湖北襄阳市2026届高三下学期4月统一调研测试数学试题

**基本信息** 2026年襄阳高三数学调研卷以AI计费、超市排队等现实情境为载体，通过分层设计（如三角形条件选择、双曲线光学性质探究）考查解析几何、概率统计等核心知识，适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|抛物线准线、充要条件|第7题结合AI模型计费考查数列应用| |多选题|3/18|统计与概率、函数图像共圆|第9题综合独立事件与百分位数判断| |填空题|3/15|导数几何意义、正八面体截面|第13题以切线三角形面积考查导数应用| |解答题|5/77|解三角形、双曲线光学性质、概率模型|第19题构建收银台排队模型考查随机过程分析|

数学参考答案 一：选择题： 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 0 B 0 B ACD BCD ACD 二、填空题：(11)：(12)22：(13) 解析：1.【解析】B2.【解析】A 3.【解析】D首先统一函数名，利用诱导公式sina=cos(a-习将g(x)化为余弦形式：g(x)=2sin(2x+)= 2c0s(2x+写-)=2cos(2x-)接着处理平移，将fx)向左平移中个单位得到：y=fx+)=2cos2(x+)+周 2cos(2x+2+)对比两函数的相位，令2+管=-君+2kkE2,解得2=-号+2km,即=-名+m当k1时， 6 =;结合选项设置，故取要 4【解折日l=-2+12=V5故a=台-(（后)a在c上的投影数量为箭=学=-台投影向量为-手 5 后=一台（信=(9）故选B 5.【解析】A 6.【解析】设AB的中点为M.由题意知10A2=6,10B2=6,且0A:0B=x1x2+y1y2=3.根据点公式0M=OA+ 0B),两边平方得：10M2=(OA+0B)=(10A2+20A.0B+10B前2)代入数值：10M2=(6+2×3+ 可)=只-号所以点M的轨连是以原点0为圆心，半径r=层=兰的圆.圆心00,0到直线×y20的距离 为：d=24=2 =员=V2故线段B中点到直线的最大距离为：dnax=d+r=反+要=要故选D, 7.【解析】A设第n天使用次数为an.由题意，a1=300,an=-1+50(m之2).构造等比数列：an-200= 0-1-200,得通项公式am=200+100-③-.前n天累计消耗n=光1a=200m+100骑=200m+4011- (3”,费用不超过1元，即超出1000的部分≤1000，故总消耗Sn≤2000.当n=8时，Sg=1600+4001-(0.75)≈ 1600+400(1-0.133)=1946.8≤2000，符合.当n=9时，S,=1800+4001-0.75)≈1800+360=2160>2000，不符合. 故最多可用8天.选A 8.【解析】B 记状态1为“定义域为R”(指数型)，状态0为“定义域不为R”(对数型).初始Q0=1转移规则：若当前为状态1：概 率保持1，概率变为0.若当前为状态0：概率保持0，概率变为1.递推公式：a+1=an号+(1-an)号=子an+子计算： a1=(1)+}=子：a2=③+}=；a3=周)+}=另+》=粉故选B. 另解：每次有的概率函数类型不发生变化，有的概率指对西数互化。初始状态为指数函数，因此F,中可以3次 互化，或者1次互化。因此最终概率为P=(目+C旧导-号 9.【解析】ACD 10.【解析】BCD 对于选项A,函数y=V:的定义域为[0，+∞)，且在定义域内单调递增.该函数图像上升较为平缓，图像上没有剧烈变化 的分界点，故不可能存在某个圆与y=√：的图像有4个交点，即图像上不存在四点共圆，A不符合题意， 对于选项B,函数y=x2的图像为抛物线，关于y轴对称.不妨取x1<x2<0<-x2<-x1对应的四点 A(x1x),B(x2x),C(-x2x),D(-x1x)构成等腰梯形ABCD.由于等腰梯形的对角互补，根据圆内接四边形的判定定理， 四点共圆，故B符合题意 对于选项C,作出函数y=Ix的图像，可知当×较大时，图像陡峭地上升：当×逐渐变大时，函数图像上升且变得越来越 平缓.故只要某圆的半径足够大，必存在圆与y=lnx的图像有4个交点，C符合题意. 对于选项D,作出函数y=six的图像，其为周期函数且图像关于y轴对称.根据图像的波动性质，必存在圆与y=sinx的 图像有4个交点的情况，故D符合题意.综上所述，满足条件的选项为B、C、D. 11.【解析】ACD 对于选项A,PF,为椭圆的焦半径，其长度取值范围为[a-c,a+o],即[1,3]，故选项A正确. 对于选项B,根据矩形的对称性，设矩形在第一象限的顶点为D(2cos0V3si0),则矩形面积可表示为S,= 8,3cos0sin0=43sin(20),其最大值为43，故选项B错误. 对于选项C,设椭圆号+号=1上一点P(x。,yo),则Q=2,e=)LF1PF2的外角平分线即椭图在P处的切线l1:架+ g=1.令x=2,代入11 解得交点纵坐标y=2-地，记 2y0 该点为K2,),考察△FPF,的∠，内角平分线。点K到×轴距离d=川=3点K到直线PF,的距离 d2=+9,经计算（利用y8=3-x6及焦半径1PF1l=2+xo),可得d2=3,因d1=d2,故点K在∠F,角平 A2+B2 2yo 分线上.即∠P外角平分线与，∠F1内角平分线交点横坐标恒为2. 于选项D,F,0,设直线：x=ty+1,Mx,NK,y,由x2十4y2上12整理得32+49y+6y-9=0正 36(3t2+4)>0恒成立.由韦达定理依题意有MF1l+|MF2l+2c)r1=号×2cy1l,得2a+2c)r1=cy1l所以是× (4+2)r1=3×2y1,即T1=y1l同理可得r2=y2小.因为n=2r2,所以y1l=2y2l,又因为y1y2<0,所以y1=-2y2因 为%+为=岛所以-2+为=一品解得为岛=一鼎带入到为=品得一= ”解得t2=号所以直线m的斜率为k==故选项D正确 12.【解析】 13.【解析】e2 14.【解析】5建立空间直角坐标系，设正八面体中心0(0,0,0)，顶点A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,0, 0),E0,-1,0),F(0,0,-1).由3AF=AB得P(0)迪QD=20得Q(-30)设过0，P,0的平面法向量为n, 由nL0P且nL00解得n=(-2,1,1).该平面截正八面体所得截面为六边形，其在x0y面上的投影多边形顶，点依 次为(0)，()(0》(-0)(-子-引(0-)利用公式计算投影面积S3=设我面与x0y面夹角为日，则c0s8== l 六故藏面西积S=器-号×V6= 三、解答题： 15.【解析】(1)若选条件①，由三角形中的投影定理可知bcosC+ccosB=:a.将此式代入已知条件bcosC+ccosB=:2ac osA,可得a=2 acosA..因为a为三角形的边长，即a>0,所以等式两边同时除以a得1=2cosA,解得c0sA=→A= 若选择条件@，(a-b)((winA+sinZ)=(e-b)sinA4B→a-b)Ga6)=(c-b)c=c之cb户6cosA=“-A=号 若选择条件③，cosC+(cosB-3sinB)cosA=0→sinAsinB-cosAcosB+-cosBcosA--3 sinBcosA=0→tanA=5→A=号 …………6分 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA,,将已知数据a=V7,b=3,A=代入，得(=32+c2-2×3×c×cos号化简得 7=9+c2-3c,整理为一元二次方程c2-3c+2=0.因式分解得(c-1)(c-2)=0,解得c=1或c=2.………………9分 经检验，当c=1时，三边为1,3,7满足1+V7>3且1+3>V7,能构成三角形：当c=2时，三边为2,3,7 满足2+√7>3且2+3>√万，也能构成三角形.故c有两个解.……………………………………………10分 当0=1时，△BC的面积S-mA-x3x1×血号-号x99 。。 。。 ，……………11分 当c=2时，△BC的面积S-c血A-x3x2x咖号-3x9-当……n ……………12分 综上所述，△ABC的面积为3或35…mm………………………………m 。………13分 16.【解析】()函数f)的定义域为(1，+∞)，求导得f幻=a一中=…1分 若a≤0，因为x>-1,所以x+1>0,则f'(x)<0恒成立，此时f(x)的单调递减区间为(-1，+o∞).……………………3分 若a>0,令f'(x)=0,解得x=-1.当x∈(-1日-1)时，f'x)<0,函数单调递减；当xE(（侣-1+∞)时，f'(x)>0, 函数单调递增…………………………………………………………………………………………………6分 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(-1，+∞)；当a>0时，f(x)的单调递减区间为(-1日-1)，单调递增区间 为（-1十00）小……………………………………………………………………………………7分 (2)因为x>0.又因为a≤2，所以ax≤2x,从而f(x)=ax-ln(x+1)+1≤2x-ln(x+1)+1.要证f(x)<e×,只需证2x-ln(x 设h(x)=e*-2x+ln(x+1)-1(x)1),则h凶=ex-2+……………………………………………9分 设g(x)=h(x),则g=ex-1 ………………“………“………………“……10分 当00时，e>e中<1，所以g6W0,即h'(W在0，+o）上单调递增.所以h>h0=1-2+1=0. 因此h(x)在(0，+oo)上单调递增，故h(X)>h(0)=0.…………………………………………………………14分 所以ex2x-ln(x+1)+1≥f(x),即f(x)<e×恒成立.………………… …………15分 17.【解析】(1)因为BE/平面ACF,BEC平面PBD,且平面PBD∩平面ACF=MF,由线面平行的性质定理可知BE/M F.因为四边形ABCD为菱形，对角线互相垂直平分，故M为BD中点.……………………………………………2分 在△DBE中，M为BD中点且MF/BE,故F为DE中点.又E是PD中点，所以PF=三PD,从而三棱锥P一ACF的体积是三 棱锥P一ACD体积的子因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC.又PA=AB=2,在Rt△PAB中，PB= VPA2+AB2=2V2.同理PD=2V√2.已知PC=PB=2V2,在Rt△PAC中，AC=VPC2-PA2=V⑧-4=2.因为四边形A BCD是菱形且AB=2,AC-2,所以△ABC和△ACD均为边长为2的正三角形.故SAACD=号×2=5.三棱锥P-ACD的体积 Vp-ACD=号SACDPA=32=9所以三棱维P-ACF的体积Vp-ACP=彩p-ACD=x9=号m…………6分 (2)建立空间直角坐标系…………………………………… ………7分 由(1)知△ACD为边长为2的正三角形.以A为原点，在平面ABCD内过A作AD的垂线为X轴，AD所在直线为y轴， AP所在直线为z轴.则A(0,0,0),D(0,2,0).因为∠CAD=60°，且AC-2,故C(3,1,0).由P(0,0,2),D(0,2,0)得E 为PD中点，即E0,1,1).又F为DE中点，故F(0别)底面△AcD的外心0，即为其重心，坐标为0（停10 外接球球心G必在过0，且垂直于底而的直线上，设G(停12)……………………………………………………9分 由1GA2=1GF吧，即图+12+22=得+1-}+-，化简得1+2=汁2-z+z=-2 故球心G(气1一)”…””…”………”…………………”…"1分 向量AC=(停1-引对于平面PB,由菱形性质及C点坐标可推得B(V3-10),则丽=(002)，AB=(（5-10)设平面PA 2z=0 B的法向量n=x,y2刃，则气5X-y=0取1得n=(1v30)-m…m…m………"m…12分 设直线6A与年面PA8所成角为0，则sn9=1cosC1=品共中石n=号+5=早，G=+1+=臣 要圆=1+3=2故0=卖一智=p即直线6A与平面P8所成角的正孩值为要一15分 18.【解析】(1)因Pn在双曲线上，故满足双曲线第一定义有IP,Fl-IPxF2l‖=2a=2,则1PnF2l=1PnF±2a=浅2 由于对于任意焦半径PnF2>C-a=1,因此PnF2=……………………（未含情况扣1分)…………4分 x=my-4 ②)设P(o0,直线wwX=my-4将直线与双由线联立有2-号=1(3m2-1y-24oy45-0 24m 由韦达定理知：{ 光十y次-g1马a=驷即myy=4+2 ……………………6分 24m y1y2=3m2- y1y2 由于AP共钱杂=杂O N,P共线宁治=品…园 ……………8分 由择鼎又国为安二来国比茶=-省=路号=-得4 10分 (2)另解（依标给分）：由双曲线方程x2-号=1可知Q=1,b=V3,左右顶点分别为A1(-10),A2(1.0)设M(x,yn),N(x,y).设直线M伽的方程为 水x+40.长立直线与双曲线方程：3+)B-k径2一8k2x16k2-3=0由市达定理可得：+2毁x2=年4 ,的值：ikMw=杂品=22=5智+6+)+6-分子都分为：x+4+习+16= x1x1+1) -62-3+416B-超=织2分#部分为：xx2+6化1+x)+1=-162-整243-=器故k,wkAN=2,氯=5.又由双曲线第三定义可知 3-k2 3-k2 knkw=登=3，即k,w=尺入上式可得：品=-5端=-号设0么，因为0为直线M与的支点，所以ko= kM,M=本kQ4,=kA2N=六.代入比值关系：空=-品=-解得3x-1)5x+)→8x=-2→X=-所以0点的轨迹是一条直线，方程 为x=- (3)由于P2k(x2ky2k,P2k-1(2k-1y2k-1) 因此3k-1B=Vc2k-1-22+ik-1=V2k-1-22+3(zk-1-1)=1-2x2k-1, PFVa-22+W22-J6a-22+36a2-1=2a-1.…“ ……………………………………12分 剥将=，由湘似可得伤异=号=绿号……“14分 垫理可得x水-1==仁2同理x+1=赞，两式联立可得器=81““ ………………16分 X2-1+1 由题意知=2，则x=一持=27，则数列同，k∈N)为以27为首项，以81为公比的等比数列一……“…“17分 19.【解析】(1)记事件A为“一分钟内队列人数诚少1人”，事件B为“一分钟内队列人数增加1人”，事件C为“一分钟内队列人 数不变”.当q=时，各事件发生的概率分别为P(A)=,P(B)=,P(C)=1-2×=经过3分钟后队列人数依然为，说明这3分钟 内人数的净变化量为0.这包含以下两种互斥的情形： (i)3分钟内事件A,B,C各发生一次（即减少1次、增加1次、不变1次），其排列数为A=6,概率为P2=6× PAP(B)P(9=6X绿××2=最………………………………………………………2分 (ii)3分钟内均发生事件C(即人数一直未变)，其概率为P1=P(C=)=……………………4分 故所求概率为P=B1十P2=君计8=各。一。-一…-一5分 (2)当g=时，1-2q=0,即每分钟队列人数要么增加1人，要么减少1人，概率均为分设n分内队列人数增加的次 数为k,则减少的次数为-k.此时队列人数为n十k-(n-k)=2k…………………………………………………………·6分 记P,表示第n分钟队列人数恰为ⅰ人的概率.由于每分钟变化相互独立，增加次数k服从二项分布B(,), 即P()=C哈（份）”若最终队列人数为1，则需满足2k=i,即k=三由于k必须为整数， 故当i为奇数时概率为0：………… ·8分 当i为偶数时概率为C》… ….9分 P= ∫c(（)”，i为偶数0ss2n 所求概率为： 0, i为奇数 ………………………………………………………………………………………………………………………………10分 (3)记经过n分钟后队列人数与初始人数n的差值为Sn.由(2)可知，若设k为增加次数，则Sn=2k-几，"11分 且k一B(匀)所求教学期望为ES,=。12k-nc(份”=六。2k-nC路…13分 利用组合数对称性C炎=C贸-k及2k-nl=2(n-k)-nl,分情况讨论： ()当n为偶数时，设nm=2n.码2k-2mC=2+1令jkm,则求和式变为4∑公 jC2t利用恒等式 c=斋新可得：明c-1=2m瑞-高1=2m(2 c好1 m1c)=六C可得为墙2m-C缪.代入计算得：兴1C=2m2m-2-2)=罗数原求 和或为4×受c%=2m0%=nc4所以S,=2c。15分 (i）当n为奇数时，设n2mt1.0时12k-(2m+1C览m+1=2+!令k-(m+1),则k=m+1+j,项变为(2+ n-1 1)C利用类似偶数情形的组合恒等式推导，该和式计算结果为2C故ES,=品C1-16分 （c, 综上所述，所求数学期望为：ES川= 2 2C3, n.为偶数 ………17分 n为奇数 2026 年 4 月襄阳市高三年级统一调研测试 数 学 试 题 本试卷满分 150 分, 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的. 1. 抛物线 的准线方程为 A. B. C. D. 2. 已知 为正实数，命题 ，命题 ，则命题 是命题 的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 将函数 向左平移 个单位得到新函数 ,则 可能的取值为 A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中,已知向量 是与向量 同向的单位向量,则向量 在向量 上的投影向量为 A. C.（ D. 5. 已知 ,若 ,则 的最小值为 A. 1 B. C. 2 D. 6. 圆 0: 上两点 A、B 满足 ,则线段 AB 中点到直线 的距离最大值为 A. B. C. D. 7. 某 AI 语言模型计费规则:前 1000 次免费使用，超出 1000 次的部分每次收费 0.001 元. 某人因工作需要多天使用该 AI 模型, 若第一天使用次数为 300 次, 以后每一天使用次数比前一天使用次数的 还多 50 次. 若该用户多天使用该 AI 模型后的总费用不超过 1 元， 则最大使用天数为 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 已知平面坐标系内一曲线的初始状态 ,每次随机变换的概率按照下述规则之一进行:(1)关于 轴对称的概率为 ；(2)关于 轴对称的概率为 ；(3)关于直线 对称的概率为 关于直线 对称的概率为 . 经过 次变换后曲线的状态记为 。,则 3 次变换后 中 取值范围为 的概率为 A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是 A. 若 ，则事件 相互独立与 互斥不能同时成立 B. 样本相关系数 r 越大, 则线性相关性越强 C. 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度, 方差或标准差越小, 则偏离均值的平均程度越小 D. 数据 27,12,14,30,15,17,19,23 的第 70 百分位数是 23 10. 若函数 的图像上存在四点共圆,则满足条件的 可以是 A. B. C. D. 11. 已知椭圆 左、右两焦点分别为 ，左、右顶点分别为 ，点 为椭圆上动点, 下列结论中正确的有 A. 的长度取值范围为 B. 椭圆 E 的最大内接矩形面积为 C. 的外角平分线与 的外角平分线所在直线的交点横坐标恒为 2 D. 过 作直线交椭圆于 、 两点,则 、 的内切圆半径分别为 ,当 时,直线 的斜率 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 设 ,点 从这些点构成的集合中随机选取一点定义以下事件；事件A:“点 M 在第二象限”；事件B:“点 M 的横坐标小于 0 ”； _____ 13. 设点 为曲线 上一点，则曲线在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值为_____. 14. 已知正八面体 的中心为点0，各棱长均为 ，已知 ,过点 作该正八面体的截面，所得截面面积为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 13 分) 在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 . 从条件①、②、③中选择一个作为已知条件(若两个都选，以第一个评分). 条件①bcosC +ccosB=2acosA; 条件②(a-b)(sinA+sinB)=(c-b) ; 条件 (③ ; 试求: (1)求角 的大小； (2)若 ，求 的面积. 16. (本题满分 15 分) 已知函数 . (1)求 的单调区间； (2)当 时,证明: 当 时. 恒成立. 17. (本题满分 15 分) 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA⊥底面 ABCD、PA=AB=2, PC=PB, E是 PD 的中点，F是 PD 上一点、BE//平面 AC F. (1)求三棱锥 P-ACF 的体积； (2)若三棱锥 F-ACD 的外接球球心为 ，求直线 与平面 AB 所成角的正弦值. 18. (本题满分 17 分) 双曲线具有光学性质: 从双曲线的一个焦点发出的光线, 经过双曲线反射后, 反射光线的反向延长线必经过双曲线的另一个焦点, 反之亦然. 如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 . 定义点列 : 光线从 出发射向 , 交双曲线 左支于 ; 在 处反射光线沿 方向交双曲线 右支于 ; 在 处反射光线沿 方向交双曲线 左支于 ; 以此类推形成光路折线 (1)若 ，求 ； (2)过定点 的直线交双曲线左支于 、 两点(M位于第二象限)，记双曲线的左、 右顶点分别为 ，直线 与直线 A 交于点 ，则 点的轨迹是否是一条直线？若是，请求出其直线方程, 若不是, 请说明理由. (3)记P0 ,求证: 数列 为等比数列. 19. (本题满分 17 分) 某超市开设了一个临时收银台服务(能力有限)，最多只能容纳 2n 人排队，队列长度可能值为 0,1,2,...,2n. 初始时刻，队列中有 n 人. 根据统计规律，在每一分钟内:如果当前队列人数为 ，则下一分钟队列人数变为 (有人离开且无人加入)的概率为 ，人数保持 i 不变(无人离开或有人加入同时有人离开)的概率为 1-2q，人数变为 i+1(有人加入且无人离开)的概率为 q. 每分钟内的人数变化情况与其他时间段的变化情况相互独立. (1)若 ，试求:3 分钟后，队列人数依然为 n 人的概率 . (2)若 ， 分钟内增加人数 次， 为 分钟后队列人数减去初始人数 的差值. ① 求 分钟后，队列人数恰好为 人的概率 ； . ② 求 分钟后，Sn的绝对值的期望 (|Sn|) 的表达式. 学科网（北京）股份有限公司 $