精品解析：内蒙古锡林郭勒盟三县多校联考2025-2026学年九年级数学第二次模拟考试

2025-2026学年度锡林郭勒盟三县多校联考 九年级数学第二次模拟考试 考试时间：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1. 如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后，与“悟”字所在面相对的面上的字是（　　） A. 数 B. 学 C. 抽 D. 象 2. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为5作圆，则原点一定（ ） A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 与圆相交 3. 如图，一只松鼠先经过第一道门（，或），再经过第二道门（或）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是一靶盘，圆内接四边形是边长为2的正方形，现随意向该标靶区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与关于轴对称，则抛物线与轴的交点情况是（ ） A. 没有或有一个交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 没有交点 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（ ） A. B. C. D. 7. 我们知道订书针的两条短边垂直长边．如图是由三枚完全相同的订书针，，拼成的图形，点B，E，C，F在同一条直线上，点D，K，L分别在，，上，，．当点，I重合时，的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，4个全等的直角三角形围出一个正方形，过点P，Q分别作的平行线，过点M，N分别作的平行线得四边形．则下列关于线段和的关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9. 为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某县开展了跳绳比赛，某校为选拔一名1分钟跳绳比赛运动员，组织了几次预选赛，其中甲、乙、丙、丁四名运动员较为突出，他们在几次选拔赛中成绩平均数与方差如下表．根据表中数据，学校要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择______运动员．（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”） 甲 乙 丙 丁 平均数/个 方差 10. 如图，平分，，如果 ，那么_________________． 11. 如图，在矩形中，，点O为的中点，以O为圆心，长为半径画弧，交于点E，若点E为的中点，则图中阴影部分的面积为__________． 12. 如图，为半圆直径，，连接交半圆于D，连接，作交直径于E，则______________． 三、解答题（共64分） 13. 为了落实国家教育数字化战略行动有关要求，提升师生数字素养，我区决定组织开展2022—2023年度学生信息素养提升实践活动．某校九年级460名学生在“信息素养提升”培训后参加了一次水平测试，按评比标准将测试成绩全部折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”和“10分”5个成绩．为了解培训效果，学校用抽样调查的方式从中选取了部分学生的测试成绩，绘制成下面两幅不完整的统计图： （1）请补全条形统计图；本次抽样调查的学生人数是______；本次抽样调查的测试成绩众数是______； （2）若测试成绩为9分、10分是“优秀”，试估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数； （3）在本次抽样调查中，有2名男生和2名女生的测试成绩都为10分，现从他们中随机选取2人代表学校参加比赛，求选中的2人恰好两名男生的概率． 14. 如图，已知，是延长线上一点，与交于点，． （1）求证：； （2）若面积为，求的面积． 15. 为了测量某古塔的高度，小明将一根长的竹竿（），立在处，当塔顶点，竹竿顶点以及地面点同一条直线时，测得，然后小明将竹竿向前移动（），当点、、共线时，测得，求古塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 16. 在数学课上，老师请同学们思考如下问题： 如图，四边形为正方形，以为直径作，请用无刻度直尺过点C作的切线（除外） 小超同学设计的作图过程是这样的： ①连接交于点E； ②连接并延长交于点M； ③连接，交于点N，连接，则直线为的切线． （1）根据小超的设计，完成作图； （2）你认为小超的设计正确吗？为什么？请说明理由． 17. （1）计算：； （2）因式分解：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点．过点作轴交抛物线对称轴于点，作于点，求的最大值： （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线上方），已知，若线段与抛物线有交点，请求出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度锡林郭勒盟三县多校联考 九年级数学第二次模拟考试 考试时间：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1. 如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后，与“悟”字所在面相对的面上的字是（　　） A. 数 B. 学 C. 抽 D. 象 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可解答． 【详解】解：与“悟”字所在面相对的面上的字是学， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为5作圆，则原点一定（ ） A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 与圆相交 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，求出原点到圆心的距离，再与半径作比较，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 原点到圆心的距离， ∵半径为5， ∴原点在圆上， 故选：C． 【点睛】 3. 如图，一只松鼠先经过第一道门（，或），再经过第二道门（或）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的结果数，再根据概率公式求解即可，熟练掌握用树状图或列表法求概率解题的关键． 【详解】画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的只有种结果， ∴松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率为， 故选：． 4. 如图，这是一靶盘，圆内接四边形是边长为2的正方形，现随意向该标靶区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、几何概率，连接、，求出，圆的面积为，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ， 圆内接四边形是边长为2的正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 圆的面积为， 飞镖落在阴影区域的概率为， 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与关于轴对称，则抛物线与轴的交点情况是（ ） A. 没有或有一个交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 没有交点 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线与关于轴对称，可得，即，再根据一元二次方程的根的判别式判断解的情况，进而可得抛物线与轴的交点情况． 【详解】解：抛物线的对称轴为：， 抛物线的对称轴为：， 抛物线与关于轴对称， ， ， 中，，， ， ， ， ， 有两个不相等的实数根， 抛物线与轴有两个交点，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，涉及二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式，坐标与图形变化——轴对称，解题的关键是根据“抛物线与关于轴对称”得出两个抛物线的对称轴关于y轴对称，进而求出． 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的实际应用， 先根据待定系数法求出解析式，代入函数求值即可，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】设电流与电阻函数关系为， ∵图象经过点， ∴， 解得：； ∴， 当时，， 故选：． 7. 我们知道订书针的两条短边垂直长边．如图是由三枚完全相同的订书针，，拼成的图形，点B，E，C，F在同一条直线上，点D，K，L分别在，，上，，．当点，I重合时，的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点J作，交于点N，交于点M，证明，设，利用全等，相似的性质计算即可． 【详解】如图，过点J作，交于点N，交于点M，设， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ 解得， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 8. 如图，4个全等的直角三角形围出一个正方形，过点P，Q分别作的平行线，过点M，N分别作的平行线得四边形．则下列关于线段和的关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，过点C作，，根据正方形的性质可知，由平行线的性质，可得，，设，，根据，可得，再根据， ，可得，，证明四边形是矩形，可得，进而求出线段的长，证明，得到，进行判断即可． 【详解】解：连接、，过点C作，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴，，， 设，， 由题意可知， ∴，，， ∴，， ∵， ， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ， 同理：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9. 为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某县开展了跳绳比赛，某校为选拔一名1分钟跳绳比赛运动员，组织了几次预选赛，其中甲、乙、丙、丁四名运动员较为突出，他们在几次选拔赛中成绩平均数与方差如下表．根据表中数据，学校要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择______运动员．（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”） 甲 乙 丙 丁 平均数/个 方差 【答案】甲 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义进行分析判断． 【详解】解：由表中数据，可知甲运动员成绩的平均数高且方差较低，故应选择甲运动员． 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差及算术平均数的定义，解题的关键是了解方差及平均数的计算方法，难度不大． 10. 如图，平分，，如果 ，那么_________________． 【答案】4 【解析】 【分析】由角平分线的定义及平行线的性质可得，得到，由可得，证明可得，求出的长即可得到答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 11. 如图，在矩形中，，点O为的中点，以O为圆心，长为半径画弧，交于点E，若点E为的中点，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点F，利用矩形的性质证明，可得，进而可得，即可求解． 【详解】如图，连接交于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点O为的中点，点E为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，证明是解题关键． 12. 如图，为半圆直径，，连接交半圆于D，连接，作交直径于E，则______________． 【答案】##0.05 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，连接，先证明，推出，再证明，进而求出的长，进一步求的长，再利用正切的定义进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵为半圆直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵为半圆直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（共64分） 13. 为了落实国家教育数字化战略行动有关要求，提升师生数字素养，我区决定组织开展2022—2023年度学生信息素养提升实践活动．某校九年级460名学生在“信息素养提升”培训后参加了一次水平测试，按评比标准将测试成绩全部折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”和“10分”5个成绩．为了解培训效果，学校用抽样调查的方式从中选取了部分学生的测试成绩，绘制成下面两幅不完整的统计图： （1）请补全条形统计图；本次抽样调查的学生人数是______；本次抽样调查的测试成绩众数是______； （2）若测试成绩为9分、10分是“优秀”，试估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数； （3）在本次抽样调查中，有2名男生和2名女生的测试成绩都为10分，现从他们中随机选取2人代表学校参加比赛，求选中的2人恰好两名男生的概率． 【答案】（1）20人，9分 （2）估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数是253人； （3） 【解析】 【分析】（1）由8分的学生人数除以所占百分比得出本次抽样调查的学生人数，即可解决问题； （2）由九年级学生人数乘以测试成绩为“优秀”的人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选中的2人恰好是两名男生的结果有2种，再由概率公式即可得出结论． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的学生人数是人； 本次抽样调查中，6分的学生人数为：人， 9分的学生人数为：人， 补全条形统计图，如图： 由图形知，9分的学生人数最多， 本次抽样调查的测试成绩众数是9分， 古答案为：20人，9分； 【小问2详解】 解：人， 答：估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数是253人； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中选中的2人恰好是两名男生的结果有2种， 选中的2人恰好是两名男生的概率， 答：选中的2人恰好两名男生的概率是． 14. 如图，已知，是延长线上一点，与交于点，． （1）求证：； （2）若面积为，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， （2）． 【解析】 【分析】（1）要证，需找出两组对应角相等，利用平行四边形的对角相等，再利用，可得一对内错角相等，则可证； （2）由，根据相似比，求出的面积，可求出四边形的面积，同理可根据，可求出的面积，由此可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键. 15. 为了测量某古塔的高度，小明将一根长的竹竿（），立在处，当塔顶点，竹竿顶点以及地面点同一条直线时，测得，然后小明将竹竿向前移动（），当点、、共线时，测得，求古塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数值，结合直角三角形表示出、、、，再根据即可求解．解题的关键在于正确利用正切值进行计算． 【详解】解：由题意可知，，，，，， 则 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 而， 即：， ∴． 16. 在数学课上，老师请同学们思考如下问题： 如图，四边形为正方形，以为直径作，请用无刻度直尺过点C作的切线（除外） 小超同学设计的作图过程是这样的： ①连接交于点E； ②连接并延长交于点M； ③连接，交于点N，连接，则直线为的切线． （1）根据小超的设计，完成作图； （2）你认为小超的设计正确吗？为什么？请说明理由． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）小超的设计正确． 理由如下：连接，，如图所示， ∵是直径， ∴，即， ∵四边形为正方形， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线为的切线． 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）连接，，如图所示，先由圆周角定理得到，即，再由正方形的性质得到，，则三点共线，即可得到，证明，得到，进而证明四边形为平行四边形，证明，进一步证明，得到，由此即可证明直线为的切线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，绝对值，三角函数及负整数指数幂，再合并即可； （2）先将原式整理，再因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算和因式分解，熟练掌握二次根式和绝对值的化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义以及因式分解的常用方法是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点．过点作轴交抛物线对称轴于点，作于点，求的最大值： （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线上方），已知，若线段与抛物线有交点，请求出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与轴交于点，对称轴是直线 ，得，，即得； （2）求出点，，可得直线的解析式为．过点P作轴于点K，交于点Q，得，得，设，则，得，，得，得当时，取得最大值； （3）当点N在抛物线上时，设，得，当时，，解得，当时，，解得，故点的横坐标的取值范围：或． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，对称轴是直线 ， ∴，， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， 故点， 又当时， ， 解得， 故， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴于点K，交于点Q， 则轴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴， 设， 则， ∴； ∵轴交抛物线对称轴于点E， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值； 【小问3详解】 解：，∵点是直线上一动点，线段（点在直线上方）， ∴当点N在抛物线上时，设， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时， ， 解得， ∵线段与抛物线有交点， ∴或， 故点的横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数解析式确定，解方程组，线段平移，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $