的体积为(立方厘米)， 所以白色部分扫出的体积为(立方厘米)． 27．厘米 【分析】根据球体的体积πr3求出皮球的体积，再除以4就是浸在水中的球的体积，水面上升的体积等于浸在水中的球的体积，用水面上升的体积除以圆柱形水桶的底面积即可解答。 【详解】小球浸在水中部分的体积： ＝4×125÷4 ＝125（立方厘米） 40÷2＝20（厘米） 125÷（3×202） ＝125÷1200 （厘米） 答：水桶的水面升高厘米。 28．1570立方厘米 【分析】由题意可知：在长方形上剪一个最大的圆，圆的直径应该是10厘米，把剩下的铁皮分成两块，把两块上下对接，围成的圆柱的高是20厘米．根据圆的面积计算公式S=πr2，算出圆的底面积，再根据圆柱的体积V=sh，算出圆柱的体积即可． 【详解】解：3.14×（10÷2）2×10×2 =3.14×25×20 =78.5×20 =1570（立方厘米） 答：这个铁皮水桶的容积是1570立方厘米． 29．24π；668.64 【详解】（1）先求表面积，表面积可分为外侧表面积和内侧表面积。 外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个直径4厘米的圆，所以，外侧表面积为：(平方厘米)； 内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为： (平方厘米)， 所以，总表面积为：(平方厘米)。 （2）再求体积，计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，用原立方体的体积减去这个体积即可。 挖出的几何体体积为：(立方厘米)； 所求几何体体积为：(立方厘米)。 30．100.48立方分米 【分析】根据长方体切割出最大圆锥的特点可知，有3种切割方法：（1）以8分米为底面直径，以6分米为圆锥高；（2）以6分米为底面直径，10分米为高；（3）以6分米为底面直径，8分米为高；由此利用圆锥的体积公式计算出它们各自的体积，即可求得这个圆锥的最大体积是多少． 【详解】解：（1）以8分米为底面直径，以6分米为圆锥高； 体积为：3.14×（）2×6× =3.14×16×2 =100.48（立方分米） （2）以6分米为底面直径，10分米为高； 3.14×（）2×10× =3.14×3×10 =94.2（立方分米） （3）以6分米为底面直径，8分米为高； 3.14×（）2×8× =3.14×3×8 =75.36（立方分米） 答：这个最大圆锥的体积是100.48立方分米． 31．25立方厘米 【分析】当把长16厘米的圆柱垂直放入容器时，从容器中溢出的水的体积，就是放入容器的高为8厘米的圆柱的体积，然后再求出整个圆柱体的体积。 【详解】（平方厘米）； ， ， （毫升）； ， ， （立方厘米）； 答：圆柱体的体积是25立方厘米。 32．10 【详解】根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度． (法1)：(厘米)； (法2)：设水面上升了厘米．根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：，解得：，(厘米)． 33．49.455立方厘米 【分析】观察图形可知，先求出这个图形的底面半径是9.42÷3.14÷2＝1.5（厘米）；则这个图形的体积是底面半径为1.5厘米、高为6厘米的圆柱的体积与高为6－4＝2（厘米）的圆柱的体积的一半之和，由此利用圆柱的体积公式即可解答。 【详解】9.42÷3.14÷2＝1.5（厘米） 3.14×1.52×6＋3.14×1.52×（8－6）÷2 ＝42.39＋7.065 ＝49.455（立方厘米） 答：截后的体积是49.455立方厘米。 34．30.144 【详解】以的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是，高是的圆锥体，体积为 以的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是，高是的圆锥体，体积为 以的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高的两个圆锥，高之和是的两个圆的组合体，体积为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $