精品解析：山东德州市庆云县2025-2026学年下学期九年级中考一模数学试题

2025-2026学年九年级数学试题 2026年4月 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数：2，，，，其中最小的数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 根据负数小于正数,比较负数即可. 【详解】解：， 最小的数是： 故选：B 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 3. 年月，我国紧凑型聚变能实验装置建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段该项目总投资约万元，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为， 故选：A． 4. 如图是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题干几何体的特征可知，俯视图为B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式．根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式求得，然后根据三角形中线的性质得到即可． 【详解】解：，， ， 是边上的中线， ． 7. 如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 8. 2026年马年吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，组委会制作了背面完全相同的4张卡片，正面分别印有这四个吉祥物名称．现将卡片洗匀后背面朝上放置，随机抽取1张记下名称后放回，再随机抽取1张，两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字（即“驰驰”）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图可得出所有等可能的结果数以及两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”分别编号为， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字的结果有7种， 两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字的概率为． 故选：B． 9. 公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓“割圆术”，是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，间接求出圆面积和周长的方法．如图，在半径为2的圆内作两个正方形，得到一个正八边形，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，设，则 ，构建关于的方程即可求出结论． 【详解】解：如图，连接，， 正八边形把圆分成了等分， 根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等， 可得, , , , 设，则 . 由对称性可知四个阴影部分是全等的等腰直角三角形， 等腰直角三角形，， ， ， ， 阴影部分的面积 ． 10. 如图，在直角坐标系中，四边形为正方形，且边与轴交于点，反比例函数的图像经过点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设BM=a则CM=2a,作BH⊥y轴,AD⊥x轴,证明△OMC∽△BMH,利用三边对应成比例可求BH=,再借助求出a的值,从而求出△OMC的三边长,证明△OMC∽△OAD,求出OD、AD的值，再求出k得值． 【详解】设BM=a则CM=2a, ∴CB=CO=OA=3a, 作BH⊥y轴,AD⊥x轴 ∵∠C＝∠BHM=90°,∠CMO=∠HMB ∴△OMC∽△BMH ∴ 即 ∴HB= ∵ ∴ ∴ 解得: ∵∠COM+∠MOA=∠MOA+∠AOD ∴∠COM=∠AOD ∵∠C=∠ADO=90° ∴△OCM∽△ODA ∴ 即 ∴k=OD×AD= 故答案选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定以及反比例函数解析式的确定，其中相似三角形的性质及判定是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 12. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】如图，先标注点与角，由对折可得：，求解，利用，从而可得答案． 【详解】解：如图，先标注点与角， 由对折可得：， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是折叠的性质，平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解本题的关键． 13. 不等式组的所有整数解的和为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组，求不等式组的整数解，是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集和整数解，即得． 【详解】， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的解集为：， 整数解为：3、4， 其和为：7， 故答案为：7． 14. 如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．行驶过程中，两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图，当乙车出发追上甲车时，乙车行驶了________小时． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数图象和一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图像中的数据，得到，两城两城的距离，求得乙车的速度，甲车速度，再根据甲、乙两车行驶的路程相等列方程求解即可． 【详解】解：由图像可得，，两城两城相距千米． 乙车从城出发匀速行驶至城所需的时间为：（小时）， ∴乙车的速度为：（千米/小时）． 甲车从城出发匀速行驶至城所需的时间为小时， ∴甲车的速度为：（千米/小时）， 设乙车出发追上甲车时，乙车行驶了小时， ∴， 解得：， 即乙车出发追上甲车时，乙车行驶了小时， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，……均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，，，根据这个规律，点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角坐标系中的点的特征，坐标系中点的规律，由，…，得下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，由，所以的坐标在第二象限，然后通过下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，故在第四象限的角平分线上，，得,由图形可得，，即可求解． 【详解】解：∵，…， ∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴在第二象限， ∵下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，故在第四象限的角平分线上，， ∴, 由图形可得，， 故答案为：． 三、大题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算． （1）计算 （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适当的数代入求值． 【答案】（1） （2），当时，原式等于；当时，原式等于 0 【解析】 【分析】本题主要考查实数混合运算和分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． （1）先计算算术平方根、负整数指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将符合条件的的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， ， ∴不能取1和， 或2， 当时，原式等于；当时，原式等于 0 ． 17. “松茸云岭玉盘中，香透千山诱客瞳．毒影暗藏欢宴里，胭脂红处是惊风．”野生菌虽美味，但也要注意食用安全．为增强学生食用野生菌的安全意识，某校甲、乙两班联合举办了“野生菌知识竞赛”，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生的成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56，75． 【整理数据】将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制折线统计图如下： 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 82.25 80 乙班 82.25 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：______，______，____（填“”“”或“”）； （2）你认为哪个班成绩比较好，并说明理由（写出一条即可）； （3）甲班有学生52人，乙班有学生48人，按竞赛规定；80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）84，80， （2）乙班成绩比较好；理由：甲乙两班平均数相同，但乙班中位数比甲班高 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了统计图与统计表，求中位数、众数与根据数据的波动程度比较方差，样本估计总体等知识，掌握这些知识是关键． （1）按照求中位数与众数的方法进行即可；根据两个班抽取学生成绩的波动程度可判断方差的大小； （2）从中位数考虑或方差考虑即可； （3）样本估计总体，求出甲班优秀人数与乙班优秀人数的和即可． 【小问1详解】 解：将乙班学生成绩按高低排列，第4、5两个数分别为85、83，则； 甲班抽取的学生成绩中，80分出现的次数最多，则； 由折线统计图知，甲班的成绩波动程度小于乙班，则； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：乙班成绩比较好，理由：甲乙两班平均数相同，但乙班中位数比甲班高； 【小问3详解】 解：（人）， 答：这两个班获奖的总人数大约是人． 18. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 19. 如图1，一扇推拉式窗户，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点M处，另一端点N在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变．窗户打开一定角度后，即与构成一个旋转角，其侧视图如图2所示，窗户旋转角的大小控制在一定范围内（），其中． （1）如图3，窗户旋转角时，测得，求此时和的长（结果保留根号）； （2）在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角从继续增大，旋转到点M，N的对应点分别为点，，时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）先证明，再利用三角函数的意义进行计算即可； （2）如图3中，作交的延长线于点，解直角三角形得出是，进一步相减可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可得：窗户旋转角时，测得， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图3中，作交的延长线于点， 在中，， ， ∴， ， 在中，， ． ∴ ∴端点N在此过程中滑动的长度为：． 20. 为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． （1）求甲、乙两种花卉每株的价格； （2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 【答案】（1）甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． （2）购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确列出分式方程、一元一次不等式组、一次函数关系式成为解题的关键． （1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为元，根据购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株，列出分式方程求解即可； （2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，根据总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元，列出一元一次不等式组，解得，得出购买这两种花卉有6种方案，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． 【小问2详解】 解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株， 由题意得：，解得：， ∵m为正整数， ∴， ∴购买这两种花卉有6种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：， ∵， ∴y随m的增大而减小， ∴当时，y有最小值． 答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 21. 如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点． （1）求证：平分； （2）若，请判断和的数量关系．并证明结论； （3）在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积_________． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 直线是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2） 解：，证明： 直线是的切线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）证明是等边三角形，得出，由直角三角形的性质可得出结论； （3）由（2）得，，由勾股定理求出的长，由三角形的面积及扇形的面积可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得，， 半径为1， ， ， 图中阴影部分面积． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）0， （2）①4；②且 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； 【小问2详解】 ①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 23. 【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略． 【问题情境】 如图1，在正方形中，、，分别是，，上的点，于点．求证：小明在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法1：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 方法2：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 【尝试应用】 （1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明； （2）如图2，正方形网格中，点，，，为格点，交于点则：的值为_________； （3）如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：方法1：平移线段至交于点，如图， 由平移的性质得， 四边形是正方形， ，°，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 方法2：平移线段至交于点，如图， 则四边形是矩形，， ，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）方法1：平移线段至交于点，证明四边形是平行四边形，得出，再证明，即可得出结论； 方法2：平移线段至交于点，则四边形是矩形，再证明，即可得出结论； （2）将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，设正方形网格的边长为单位1，由勾股定理求得，，，得出，则，由即可得出结果； （3）①平移线段至处，连接，由证得 ，得出，，证明 ，得出 ，即可得出结果； ②证明，得出即可求解． 【小问1详解】 (1)略 【小问2详解】 解：将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图， ， 设正方形网格中小正方形的边长为单位1， 则，，，，，， 由勾股定理可得，，，， ， 即， 为直角三角形，， ； 【小问3详解】 解：①平移线段至处，连接，如图， 则，四边形是平行四边形， ， 四边形与四边形都是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ； ②如图， 为正方形的对角线，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学试题 2026年4月 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数：2，，，，其中最小的数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 年月，我国紧凑型聚变能实验装置建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段该项目总投资约万元，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 8. 2026年马年吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，组委会制作了背面完全相同的4张卡片，正面分别印有这四个吉祥物名称．现将卡片洗匀后背面朝上放置，随机抽取1张记下名称后放回，再随机抽取1张，两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字（即“驰驰”）的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓“割圆术”，是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，间接求出圆面积和周长的方法．如图，在半径为2的圆内作两个正方形，得到一个正八边形，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直角坐标系中，四边形为正方形，且边与轴交于点，反比例函数的图像经过点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 因式分解=______． 12. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为________． 13. 不等式组的所有整数解的和为_______． 14. 如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．行驶过程中，两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图，当乙车出发追上甲车时，乙车行驶了________小时． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，……均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，，，根据这个规律，点的坐标为___________． 三、大题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算． （1）计算 （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适当的数代入求值． 17. “松茸云岭玉盘中，香透千山诱客瞳．毒影暗藏欢宴里，胭脂红处是惊风．”野生菌虽美味，但也要注意食用安全．为增强学生食用野生菌的安全意识，某校甲、乙两班联合举办了“野生菌知识竞赛”，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生的成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56，75． 【整理数据】将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制折线统计图如下： 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 82.25 80 乙班 82.25 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：______，______，____（填“”“”或“”）； （2）你认为哪个班成绩比较好，并说明理由（写出一条即可）； （3）甲班有学生52人，乙班有学生48人，按竞赛规定；80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班获奖的总人数是多少？ 18. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 19. 如图1，一扇推拉式窗户，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点M处，另一端点N在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变．窗户打开一定角度后，即与构成一个旋转角，其侧视图如图2所示，窗户旋转角的大小控制在一定范围内（），其中． （1）如图3，窗户旋转角时，测得，求此时和的长（结果保留根号）； （2）在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角从继续增大，旋转到点M，N的对应点分别为点，，时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，） 20. 为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． （1）求甲、乙两种花卉每株的价格； （2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 21. 如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点． （1）求证：平分； （2）若，请判断和的数量关系．并证明结论； （3）在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积_________． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 23. 【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略． 【问题情境】 如图1，在正方形中，、，分别是，，上的点，于点．求证：小明在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法1：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 方法2：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 【尝试应用】 （1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明； （2）如图2，正方形网格中，点，，，为格点，交于点则：的值为_________； （3）如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $