精品解析：湖北枣阳市第一中学2026届高三下学期4月学情调研训练题数学学科试题

枣阳一中2025—2026学年下学期高三4月学情调研训练题 数学学科 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合B，利用集合交运算求. 【详解】由题设，或， 所以. 故选：B 3. 已知向量，，且，那么（ ） A. 2 B. -2 C. 6 D. -6 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示，列出关于m的方程，解得答案. 【详解】由向量，，且， 可得: , 故选：B 4. 具有相关关系的变量x与y的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则去掉其中某对样本数据，样本相关系数r不会发生改变的是（ ） （参考公式：相关系数 x 1 2 3 4 5 y 6 10 11 12 16 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得样本中心点，再结合相关系数公式判断即可. 【详解】由题知，， 所以数据的样本中心点为 所以去掉其中样本数据，样本相关系数r不会发生改变. 5. 已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线与三棱锥外接球直径的关系，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积. 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 6. 已知为双曲线的左、右焦点，点 在 上，若，的面积为，则 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据双曲线的定义求出，在中，利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式求出，利用勾股定理可求得，进而可求出答案. 【详解】因为，所以， 又因为点 在 上，所以， 即，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，故， 则，所以， 则，所以， 所以， 所以 的方程为. 故选：B. 7. 已知函数在上单调递增，则 的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦函数的单调性结合题意可得. 【详解】由题意可得， 即， 令，可得， 因为函数在上单调递增， 所以，解得， 所以 的取值范围是. 故选：B 8. 若函数,恰有两个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析该分段函数在各段上的零点情况，将问题转化为直线与在上有一个交点的问题，结合函数的图象即得参数 的范围. 【详解】当 时，由可得 ， 依题意， 时， 有1个零点， 即方程在上有一个实根， 也即直线与在上有一个交点. 如图作出函数的图象. 因在上单调递增，由图可知，此时. 综上，实数 的取值范围是. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知函数，其中.则下列说法正确的是（ ） A. 函数必有零点 B. 若 ，则的对称中心为 C. 若有两个极值点，则 的取值范围是 D. 存在实数 ，使得在上单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】A由零点存在定理判断；B化简，结合的性质以及图象变换得出；C求导，根据得出；D利用导函数的图象与性质推出矛盾. 【详解】选项A：，， 当时，，此时， 由零点存在定理可知在上必有零点，故A正确； 选项B：当 时，得， 的对称中心为，将的图象向右平移1个单位， 再向上平移2个单位后得，所以其对称中心为，故B正确； 选项C：若有两个极值点，则有两个不相等的实根， 所以，解得，得或，故C错误； 选项D：若在上单调递减，则对任意恒成立， 因为是开口向上的二次函数，故不能恒成立，故D错误. 10. 已知数列的前 项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等差数列 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用与的递推关系求出数列的通项公式，再依次分析其对数数列的性质、前 项和的范围，以及相关函数的取值范围，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，当时，， 所以，则得， 又当时，，由，得，则，，故A错误； 对于B：因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 因此数列是首项为，公差为的等差数列，B正确； 对于C：， 当 为奇数时，，因是递减数列，则； 当 为偶数时，，因是递增数列，则， 所以，C正确； 对于D：因为在上单调递增，而， 则，D错误． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在内（含边界）且，则以下结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 与平面所成的线面角的正切值为 C. 点P的运动轨迹长度为 D. 点P到平面ABCD距离的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用异面直线夹角的计算方法结合正方体的特征判定A；先证明平面，结合等体积法计算到平面的距离，由线面夹角的定义可判定B，由勾股定理及圆的周长公式可判定C，由数形结合结合正三角形内切圆的特征计算即可判定D. 【详解】对于A，在正方体中易知且， 所以异面直线与所成的角即或其补角，显然，即A错误； 连接，易知， 又平面，所以平面， 而平面，所以，同理可知， 即平面，设垂足为E，取的中点 ，连接， 则，所以， 连接 ，由勾股定理可知， 对于B，易知与平面所成的角为， 故B正确； 对于C，由三棱锥为正三棱锥可知 为该正三角形的中心， 则三点共线，， 所以 点轨迹为以E为圆心，为半径的圆上，该圆即正三角形的内切圆， 所以点P的运动轨迹长度为，故C正确； 对于D，假设P的轨迹圆与交于G点，由上可知， 而 到底面 的距离为2，所以 到底面 的距离为， 由图形可知点P到平面ABCD距离的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，共14分. 12. 从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】求出所有的基本事件个数以及符合题意的基本事件个数，利用古典概型求概率即可. 【详解】根据题意，从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数共有， 所抽到两个数的和大于6共有，，，共4种， 所以所抽到的两个数的和大于6的概率为. 故答案为： 13. 在直三棱柱中，已知，，则异面直线 与所成角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合题意进而建立空间直角坐标系，进而利用异面直线夹角的向量求法求解即可. 【详解】作，因为，所以 是 的中点， 过 作，由直三棱柱性质得面 ， 如图，作出符合题意的图形，以 为原点建立空间直角坐标系， 因为，所以，由勾股定理得， 则，，，， 可得，， 设异面直线 与所成角为 ， 则. 14. 若关于x的方程至少有2个不同的根，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简转化为至少有2个不同的根，再构造函数，结合导函数得出函数单调性，结合得出参数范围. 【详解】因为不是方程的根， 又，故，方程化为， 记，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以原命题等价于在上至少有2个不同的根， 所以或，即或， 令，则， 所以单调递增；单调递减； 且当，当，当， 所以，作出函数的草图： 当时，与有一个交点，与有一个交点，所以或有两个根符合题意； 当时，与有一个交点，与有一个交点，所以或有两个根符合题意； 当时，与有两个交点，与有一个交点，所以或有三个根符合题意； 当时，与有一个交点，与有两个交点，所以或有三个根符合题意； 所以或， 所以实数a的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共73分. 15. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面 是菱形，平面平面 ，， 是的中点． （1）证明：平面 ； （2）若 ，求点 到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接，因为是等边三角形， 是中点，所以． 又因为，，平面，，所以平面． 因为平面，所以． 因为平面平面 ，平面平面， ，平面 ， 所以平面 ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合等边三角形的性质，利用线面垂直的判定定理证明平面，进而由线面垂直的性质定理得，然后利用面面垂直的判定定理证明即可． （2）法一：利用线面垂直的判定定理证明 平面，在平面内，作于 ，由线面垂直的性质定理和判定定理得平面，然后在中求解即可； 法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后点面距的向量公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：在菱形 中，， 又因为，，所以，． 因为，平面，，所以 平面． 在平面内，作于 ． 因为 平面，平面，所以． 又因为，， 平面，， 所以平面， 所以的长度为点 到平面的距离． 在中，因为 ，，， 所以，同理． 因为平面 ，平面 ，所以． 在中，因为，所以边上的高． 即点 到平面的距离为． 法二：因为平面 ，平面 ，所以． 由（1）得、、两两垂直， 故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，． 设平面的法向量为， 所以所以 所以是平面的一个法向量． 所以点 到平面的距离． 16. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 260及以上 194及以上 良好 245～259 180～193 及格 205～244 150～179 不及格 204及以下 149及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生 180 205 213 220 235 245 250 258 261 270 275 280 女生 148 160 162 169 172 184 195 196 196 197 208 220 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立. （1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （2）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望； （3）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件 ，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件 .判断 与 是否相互独立. 【答案】（1）， （2） （3） 与 相互独立 【解析】 【分析】（1）根据用样本频率估计总体概率的方法求解； （2）利用独立事件、互斥事件的概率公式以及组合知识求出分布列，再结合期望公式求解； （3）判断是否相等即可. 【小问1详解】 样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6， 所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为； 估计高三女生立定跳远单项的优秀率为. 【小问2详解】 由题设，的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， . 【小问3详解】 ，， ， 则，所以 与 相互独立. 17. 设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为. （1）求的单调递增区间； （2）求在上的值域； （3）将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先用辅助角公式将函数化为一个角的三角函数，再根据正弦函数的单调递增区间可得； （2）先求得，再根据正弦函数的性质可得函数的值域； （3）先由函数解析式可得函数的零点，再根据所有零点排列的特征得数列的奇数项和偶数项均构成等差数列，再进行分组求和可得. 【小问1详解】 因为， 因为的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为 ， 所以，又，所以，所以， 令，，解得，， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为，，所以，，，， 所以在上的值域为. 【小问3详解】 因为，令，得， 所以或，，即或，， 所以所有的正零点需满足或，得为正整数. 所以数列是以为首项，π为公差的等差数列，所以数列是以为首项，π为公差的等差数列， 所以 . 18. 已知函数，. （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求 的取值范围； （3）若 有两个零点，且，求证：. 【答案】（1）递减区间是，递增区间是； （2）； （3）证明如下： 由，得，由（2）知，是直线与函数图象的两个交点的横坐标， 而，当时，恒成立，因此 有两个零点时，， 由两边取对数得，于是， 则，整理得， 令，由，得，即有， 则，解得，由，得， 因此，令，求导得， 令，求导得，即在上单调递增， 当时，，即，函数在上单调递增，， 于是，所以. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数 的单调区间. （2）等价变形不等式并分离参数，构造函数，再利用导数求出此函数的最大值即得. （3）求出 的范围，由函数零点的意义可得，两式相减并令，求得，再构造函数，利用导数探讨单调性即可推理得证. 【小问1详解】 当时，函数，求导得， 当时，，当时，，即 在上递减，在上递增， 所以函数 的递减区间是，递增区间是. 【小问2详解】 不等式，令， 求导得，当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减，因此，则， 所以 的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E． ①证明：G，E，H三点共线； ②若，过点H作的平行线，分别交线段，于点 ，，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） ①设线段的中点为 ， 因为，所以可设，， 又因为， 所以G，E，F三点共线，同理，H，E，F三点共线， 所以G，E，H三点共线． ②16 【解析】 【分析】（1）设，根据题目条件列式化简可得轨迹； （2）①设线段的中点为 ，利用向量证明G，E，F三点共线，同理H，E，F三点共线，进而可得结论；②将四边形面积转化为四边形GAHB面积，将直线和抛物线联立，利用韦达定理，求出直线和直线的方程，则可求出坐标，然后利用面积公式求解最值即可. 【小问1详解】 设，与直线的切点为N，则， 所以 化简得，所以C的方程为：； 【小问2详解】 ①略 ②设 ，，，，AB中点为E，中点为F， 将代入得：，所以，， 所以， 同理，，（均在定直线 上） 因为，所以△EAT与△EAH面积相等，与△EBH面积相等； 所以四边形的面积等于四边形GAHB的面积， 设，， 直线，即 整理得：直线，又因为，所以， 同理，直线，，所以 所以 所以四边形GAHB面积 ， 当且仅当，即，即时取等号， 所以四边形面积的最大值为16． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将四边形的面积转化为四边形GAHB的面积，还有充分利用第一问中的点共线求出的横坐标，可以给求面积带来便利. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 枣阳一中2025—2026学年下学期高三4月学情调研训练题 数学学科 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，那么 （ ） A. 2 B. -2 C. 6 D. -6 4. 具有相关关系的变量x与y的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则去掉其中某对样本数据，样本相关系数r不会发生改变的是（ ） （参考公式：相关系数 x 1 2 3 4 5 y 6 10 11 12 16 A. B. C. D. 5. 已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A. B. C. D. 6. 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 8. 若函数,恰有两个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知函数，其中.则下列说法正确的是（ ） A. 函数必有零点 B. 若 ，则的对称中心为 C. 若有两个极值点，则 的取值范围是 D. 存在实数 ，使得在上单调递减 10. 已知数列的前 项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等差数列 C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在内（含边界）且，则以下结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 与平面所成的线面角的正切值为 C. 点P的运动轨迹长度为 D. 点P到平面ABCD距离的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，共14分. 12. 从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）． 13. 在直三棱柱中，已知，，则异面直线 与所成角的余弦值为________． 14. 若关于x的方程至少有2个不同的根，则实数a的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共73分. 15. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面 是菱形，平面平面 ，， 是的中点． （1）证明：平面 ； （2）若 ，求点 到平面的距离． 16. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 260及以上 194及以上 良好 245～259 180～193 及格 205～244 150～179 不及格 204及以下 149及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生 180 205 213 220 235 245 250 258 261 270 275 280 女生 148 160 162 169 172 184 195 196 196 197 208 220 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立. （1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （2）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望； （3）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件.判断与是否相互独立. 17. 设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为. （1）求的单调递增区间； （2）求在上的值域； （3）将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前项和. 18. 已知函数，. （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求 的取值范围； （3）若 有两个零点，且，求证：. 19. 已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E． ①证明：G，E，H三点共线； ②若，过点H作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $