精品解析：四川省德阳市中江县2024-2025学年 八年级下学期数学期中测试题

2025年春教学质量监测（二） 八年级数学试卷 说明： 1．本试卷分为第I卷和第II卷．第I卷为选择题，第II卷为非选择题，全卷共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第I卷选择题（36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分） 1. 当是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 如果一个三角形的三边长分别为1，1，，那么这个三角形是( ) A. 锐角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（ ）． A B. C. D. 8. 四边形不具稳定性，四条边长都确定的四边形．当内角的大小发生变化时．其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（ ） A. B. C. D. 1 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，点是上一点，，，点是的中点，平分，，则的面积是（ ） A. B. C. 40 D. 20 11. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第II卷非选择题（114分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分） 12. 一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和2cm，则第三边长_____cm． 13. 若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为________． 14. 如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，点F是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为______． 15. 小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在地面A处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方，A、B、N在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米，则这棵树的高度为______． 16. 已知，那么的值是_____． 17. 如图, 四边形是平行四边形，，，点在上， ，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，若动点同时出发，相遇时停止运动，在第_______时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 三、解答题（本大题共7个小题，满分90分） 18. 计算： （1）； （2）； （3）． 19. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点，，都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将平移．使点平移到点，点、分别是、的对应点． （1）线段的长度是_____； （2）作出平移后的，分别连接，，则线段与的关系为_____； （3）求四边形面积． 20. 已知，，求下列代数式的值. （1）； （2）. 21. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）连接，判断形状； （3）求这块空地的面积． 22. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 23. 我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： （1）填空：的有理化因式是_____（写出一个即可）； （2）比较：与的大小，并说明理由； （3）已知：，求的值． 24. 如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E． （1）判断四边形BOCE的形状并证明； （2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当S△ABG＝2S△OBG时，求t的值． （3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG＋BH的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春教学质量监测（二） 八年级数学试卷 说明： 1．本试卷分为第I卷和第II卷．第I卷为选择题，第II卷为非选择题，全卷共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第I卷选择题（36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分） 1. 当是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是，据此解题． 【详解】二次根式在实数范围内有意义的条件是 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的两个对角相等，邻角互补求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D． 4. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 5. 化简结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意判断出a的符号，再把二次根式进行化简即可． 【详解】解：∵有意义，则 ∴， 故选：B． 6. 如果一个三角形的三边长分别为1，1，，那么这个三角形是( ) A. 锐角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，结合等腰直角三角形的判定即可选择． 【详解】∵有两边长都是1， ∴三角形一定是等腰三角形； ∵， ∴的对角一定是直角， 故三角形一定是等腰直角三角形； 故选D． 【点睛】本题考查了三角形形状的判定，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定是解题的关键． 7. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形的性质，矩形的性质，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得到，则可求出，即可解答，熟知上述性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 垂直平分，点G是的中点， ， ， ， ， ， 故选：D． 8. 四边形不具稳定性，四条边长都确定的四边形．当内角的大小发生变化时．其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】过D'作D'M⊥AB于M，求出正方形ABCD的面积=AB2，再由含30°角的直角三角形的性质得AM=AD'，D'M=AM=AD'，然后求出菱形ABCD的面积=AB×D'M=AB2，即可求解． 【详解】解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示： 则∠D'MA=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积=AB2，AB=AD，∠BAD=90°， ∵∠DAD′=30°， ∴∠D'AM=90°-30°=60°， ∴∠AD'M=30°， ∴AM=AD'，D'M=AM=AD'， ∵四边形ABC′D′是菱形， ∴AB=AD'=AD，菱形ABCD的面积=AB×D'M=AB2， ∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比=， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和正方形的性质，证出D'M=AD'是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况，根据平行四边形的性质得出点的坐标，即可解决问题． 本题考查了平行四边形的判定以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； ∴点的坐标不可能是． 故选：B． 10. 如图，在中，点是上一点，，，点是的中点，平分，，则的面积是（ ） A. B. C. 40 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 延长和交于点G，证明，可得，然后根据等腰三角形的性质证明，再根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，延长和交于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 11. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；②先说明，结合是等腰直角三角形，即，然后根据求解即可判定；③先说明是等腰直角三角形，再运用勾股定理求，然后用勾股定理求得即可；④过B作，交的延长线于F，先说明由是等腰直角三角形可求得，进而求得，用勾股定理可求 ，连接，求出的面积，然后减去的面积即可； 根据④求得的长，再结合正方形的性质即可判定． 【详解】解：①∵ ∴ 又∵， ∵在和中， ∴；故①正确； ②∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即； ∵过点A作的垂线交于点P．若 ∴是等腰直角三角形，即 ∴故②正确； ③∵， ， ∴， ， 又∵②中， ∴ ，故③正确； ④如图：过B作，交延长线于F， 又∵③中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ， ∴ ∴ 如图，连接， ∵， ∴ ， ∴ ，故④正确． ⑤∵正方形， ∴，故⑤错误； 综上可知其中正确结论的序号是①②③④共4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识是解答本题的关键． 第II卷非选择题（114分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分） 12. 一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和2cm，则第三边长_____cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出即可． 【详解】由勾股定理得：第三边==（cm）． 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13. 若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义：被开方相同的最简二次根式叫同类二次根式是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：，与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：4． 14. 如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，点F是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，直角三角形斜边的性质，解题的关键是了解三角形的中位线的性质和直角三角形斜边的性质．利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ∵， ， ， 故答案为：12． 15. 小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在地面A处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方，A、B、N在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米，则这棵树的高度为______． 【答案】米## 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意得，米，（米），米， ∴，， ∴，， ∴， ∴（负值已舍去）， 故答案：米． 16. 已知，那么的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数的符号是解答此题的关键．先化简，再分同正或同负两种情况作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴x、y同号， 当，时，原式； 当，时，原式； 故答案为：． 17. 如图, 四边形是平行四边形，，，点在上， ，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，若动点同时出发，相遇时停止运动，在第_______时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：点在上，且在点的右边，点在上，四边形为平行四边形；点在上，且在点的左边，点在上，四边形为平行四边形；画出图形进行解答即可求解，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 详解】解：∵，， ∴， 设运动时，有两种情况： 如图，点在上，且在点的右边，点在上，四边形为平行四边形， 则， ∴， 解得； 如图，点在上，且在点的左边，点在上，四边形为平行四边形， 则， ∴， 解得； 综上，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7个小题，满分90分） 18. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，化简二次根式，立方根，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算立方根和化简二次根式，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案； （2）先根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案； （3）先化简二次根式，再计算二次根式乘除法，接着去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 19. 在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点，，都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将平移．使点平移到点，点、分别是、的对应点． （1）线段的长度是_____； （2）作出平移后的，分别连接，，则线段与的关系为_____； （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）见解析；， （3）28 【解析】 【分析】本题考查作图——平移变换等知识，解题关键是掌握平移变换的性质． （1）根据勾股定理求出的长度即可； （2）利用平移变换的性质作出B，C的对应点E，F，再顺次连接即可，根据平移得出，； （3）利用四边形所在的长方形的面积减去四边形周围的四个直角三角形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵点A平移到点D， ∴先向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到， 如图，即为所求； ∵平移得到， ∴，； 【小问3详解】 解：四边形的面积为： ． 20. 已知，，求下列代数式的值. （1）； （2）. 【答案】（1） （2）49 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算． （1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 则． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， 则． 21. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）连接，判断形状； （3）求这块空地的面积． 【答案】（1） （2）是直角三角形 （3）这块空地的面积为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【小问1详解】 解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． 【小问2详解】 解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． 【小问3详解】 解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 22. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）96 【解析】 【分析】（1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则． 【小问1详解】 证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． 23. 我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： （1）填空：的有理化因式是_____（写出一个即可）； （2）比较：与的大小，并说明理由； （3）已知：，求的值． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）；理由见解析 （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用有理化因式的定义得出答案即可； （2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （3）设，，根据有理化因式的定义计算出的值，根据的值得出的值，即是结果． 【小问1详解】 解：∵ ∴的有理化因式是； 故答案为：（答案不唯一）． 【小问2详解】 解：． 理由：， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设，， 则 ， ∵， ∴， 即． 24. 如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E． （1）判断四边形BOCE的形状并证明； （2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当S△ABG＝2S△OBG时，求t的值． （3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG＋BH的最小值． 【答案】（1）矩形，证明见解析；（2）1或3；（3） 【解析】 【分析】（1）结论：四边形BOCE是矩形．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． （2）分两种情形构建方程求解即可． （3）如图2中，设OG＝x，则BG＋BH＝＋，欲求BG＋BH的最小值，相当于在x轴上找一点P(x，0)，使得点P(x，0)到A(0，4)和B(3，4)的距离最小，如图3中，利用轴对称分类讨论解决最值问题即可． 【详解】（1）结论：四边形BOCE是矩形． 理由：∵BE∥OC，EC∥OB， ∴四边形OBEC是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴四边形BOCE是矩形． （2）如图2中，∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝3cm，OB＝OD＝4cm， ∵S△ABG＝2S△OBG， ∴AG＝2OG， ∴2t＝2（3﹣2t）或2t＝2（2t﹣3）， 解得t＝1或t＝3， ∴满足条件的t的值为1或3． （3）如图2中，设OG＝x，则BG＋BH＝＋，欲求BG＋BH的最小值，相当于在x轴上找一点P(x，0)，使得点P(x，0)到A(0，4)和B(3，4)的距离最小，如图3中， 作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于P，连接BP，此时PA＋PB的值最小， ∵A(0，4)， (3，﹣4)， ∴当B点在y轴右侧时， AP＋PB＝AP＋＝＝＝， 当B点在y轴左侧时，由于线段整体移动，同理，得 AP＋PB＝AP＋＝＝， ∴BG＋BH的最小值为． 【点睛】此题主要考查矩形的判定、菱形的性质、利用面积构建方程以及利用对称求最值，熟练掌握，即可解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $