精品解析：四川德阳市中江县2025-2026学年下学期期中教学质量监测八年级数学试卷

绝密★启用前 2026年春期中教学质量监测 八年级数学试卷 试卷说明： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，全卷共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷测试范围：第19章《二次根式》—第21章《四边形》（不含正方形的性质与判定）． 3．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第Ⅰ卷 选择题（40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中为二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、的被开方数，无意义，不是二次根式； B、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，是二次根式； C、的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式； D、2025是整数，不是二次根式． 2. 下列各组数中是“勾股数”的是（ ） A. 8，15，17 B. C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股数定义，三个数必须都是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐一验证各选项即可． 【详解】解： A、，且三个数均为正整数， 这组数是勾股数，符合题意； B、都不是正整数，不符合题意； C、在中，都不是正整数，不符合题意； D、三个数为，，， 则， ∵，且， 这组数不是勾股数，不符合题意． 3. 不能判定四边形为平行四边形的题设是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一进行判定即可；（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等 的四边形是平行四边形． 【详解】．，， 四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）； 故本选项能判定四边形为平行四边形，不合题意； ．，， 四边形为平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）； 故本选项能判定四边形为平行四边形，不合题意； ．，， 四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； 故本选项能判定四边形为平行四边形，不合题意； ．，不能判定四边形为平行四边形， 故此选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键． 4. 若与最简二次根式是同类二次根式，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义，是最简二次根式，只需让它的被开方数与的被开方数相等，列方程求解即可. 【详解】解：∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴ ， 解得：. 5. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 3米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 作，根据勾股定理求得的长，即可解答； 【详解】解：作， 根据题意得米， 由勾股定理可得， ∴米， ∴米， ∴此时木马上升的高度为1米， 故选：A． 6. 如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项能否判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴不能判定为矩形． 选项B： ∵是边长与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项C： 是边与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项D： ∵， ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 故选：D． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质依次计算各选项即可判断． 【详解】解：A、∵，，∴A错误， B、∵，，∴B错误， C、∵，，∴C错误， D、∵，∴D正确， 8. 如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为，和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，长方体的体对角线是最长的，当木棒在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可． 【详解】解：由题意知：盒子底面对角线长为， 盒子的对角线长：， 又细木棒长， 故细木棒露在盒外面的最短长度是：， 故选：D． 9. 如图，四边形中，，，，点E，F分别是对角线，的中点，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2.5 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，由点，分别是对角线，的中点，从而得是的中位线，则有，再由，则有，是的中位线，则有，从而可求的长． 【详解】解：取中点，连接、，如图所示： 点，分别是对角线，的中点， ，， ， ，， 、、三点共线， 是的中位线， ， ， ， 是的中位线， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理，平行线的性质，解答的关键是对三角形的中位线定理的掌握与灵活运用． 10. 如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（ ） A. ① B. ② C. ①③ D. ①② 【答案】C 【解析】 【分析】①根据得，再根据得，由此可对结论①进行判断： ②根据平行四边形性质得，再根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③过点作于点，根据，得，进而证明得，同理证明得，由此可对结论③进行判断． 【详解】解：①如图1所示： 在矩形中，，则， 在中，，则， ，故结论①正确； ②∵四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ，故结论②不正确； ③过点作于点，如图2所示： ， ∵，， 又， ， 在矩形中，， ， 在和中， ， ， ， 同理，在和中， ， ， ， ，故结论③正确； 综上所述，正确的结论是①③． 第Ⅱ卷 非选择题（110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡对应的位置上） 11. 已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵菱形的面积为对角线长乘积的一半， ∴这个菱形的面积为． 12. 若正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的一个内角度数是_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和与外角和，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 设这个正多边形是n边形，根据正多边形的内角和是外角和的2倍，列出一元一次方程，求出n的值，再根据多边形的内角和公式，即可解答． 【详解】解：设这个正多边形是n边形，依题意，得 ， 解得， ∴这个正多边形的一个内角度数是． 故答案为：． 13. 已知直角三角形的两边长为2和3，则第三边长度为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况考虑：当3为斜边时，利用勾股定理求出直角边即为第三边；当3为直角边时，求出斜边即为第三边． 【详解】当3为斜边时，第三边＝； 当3为直角边时，第三边＝. 故答案是：或. 【点睛】考查了勾股定理，解题关键是题中没有明确是直角边还是斜边，故需分情况讨论． 14. 化简：____________；____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由二次根式性质、分母有理化、完全平方公式求解即可． 【详解】解：； ． 15. 如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为，当为______时，四边形是菱形． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，能根据题意得出当时，四边形为菱形是解此题的关键．根据矩形的性质得出，，，先证明四边形为平行四边形，得出当时，四边形为菱形，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ∵点、的速度都是， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， 即当为时，四边形是菱形． 故答案为：6． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简绝对值、负整数指数幂、分母有理化，最后算加减即可； （2）先化为最简二次根式，再利用平方差公式展开后算加减即可. 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，先算括号再算除法，最后代入计算即可． 【详解】原式 ， 当时，原式． 18. 已知在平面内两点，，其两点间的距离． （1）若，，试求两点间的距离； （2）若一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状并说明理由； （3）若，在轴上有一点，使是一个以为斜边的直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）等腰直角三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）由题中两点间的距离公式直接求解即可； （2）由题中两点间的距离公式分别求出三角形三边长判定即可； （3）由题中两点间的距离公式分别求出三角形三边长，再根据题意，由勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由两点间的距离公式可得； 【小问2详解】 解：此三角形是等腰直角三角形， 理由如下： 由两点间的距离公式可得、、， ，， 此三角形是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：设， 由两点间的距离公式可得、、， 是一个以为斜边的直角三角形， 由勾股定理可得，则， 解得， 点的坐标为． 19. 在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，交于点，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 20. 如图，的对角线和交于点O，，分别过点C，D作，，和交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是菱形，以及证明四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直，得到，即可判定四边形是矩形； （2）先结合菱形的性质以及矩形的性质得的长，再由勾股定理可求的长，最后把数值代入计算，即可作答． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是菱形，四边形是矩形； ∴，， ∴ ∵， ∴， 即， ∵ ∴． 21. 阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题 对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： （1）材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 （2）已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． （3）已知，求的值． 【答案】（1）B （2）86 （3）17 【解析】 【分析】（1）根据转化思想解答即可； （2）仿照材料中的例题解答过程解答即可； （3）仿照材料中的例题解答过程解答即可． 【小问1详解】 解：材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想； 【小问2详解】 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ； 【小问3详解】 解：我们从这个式子的结构出发，构造（）的对偶式． ． 22. 如图1，在矩形中，，，E是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点G，连接． （1）求线段的长． （2）求证：四边形是菱形． （3）如图2，M、N分别是线段上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 证明：由折叠的性质可得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （3）存在，或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，菱形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知矩形的性质，菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，，利用勾股定理可得，则；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）由折叠的性质可得，，由矩形和平行线的性质可得，则可证明，得到，进而可证明四边形是平行四边形，则可证明平行四边形是菱形； （3）分和两种情况分别讨论即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，，， ，， 将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，当时，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当时， 同理可得，， 在中，由勾股定理得， 同理可得， 解得； 综上所述，在这样的点N，使是直角三角形，此时或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026年春期中教学质量监测 八年级数学试卷 试卷说明： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，全卷共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷测试范围：第19章《二次根式》—第21章《四边形》（不含正方形的性质与判定）． 3．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第Ⅰ卷 选择题（40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中为二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2025 2. 下列各组数中是“勾股数”的是（ ） A. 8，15，17 B. C. ，， D. ，， 3. 不能判定四边形为平行四边形的题设是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若与最简二次根式是同类二次根式，那么的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 3米 6. 如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为，和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形中，，，，点E，F分别是对角线，的中点，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2.5 D. 3.5 10. 如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（ ） A. ① B. ② C. ①③ D. ①② 第Ⅱ卷 非选择题（110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡对应的位置上） 11. 已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为____________． 12. 若正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的一个内角度数是_____． 13. 已知直角三角形的两边长为2和3，则第三边长度为______. 14. 化简：____________；____________． 15. 如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为，当为______时，四边形是菱形． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知在平面内两点，，其两点间的距离． （1）若，，试求两点间的距离； （2）若一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状并说明理由； （3）若，在轴上有一点，使是一个以为斜边的直角三角形，直接写出点的坐标． 19. 在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，交于点，若，求的长． 20. 如图，的对角线和交于点O，，分别过点C，D作，，和交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的长． 21. 阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题 对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： （1）材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 （2）已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． （3）已知，求的值． 22. 如图1，在矩形中，，，E是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点G，连接． （1）求线段的长． （2）求证：四边形是菱形． （3）如图2，M、N分别是线段上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $