精品解析：北京市师达中学2025-2026学年度第二学期期中练习 七年级数学

北京市师达中学2025－2026学年度第二学期期中练习 七年级数学 2026.04 （总分：100分 考试时间：90分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 4的平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特点，掌握象限中点的符号是解题的关键． 【详解】解：∵第一象限的点的符号为，第二象限的点的符号为，第三象限的点的符号为，第四象限的点的符号为， ∴点在第二象限，   故选：B ． 3. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式性质：不等式两边同时加上（减去）同一个数（式），不等号方向不变；不等式两边同时乘以（除以）同一个正数（式），不等号方向不变；不等式两边同时乘以（除以）同一个负数（式），不等号方向改变；熟记不等式的性质是解决问题的关键． 根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否必然成立即可得到答案． 【详解】解：已知，分析各选项： A、两边加，得，符合不等式加法性质，正确，不符合题意； B、两边乘（负数），不等号方向改变，得，正确，不符合题意； C、平方运算不保序，例如，当，时，成立，但，故不正确，符合题意； D、两边乘（正数），得，符合不等式乘法性质，正确，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CDAB的是（ ） ①∠1=∠4 ②∠2=∠3 ③∠5=∠B ④∠DCB+∠B=180° A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①② 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法对① ② ③④每一选项的正确性进行判断即可得到解答 ． 【详解】解：因为∠1和∠4是内错角，所以由∠1=∠4 可以得到CD ∥ AB，①正确； 因为∠2和∠3是DA与CB的内错角，不是CD 与 AB的内错角，所以由∠2=∠3不能得到CD ∥ AB，②错误； 因为∠5和∠B是同位角，所以由∠5=∠B可以得到CD ∥ AB，③正确； 因为∠DCB和∠B是同旁内角，所以由∠DCB+∠B=180°可以得到CD ∥ AB，④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键． 5. 将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2=40°，则∠1的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】标出字母，根据平行线的性质即可求解． 【详解】标出字母，如图 ∵AB∥CD， ∴∠2=∠CEM， ∵∠1+90°+∠CEM=180°， ∴∠1+90°+∠2=180°， ∴∠1+∠2=90°， ∵∠2=40°， ∴∠1=90°-40°=50°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的基本性质，本题的解题关键是找出角度的关系即可得出答案． 6. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的估算进行大小比较． 【详解】解：∵， 又∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根，求一个数的立方根及无理数的估算，理解相关概念是解题关键． 7. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲说得乙六只羊，多乙一倍之上，乙说得甲六只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同．请问甲，乙各有多少只羊?设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据“如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同”，列出二元一次方程组，即可求解，解题的关键是：正确理解题意，列出等量关系． 【详解】解：由“如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍，”可列式：， 由“如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同，”可列式：， 根据题意可列二元一次方程组：， 故选：． 8. 如果将方程的整数解用平面直角坐标系中的点来表示，并将所有这样的点组成的图形记为，以下说法： ①图形上的任意点都不可能在第一象限； ②存在图形上的点到轴和轴的距离相等； ③如果点在图形上，那么点也一定在图形上； ④如果点在图形上，那么将它沿轴向上平移（为正整数）个单位，再沿轴向左平移个单位后得到的点也一定在图形上． 其中所有正确说法的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】求出，则可得，可判断①正确；先得出或，则可得②错误；求出可得③正确；先求出平移后的点为，再求出可得④正确． 【详解】解：①若点在第一象限，则，， ∵都是整数， ∴， ∴， ∴图形上的任意点都不可能在第一象限，说法①正确； ②若点到轴和轴距离相等，则； ∴或， 当时，则，解得，不是整数，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴不存在图形上的点到轴和轴的距离相等，说法②错误； ③若点在图形上，则，即， ∴点也一定在图形上，说法③正确； ④点沿轴向上平移（为正整数）个单位，再沿轴向左平移个单位后得到的点为， 若点在图形上，则， ∴， ∴点也一定在图形上，说法④正确； 综上，所有正确说法的序号是①③④． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若将点先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化—平移，解题的关键是掌握点平移的坐标特征：左减右加，上加下减．据此解答即可． 【详解】解：将点先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点的坐标为，即． 故答案为：． 10. “的2倍与3的差不小于6”用不等式表示为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：“的2倍与3的差不小于6”用不等式表示为． 11. 若关于的方程是二元一次方程，则的值为_____． 【答案】 0 【解析】 【分析】根据二元一次方程的未知数的次数为1，系数不为0，列式求解即可. 【详解】解： 方程是关于的二元一次方程 ，且， 解得或， 由得 . 12. 已知是二元一次方程的一个解，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解一元一次方程等知识点，熟练掌握使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解决此题的关键．将 代入方程中得到关于的方程，解之即可． 【详解】 解：将 代入方程中得，， 解得， 故答案为：． 13. 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点，依据是__________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短的应用．熟练掌握：在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短是解题的关键． 根据垂线段最短作答即可． 【详解】解：由题意知，依据为垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 14. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， 由图可知，阴影部分的面积为． 15. 在平面直角坐标系中，A点的坐标为，若线段轴，且，则点B的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，根据线段轴，可得点B横坐标，根据，可得点B纵坐标，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵A点的坐标为，线段轴， ∴点B横坐标为2， ∵， ∴点B纵坐标为：或， ∴点B坐标为：或， 故答案为：或． 16. 对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据新定义求出的值，再把的值代入中，根据对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，求出的值，即可． 【详解】解：由题意， 解得或， 把代入，得， 整理，得， ∵对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组， ∴，解得， ∴； 把代入，得， 整理，得， ∴，解得， ∴； 综上：或． 三、解答题：本题共10小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算或解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简绝对值、计算算术平方根与立方根，再计算实数的加减法即可； （2）利用平方根的性质解方程即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：， ， 或， 或． 18. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ，，解得， 把代入①，得，解得， ∴； 【小问2详解】 解： 把①代入②，得，解得， 把代入①，得，解得； ∴． 19. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】根据解不等式的基本步骤求解即可； 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得， 不等式的解集在数轴上表示如图所示． 20. 如图，直线相交于点，，垂足为，平分，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的度数，再求出的度数，则可得的度数，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 21. 如图，点E，F分别在的延长线上，直线分别交于点G，H，，．求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵， ∴________．（填推理的依据）（ ） ∵， ∴________． ∴．（填推理的依据）（ ） ∴． ∵，（填推理的依据）（ ） ∴． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；对顶角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、等量代换的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据平行线的判定定理及性质定理即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴．（两直线平行，内错角相等） ∵， ∴． ∴．（同位角相等，两直线平行） ∴． ∵，（对顶角相等） ∴． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；对顶角相等． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，点的对应点为． （1）写出点的坐标： ， ， ； （2）画出三角形； （3）写出三角形的面积为 ． 【答案】（1），， （2）图见解析 （3）7 【解析】 【分析】（1）先确定平移方式，再根据点坐标的平移变换规律解答即可； （2）先在平面直角坐标系中描出点，再顺次连接即可； （3）利用一个长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵点的对应点为， ∴平移方式是：先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∵把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，且，，， ∴，，， 即，，． 【小问2详解】 解：画出三角形如图所示： ． 【小问3详解】 解：三角形的面积为． 23. 甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． （1）求正确的的值； （2）求原方程组的正确解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程①可得的值，将代入方程②可得的值； （2）利用代入消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入方程得：， 解得； 将代入方程得：， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）得：原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 24. 某玩具店销售A型和B型两种玩具汽车，已知A型玩具车的进价为20元/辆，B型玩具车的进价为50元/辆．根据销售记录得知：销售1辆A型玩具车和2辆B型玩具车获利25元；销售2辆A型玩具车和3辆B型玩具车获利40元． （1）两种型号玩具车每辆的销售利润各为多少元？ （2）商店老板计划用350元资金同时购进这两种型号的玩具车（假设资金恰好全部用完），并希望在所有玩具车完全售出后获得最大利润．应如何安排进货？ 【答案】（1）A型玩具车每辆销售利润为5元，B型玩具车每辆销售利润为10元 （2）购进A型玩具车15辆、B型玩具车1辆时获得最大利润，最大利润为85元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用； （1）利用两种销售组合的获利金额，建立二元一次方程组求解即可； （2）根据进货资金限制列出二元一次方程，结合正整数的实际进货条件确定所有可行方案，计算各方案总利润后比较得出最优进货安排． 【小问1详解】 解：设A型玩具车每辆销售利润为x元，B型玩具车每辆销售利润为y元， 根据题意得， 解得：， 答：A型玩具车每辆销售利润为5元，B型玩具车每辆销售利润为10元； 【小问2详解】 设购进A型玩具车m辆，B型玩具车n辆， 根据题意得， ∴， 因为m、n为正整数， 所以，①当时，，总利润为（元）， ②当时，，总利润为（元）， ③当时，，总利润为（元）， 因为， 所以购进A型玩具车15辆，B型玩具车1辆时利润最大，最大利润为85元． 25. 已知，点，点分别在直线，上，点为直线，间一点，使得都是锐角． （1）如图1，求证：； （2）分别过点和点作直线，使，以点为顶点作直角，使的两边分别与直线交于点和点． ①如图2，求的度数； ②如图3，若和恰好分别平分和，并且，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）过点C作，则，由平行线的性质得到，再由角的和差关系可证明结论； （2）①连接，过点B作，由平行线的性质得到；，则可证明，进而得到，则；②设，则，由（1）得，由角平分线的定义得到；则可得到，同理可得，由（2）①得，则． 【小问1详解】 证明：如图所示，过点C作， ∵，， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：①如图所示，连接，过点B作， ∵， ∴； ∵是直角， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设，则， 由（1）得， ∴， ∵和恰好分别平分和， ∴； ∵是直角， ∴， ∴， 同理可得， 由（2）①得， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：图形和图形上任意两点间距离的最小值称为图形与图形的“相关距离”，记作．特别地，若图形与图形有公共点，则规定． （1）若图形为点，图形为线段，其中，． 直接写出点与线段的“相关距离”，即______； 点是轴上的一个动点，当时，求点的坐标？ （2）已知点，，，，若线段上存在点使得，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；或； （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中两点之间的距离，解决本题的关键是理解“相关距离”，根据“相关距离”的定义计算． 根据垂线段最短可知，图形和图形的“相关距离”，是当时，线段的长度，根据两点的坐标即可求出的长度； 分当点在点的右侧、点在图形的左侧、点在内，三种情况求解； 分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况求出点的坐标，再根据点的坐标求出的取值范围． 【小问1详解】 解：根据垂线段最短可知， 图形和图形的“相关距离”，是当时，线段的长度， 点与线段的“相关距离”为：， 故答案为：； 解：设点的坐标是， 当点在点的右侧时，则有， 此时点的横坐标是， 即点的坐标是； 当点在图形的左侧时，则有， 此时点的横坐标是， 即点的坐标是； 当点在图形上时， ， ； 综上所述，点的坐标是或； 【小问2详解】 解：如下图所示， 设点的坐标是， 当点在点的左侧时，可得：， ， 解得：， 或， 解得：或， 即； 当点在点的右侧时，可得：， ， 解得：， 或， 解得：或， 即； 综上所述，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市师达中学2025－2026学年度第二学期期中练习 七年级数学 2026.04 （总分：100分 考试时间：90分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 4的平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CDAB的是（ ） ①∠1=∠4 ②∠2=∠3 ③∠5=∠B ④∠DCB+∠B=180° A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①② 5. 将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2=40°，则∠1的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲说得乙六只羊，多乙一倍之上，乙说得甲六只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同．请问甲，乙各有多少只羊?设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 如果将方程的整数解用平面直角坐标系中的点来表示，并将所有这样的点组成的图形记为，以下说法： ①图形上的任意点都不可能在第一象限； ②存在图形上的点到轴和轴的距离相等； ③如果点在图形上，那么点也一定在图形上； ④如果点在图形上，那么将它沿轴向上平移（为正整数）个单位，再沿轴向左平移个单位后得到的点也一定在图形上． 其中所有正确说法的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若将点先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点的坐标为___________． 10. “的2倍与3的差不小于6”用不等式表示为_____． 11. 若关于的方程是二元一次方程，则的值为_____． 12. 已知是二元一次方程的一个解，则______． 13. 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点，依据是__________． 14. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 15. 在平面直角坐标系中，A点的坐标为，若线段轴，且，则点B的坐标为________． 16. 对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____． 三、解答题：本题共10小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算或解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 18. 解方程组： （1）； （2）． 19. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 如图，直线相交于点，，垂足为，平分，．求的度数． 21. 如图，点E，F分别在的延长线上，直线分别交于点G，H，，．求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵， ∴________．（填推理的依据）（ ） ∵， ∴________． ∴．（填推理的依据）（ ） ∴． ∵，（填推理的依据）（ ） ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，点的对应点为． （1）写出点的坐标： ， ， ； （2）画出三角形； （3）写出三角形的面积为 ． 23. 甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． （1）求正确的的值； （2）求原方程组的正确解． 24. 某玩具店销售A型和B型两种玩具汽车，已知A型玩具车的进价为20元/辆，B型玩具车的进价为50元/辆．根据销售记录得知：销售1辆A型玩具车和2辆B型玩具车获利25元；销售2辆A型玩具车和3辆B型玩具车获利40元． （1）两种型号玩具车每辆的销售利润各为多少元？ （2）商店老板计划用350元资金同时购进这两种型号的玩具车（假设资金恰好全部用完），并希望在所有玩具车完全售出后获得最大利润．应如何安排进货？ 25. 已知，点，点分别在直线，上，点为直线，间一点，使得都是锐角． （1）如图1，求证：； （2）分别过点和点作直线，使，以点为顶点作直角，使的两边分别与直线交于点和点． ①如图2，求的度数； ②如图3，若和恰好分别平分和，并且，直接写出的度数． 26. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：图形和图形上任意两点间距离的最小值称为图形与图形的“相关距离”，记作．特别地，若图形与图形有公共点，则规定． （1）若图形为点，图形为线段，其中，． 直接写出点与线段的“相关距离”，即______； 点是轴上的一个动点，当时，求点的坐标？ （2）已知点，，，，若线段上存在点使得，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $