精品解析：四川成都市航天中学校等校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题

四川成都市航天中学校等校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理得，解得. 2. 已知向量，，若与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】解：，又与垂直， ，解得． 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【详解】对于三角函数图象平移，遵循“左加右减，针对本身”的原则. 将平移得到. 先对目标函数变形：. 对比与，替换为， 根据“右减”规则，需将的图象向右平移个单位长度. 4. 已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件先求出，再由向量数量积的定义即可求得两向量的夹角. 【详解】由可得，解得， 又由可得， 因，则，即与的夹角为. 5. 已知，为非零向量，“”是“存在实数，使”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先去绝对值再分析 【详解】去绝对值后得或， 若，与同向， 同理，若，则与同向， 由此可得存在实数，使， 反之，取得， 所以“”是“存在实数，使”的充分不必要条件. 6. 已知，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数值的关系求，，再结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，，， 则，， 所以. 7. 在矩形中，已知，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出与的值，再由投影向量的定义求解即得. 【详解】因,则, 即，， 故向量在上的投影向量为. 8. 在中，角，，所对的边分别是，，，，且.若角的角平分线交于点，则长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】在中，由正弦定理可得：. ∵， ∴. 由可得，即. 由，可得. 在中，由余弦定理可得，， 即，当且仅当时，等号成立. ∵，化简可得，， ∴，当且仅当时等号成立. 故长度的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】A选项，由向量加法的三角形法则，，A正确； B选项，由向量的减法法则，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D正确； 10. 下列等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，因为 ，A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，， 所以， 所以，故C正确； 对于D，， ，D错误. 11. 已知平面直角坐标系中向量，，空间直角坐标系中向量，.定义向量，的向量积（又称向量的叉积或外积）：，， ，其中表示向量，的夹角.若向量，则向量是单位向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 已知，与，均是单位向量且，若，则 C. 若四边形为平行四边形，则它的面积 D. 若，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据向量外积的坐标表示运算求解即可；对于B：分析可知，进而可得结果；对于C：根据平行四边形的面积公式分析判断；对于D：分析可知，，结合基本不等式运算求解. 【详解】选项A：由，， 又∵，所以，故A正确； 选项B：由，得， 即， ∵，， 而，所以，故B正确； 选项C：， 故，C错误； 选项D：由，得， 则，又因为，所以， 又∵，即，因此， 则， 当且仅当时取等号，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若向量，则______. 【答案】 【解析】 【详解】已知，，且. 若，，且，则. 代入坐标可得：， 化简得：， 解得. 13. 已知函数的部分图象如图所示，则函数______. 【答案】 【解析】 【详解】由图知，，函数的最小正周期满足，即， 因，则，于是， 将代入得，则有， 即，因，则， 故. 14. 在平面直角坐标系中，已知，，，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件判断，，方法1：依题意取，，通过坐标计算求得与的值，再由向量的三角不等式即可求得答案；方法2：由向量数量积的运算律求得与的值，再由向量的三角不等式即可求得答案 【详解】由题意可得：，，， 设的中点为，则， 在中，由可得，且， 方法1：由题意，不妨取，因，可取，则， 则，又， 由向量的三角不等式可得 ， 即的取值范围为. 方法2：设的中点为，则，两边取平方， 可得：， 解得，又， 由向量的三角不等式可得的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，若，.求： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系及和角的正弦公式计算得解. （2）利用（1）中结论，结合和角的正切公式求解. 【小问1详解】 由，得，又，， 因此，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 所以. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，.向量，，且. （1）求角； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，，， 所以， 由正弦定理,为三角形外接圆半径 联立可得，所以， 所以，由余弦定理可知， 所以，,所以； 【小问2详解】 因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，所以，（舍）， 所以的面积为. 17. 已知函数，，相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，若，求的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简函数，结合题意整体代入求解；（2）将所求转化为只含一个角的三角函数，再根据锐角三角形中角的范围确定该三角函数的取值范围. 【详解】（1）， ∵相邻两条对称轴之间的距离为， ∴， ∵，∴，∴， ∵的单调递增区间为，， ∴， 得， 故单调递增区间为，； （2）， ∵，∴， ，得， ∴， ∵∴，∴， ∴， 的取值范围为. 18. 在中，为的中点，点在边上，交于点，且，设，. （1）试用，表示，； （2）已知，，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为， 又因为，， 所以， 设，，因为， 所以，所以， 因为点共线，所以，所以， 所以， 所以; 【小问2详解】 已知，，， 则 . 故. 19. 对于平面向量，定义“变换”：，. （1）若向量，，求； （2）已知，，，且与不平行，，，若在上有且仅有两个不同的根，求的取值范围； （3）若向量，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“变换”的定义代入计算即得； （2）先证明，再由向量数量积的运算律推得，利用函数与方程的思想将问题转化成函数与直线在的交点问题，列不等式求解即得； （3）先推得和，以及，，再由可得，联立解得，，结合即可求得. 【小问1详解】 根据题意可得，，， 代入变换可得 即； 【小问2详解】 假设，， ∵ ， ∴， ∵，∴， ∵在上有且仅有两个不同的根， ∴在上有且仅有两个不同的根， 则解得 ∴的取值范围为； 【小问3详解】 ， 且， ， ∴ ， 因此 ， 由， 可得即 ∴， 又∵， ∴， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川成都市航天中学校等校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 已知向量，，若与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 5 D. 7 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，为非零向量，“”是“存在实数，使”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，，（ ） A. B. C. D. 7. 在矩形中，已知，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角，，所对的边分别是，，，，且.若角的角平分线交于点，则长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列等式成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知平面直角坐标系中向量，，空间直角坐标系中向量，.定义向量，的向量积（又称向量的叉积或外积）：，， ，其中表示向量，的夹角.若向量，则向量是单位向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 已知，与，均是单位向量且，若，则 C. 若四边形为平行四边形，则它的面积 D. 若，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若向量，则______. 13. 已知函数的部分图象如图所示，则函数______. 14. 在平面直角坐标系中，已知，，，且，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，若，.求： （1）的值； （2）的值. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，.向量，，且. （1）求角； （2）若，，求的面积. 17. 已知函数，，相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，若，求的取值范围. 18. 在中，为的中点，点在边上，交于点，且，设，. （1）试用，表示，； （2）已知，，，求的值. 19. 对于平面向量，定义“变换”：，. （1）若向量，，求； （2）已知，，，且与不平行，，，若在上有且仅有两个不同的根，求的取值范围； （3）若向量，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $