精品解析：2025年内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考九年级二模数学试题

2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考 九年级数学第二次模拟考试卷 考试分数：100分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的意义．乘积是1的两个数互为倒数．1的倒数是1，0没有倒数．求一个分数的倒数，把分子和分母调换位置即可，由此解答． 【详解】题目给出的数是 ， 将分子和分母交换位置，原数的分子是 −1，分母是 3，交换后得到 ． 选项中 −3 对应选项 B． 故选择：B． 2. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ） A. B. AB＝AD C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、由，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ， ∴不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D．∵， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 反比例函数的图象过点，下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，由反比例函数系数判断即可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象过点， ， A、，故点在反比例函数的图象上，故此选项符合题意； B、，故点不在反比例函数的图象上，故此选项不合题意； C、，故点不在反比例函数的图象上，故此选项不合题意； D、，故点不在反比例函数的图象上，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数系数是解题的关键． 4. 如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．由正五边形纸片，可得，由，可得，由折叠的性质可知，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵正五边形纸片， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， 故选：B． 5. 如图是由4个全等的直角三角形拼成的图形，该图形表示勾股定理的一种证明方法，此方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是15，整个图形（连同空白部分）的面积是39，则正方形的边长是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，根据题意可列出方程组，解方程组，即可求得． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c 根据题意得： 解得， ∴或(舍去) 故正方形的边长是 故选：B． 【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，结合图形和题意列出方程组是解决本题的关键． 6. 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中． 则下面叙述中正确的是（ ） A. 点A的横坐标有可能大于3 B. 矩形1是正方形时，点A位于区域② C. 当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小 D. 当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等 【答案】D 【解析】 【分析】由图形可知：当时，，从而可判断A；根据点A是直线与双曲线的交点可判断B；求出可判断C；由点A位于区域①可得，由形2落在区域④中可得，从而可判断D． 【详解】设点（x，y均为正数）， A、设反比例函数解析式为：， 由图形可知：当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点A的横坐标不可能大于3， 故选项A不正确； B、当矩形1为正方形时，边长为x， ， 则点A是直线与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③， 故选项B不正确； C、当一边为x，则另一边为， ∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小， ∴矩形1的面积会越来越大， 故选项C不正确； D、当点A位于区域①时， ∵点， ∴，即另一边为：， 矩形2落在区域④中，，即另一边， ∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等； 如矩形的两条邻边长分别为0.9，2.9时，两个矩形都符合题意且全等， 故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象和新定义，理解x和y的意义是关键，并注意用数形结合的思想解决问题． 7. 如图，在平面直角坐标系中放置三个长为3，宽为1的矩形，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设AC与y轴交于点D，AB与y轴交于点E，AF⊥y轴，过点E作EG⊥AD，垂足为G，CH⊥EH，BM⊥MH，证明△DHC≌△DFA，△AFE≌△BME，求得AD，AG，EG，DE，后用三角函数计算即可． 【详解】设AC与y轴交于点D，AB与y轴交于点E，AF⊥y轴，过点E作EG⊥AD，垂足为G，CH⊥EH，BM⊥MH， 根据题意，得FH=1，FM=2， ∵四边形都是相同的矩形， ∴FH=AF=1，∠CHD=∠AFD=90°，∠CDH=∠ADF， ∴△DHC≌△DFA， 同理可证，△AFE≌△BME， ∴DH=DF=，EF=EM=1， ∴AD=，DE=， ∵， ∴EG=， ∴DG==， ∴AG=AD-DG=， ∴tan∠BAC=， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键． 8. 如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得，可得，，从而，即可解得． 【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示： ∵CD⊥x轴，CE⊥y轴， ∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°， ∴四边形EODC是矩形， ∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∵A（0，2），C（m，3）， ∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2， ∴AE＝OE−OA＝CD−OA＝1， ∴， 在Rt△BCD中，， 在Rt△AOB中，， ∵OB＋BD＝OD＝m， ∴， 化简变形得：3m4−22m2−25＝0， 解得：或（舍去）， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 如图，，的坐标分别为，．若将线段平移至，，的坐标分别为，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出线段向右平移了3个单位，向上平移了2个单位，即可得出、的值，从而得出答案． 【详解】解：由的对应点的坐标为知，线段向上平移了2个单位， 由的对应点的坐标为知，线段向右平移了3个单位， 则，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 10. （洞孔成像）如图，，物像所在正方体的面与平面垂直，根据图中尺寸，已知物像的长为4，那么物长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． 过点O作于点C，延长交于点，再证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点O作于点C，延长交于点，如图， ， 依题意得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：12． 11. 如图，在中，，以为直径的圆交于点D，连接，点P是上一点，过点C作，延长交于E，交于F，若，，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】首先，再证明，可得，进而可得，再利用等量代换可得结论． 【详解】证明：连接，如图所示． ∵为直径， ∴， ， 垂直平分，． ， ， 即． ， 又， ． ∴，即． ， ． ∵，， ∴， 故答案为：6 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质、平行线的性质，圆周角定理的应用，证明是解题的关键． 12. 如图，在正方形中，点，分别为，的中点，连接，点是线段上一点，连接，延长交于点，若，，则的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于N，过点F作于H，由正方形的性质得，，，，由勾股定理得，再证明，得，从而求得，，继而求得，，，然后证明，得，即，从而求得，继而求得，最后证明，得∴，即，从而可求得． 【详解】解：连接交于N，过点F作于H，如图， ∵正方形， ∴，，，， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题词考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握相似三角形判定与性质是解题的关键． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局． （1）一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少． （2）如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少?用列表法或画树状图法加以说明． （3）你认为这个游戏对小刚和小明公平吗?为什么? 【答案】（1） （2） （3） 公平．理由如下： 由树状图可求得P（一次出牌小明胜小刚）=， ∴P（一次出牌小刚胜小明）=P（一次出牌小明胜小刚），即两人获胜的概率相等， ∴这个游戏对小刚和小明公平． 【解析】 【分析】本题考查的是游戏的公平性、树状图法求概率， （1）易得总情况数为3，小刚出“象”牌的次数为1，结合概率公式求解即可； （2）结合题意画出树状图，则可能出现的结果有9种，其中小刚胜小明的结果有3种，由此结合概率公式计算即可； （3）结合树状图确定小明胜小刚的概率，比较二人获胜的概率的大小关系即可得出结论； 掌握概率公式是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得共3张牌，随机出牌， ∴P（一次出牌小刚出“象”牌）=； 【小问2详解】 在一次出牌小刚胜小明的概率为， 画树状图如图所示， 由树状图可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种， ∴P（一次出牌小刚胜小明）=； 【小问3详解】 略 14. （1）计算：． （2）若，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的加减计算，求特殊角三角函数值和负整数指数幂： （1）先计算特殊角三角函数值，再化简二次根式和计算负整数指数幂，最后计算二次根式加减法即可； （2）先得到，再利用分式的混合计算法则化简分式，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴ ． 15. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从点正上方点C沿正东方向以的速度飞行到达点D，此时测得点A的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点B的俯角为． （1）求无人机的高度；（结果保留根号） （2）求隧道的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的性质等相关知识点，熟练解直角三角形是解题的关键． （1）先根据速度和时间得到路程，再利用特殊角的正切值即可得到长度； （2）先根据速度和时间即可得到路程，再利用矩形的性质及正切值得到的长度． 【小问1详解】 解：由题知， ∴在中，， ∴， 答：故无人机的高度是； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 答：隧道的长度约为． 16. （1）爱探索的小刚同学将长方形纸片沿它的对角线所在直线折叠后，如图1所示，边的对应边与交于点F，连接． 发现一：是______三角形； 发现二：的位置关系是______； 于是，他提出问题：对于任意平行四边形是否也具有相同的结论呢？ （2）如图（2），将（1）的“长方形纸片”改为“”，其他条件不变，请问（1）中的发现一和发现二是否成立？如果成立，请选择其中一个进行证明，如果不成立，请说明原因； （3）拓展应用：如图（3），已知，点A，B为定点，点C在射线上运动，分别过点A，点C作的平行线，交点为点D，将沿着所在直线折叠，点B的对应点为点E，连接，若，请直接写出当为多少度时，为等腰三角形． 【答案】（1）等腰，； （2）解：（1）中的发现一和发现二成立，证明如下； 证明：∵， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴是等腰三角形， 如图（2），过作交的延长线于， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴（1）中的发现一和发现二成立； （3）或 【解析】 【分析】（1）由长方形，可得，，则，由翻折的性质可知，，，则，可证是等腰三角形，如图（1），过作交的延长线于，则，，证明四边形是平行四边形，进而可得； （2）证明过程同理（1）； （3）由，，证明四边形是平行四边形，，则，，，，由翻折的性质可知，，，，，由题意知，当为等腰三角形时，分，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴是等腰三角形， 如图（1），过作交的延长线于， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：等腰，； （2）略 （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，，， 由翻折的性质可知，，，，， 由题意知，当为等腰三角形时，分，两种情况求解； 当时，， ∴，， 设，， ∴，，， 解得，， 如图（3）记交点为， ∴， ∴，即， ∴； 当时，， 设，则，， ∴， 如图（4）记交点为， 图（4） ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，当为或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等角对等边，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等角对等边，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 17. 已知抛物线与轴交于点和点，且过点． （1）求该抛物线的解析式及其对称轴； （2）连接，若抛物线上有一点满足，求点的坐标； （3）若点是轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，当取最小值时，求点的坐标及这个最小值． 【答案】（1）， （2）(-5,12) （3）， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）设P点坐标为：(n,)，在直角△ACP中，根据勾股定理有：，根据A、C、P三点的坐标求出、、，即可得到关于n的方程，充分利用完全平方公式化简，即可求出n的值，则P点坐标可求； （3）在线段AD上取一点E，使得ED=OB，连接EM，证得Rt△MDE≌Rt△QOB，即有BQ=ME，则MC+MQ+BQ=MC+1+ME，可知当M、C、E三点共线时，MC+MQ+BQ的值最小，则根据勾股定理即可求出MC的长度求出该最小值，利用待定系数法求出直线EC的解析式，求出其与抛物线对称轴的交点坐标即可得M坐标． 【小问1详解】 ∵将A(-3,0)、C(2,5)代入到， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴对称轴， 即对称轴为； 【小问2详解】 设P点坐标为：(n,)， ∵∠ACP=90°， ∴△ACP是直角三角形， ∴根据勾股定理有：， 根据A(-3,0)、C(2,5)、(n,)， 则有， ，， 根据， 可得：， 充分利用平方差公式，化简得：， 则有n=-5或者2， 当n=2时，p点与C点重合，不符合题意舍去， ∴n=-5，此时， 即P点坐标为(-5,12)； 【小问3详解】 ∵令y=0，可得，， 解此方程即可得到抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为：(1,0)， 则有OB=1， 设对称轴与x轴交于D点，则有MD⊥AB，则D点坐标为(-1,0)，即DO=1， 如图，在线段AD上取一点E，使得ED=OB，连接EM， 则有ED=OB=1，EO=ED+OD=2，即E点坐标为(-2,0)， ∵MQ⊥MD， ∴可知四边形MQDO是矩形， ∴MD=QO，MQ=DO=1， ∵∠MDE=∠QOB=90°，DE=OB， ∴Rt△MDE≌Rt△QOB， ∴BQ=ME， ∴MC+MQ+BQ=MC+1+ME， ∴当M、C、E三点共线时，MC+MQ+BQ的值最小， 如下图，M、C、E三点共线， 则有ME+1+MC=1+EC， ∵E(-2,0)、C(2,5)， ∴， 则MC+MQ+BQ的最小值为：+1， 根据E(-2,0)、C(2,5)，设直线EC的解析式为， 则有：，解得， 即EC的解析式为， 当x=-1时，y=，即M点坐标为：(-1,) 即M点的坐标为：(-1,)，最小值为：+1． 【点睛】本题考查了用待定系数法求解抛物线和一次函数解析式、求抛物线对称轴、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，构造Rt△MDE≌Rt△QOB，得到MC+MQ+BQ=MC+1+ME是解答本题的关键． 18. 如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴于直，连接，点E是对称轴上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）E坐标为（3，－6）或 （3）存在，，，， 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设E（3，m），对称轴交BC于点F，运用待定系数法可得直线BC的解析式为，则F（3，），进而可得EF=|m+|，再运用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； （3）分四种情况：①点P对称轴右侧且在x轴上方；②点P对称轴右侧且在x轴下方；③点P对称轴左侧且在x轴下方；④点P对称轴左侧且在x轴上方，进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵经过点B（5，0）和点C（0，－3） ∴， 解得： ， ∴ 【小问2详解】 解：方法一、∵B（5，0），C（0，－3） ∴设直线BC的解析式为y=kx+b1（k≠0） ∴， ∴， ∴ ∵， 当y=0时，，解得，， ∴A（1，0）， B（5，0） ∴AB=4，抛物线的对称轴为x=3 在x轴上取点F，使FB=2AB，过点F作FE∥BC交抛物线的对称轴于点E ∴FB=2AB=8， ∴点F（－3，0）或（13，0） ∵EFBC ∴设直线EF的解析式为 ①当点F（－3，0）时， ∴， ∴ ∴， 当x=3时，， ∴E（3，）； ②当点F（13，0）时， ∴， ∴， ∴直线EF的解析式为， 当x=3时，y=－6 ∴E（3，－6）， 综上所述，点E的坐标为（3，）或（3，－6）； 方法二：过点C作CN⊥EF，垂足为点N ∵B（5，0），C（0，－3） ∴设直线BC的解析式为y=kx+b1（k≠0） ∴， ∴， ∴， ∵， 当y=0时，，解得，， ∴A（1，0）， B（5，0）， ∴AB=4，抛物线的对称轴为x=3， ∴S△ABC=×4×3=6 ∵S△BCE=2S△ABC ∴S△BCE=12 当x=3时， ∴F（3，） 设点E（3，m） ∴EF=－－m或m－（－） ∵S△BCE=S△BEF+S△EFC=×EF×BM+×EF×CN=EF×（BM+CN） =EF×BO ∴S△BCE= =EF ∴（－－m）=12或 （m+）=12 解得：m1=－6或m2= ∴点E坐标为（3，－6）或（3，） 【小问3详解】 设E（3，m），P（n，）， ①当点P对称轴右侧且在x轴上方时，如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作BG⊥PF于点G， ∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形， ∴∠BPE=90°，PB=PE， ∴∠BPG+∠EPF=90°， ∵∠G=∠PFE=90°， ∴∠BPG+∠PBG=90°， ∴∠PBG=∠EPF， ∴△BPG≌△PEF（AAS）， ∴BG=PF，PG=EF， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， ②当点P对称轴右侧且在x轴下方时，如图，过点P作PG⊥AB于G，过点E作EF⊥PG于点F， ∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形， ∴∠BPE=90°，PB=PE， ∴∠BPG+∠EPF=90°， ∵∠BGP=∠PFE=90°， ∴∠BPG+∠PBG=90°， ∴∠PBG=∠EPF， ∴△BPG≌△PEF（AAS）， ∴BG=PF，PG=EF， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， ③当点P对称轴左侧且在x轴下方时，如图，过点P作PG⊥AB于G，过点E作EF⊥PG于点F， ∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形， ∴∠BPE=90°，PB=PE， ∴∠BPG+∠EPF=90°， ∵∠BGP=∠PFE=90°， ∴∠BPG+∠PBG=90°， ∴∠PBG=∠EPF， ∴△BPG≌△PEF（AAS）， ∴BG=PF，PG=EF， ∴， 解得，（舍去）， 当n=0时， ∴， ④当点P对称轴坐侧且在x轴上方时，如图，过点P作PG⊥OB于G，过点E作EF⊥PG于点F， ∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形， ∴∠BPE=90°，PB=PE， ∴∠BPG+∠EPF=90°， ∵∠BGP=∠PFE=90°， ∴∠BPG+∠PBG=90°， ∴∠PBG=∠EPF， ∴△BPG≌△PEF（AAS）， ∴BG=PF，PG=EF， ∴， 解得（舍去），， 当时，， ∴， 综上所述，点P坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，添加辅助线构造全等三角形，分类讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考 九年级数学第二次模拟考试卷 考试分数：100分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 1 2. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ） A. B. AB＝AD C. D. 3. 反比例函数的图象过点，下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由4个全等的直角三角形拼成的图形，该图形表示勾股定理的一种证明方法，此方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是15，整个图形（连同空白部分）的面积是39，则正方形的边长是（ ） A. B. C. 5 D. 6. 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中． 则下面叙述中正确的是（ ） A. 点A的横坐标有可能大于3 B. 矩形1是正方形时，点A位于区域② C. 当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小 D. 当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等 7. 如图，在平面直角坐标系中放置三个长为3，宽为1的矩形，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 如图，，的坐标分别为，．若将线段平移至，，的坐标分别为，，则的值为______． 10. （洞孔成像）如图，，物像所在正方体的面与平面垂直，根据图中尺寸，已知物像的长为4，那么物长为_______． 11. 如图，在中，，以为直径的圆交于点D，连接，点P是上一点，过点C作，延长交于E，交于F，若，，则__________． 12. 如图，在正方形中，点，分别为，的中点，连接，点是线段上一点，连接，延长交于点，若，，则的长为______ ． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局． （1）一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少． （2）如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少?用列表法或画树状图法加以说明． （3）你认为这个游戏对小刚和小明公平吗?为什么? 14. （1）计算：． （2）若，求代数式的值． 15. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从点正上方点C沿正东方向以的速度飞行到达点D，此时测得点A的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点B的俯角为． （1）求无人机的高度；（结果保留根号） （2）求隧道的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 16. （1）爱探索的小刚同学将长方形纸片沿它的对角线所在直线折叠后，如图1所示，边的对应边与交于点F，连接． 发现一：是______三角形； 发现二：的位置关系是______； 于是，他提出问题：对于任意平行四边形是否也具有相同的结论呢？ （2）如图（2），将（1）的“长方形纸片”改为“”，其他条件不变，请问（1）中的发现一和发现二是否成立？如果成立，请选择其中一个进行证明，如果不成立，请说明原因； （3）拓展应用：如图（3），已知，点A，B为定点，点C在射线上运动，分别过点A，点C作的平行线，交点为点D，将沿着所在直线折叠，点B的对应点为点E，连接，若，请直接写出当为多少度时，为等腰三角形． 17. 已知抛物线与轴交于点和点，且过点． （1）求该抛物线的解析式及其对称轴； （2）连接，若抛物线上有一点满足，求点的坐标； （3）若点是轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，当取最小值时，求点的坐标及这个最小值． 18. 如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴于直，连接，点E是对称轴上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $