精品解析：江苏省南通市海门区2026年第一次学业质量监测 数学

江苏省南通市海门区2026年第一次学业质量监测数学 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 至2025年4月14日，在全球热映的国产动画片《哪吒之魔童闹海》票房收入已经突破156.36亿元，创造了国产电影的票房最高记录．156.36亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则锐角（ ） A. 30° B. 15° C. 45° D. 60° 6. 估计28的算术平方根介于（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 7. 2025年11月9日南通海门成功举办了马拉松比赛．已知赛程总长约为42km，其中甲选手的平均速度是乙选手的1.2倍，最终甲选手到达终点的时间比乙选手提前40分钟，若设乙选手的平均速度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将反比例函数的图象向右平移 个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（ ）． A. 该函数图象交 轴于点 B. 该函数图象关于点对称 C. 该函数图象关于直线对称 D. 该函数图象上任取两点，若，则 9. 如图，在矩形 中， ， ， ， 分别是边 ，上的动点，，设，，则 关于 的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象过点，，．若，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，第题每小题3分，第题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 因式分解：__． 12. 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数t之间的函数关系式为_______． 13. 如图，已知 ，点 在 上，以 为半径的 与直线 相切于点 ．若，则 ________ ． 14. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形 ，和 都是正方形．如果图中 与 的面积比为，那么的值为________． 15. 已知一次函数 和 ，当时，，则 的取值范围是__________． 16. 如图， 中， 是中线， 是高， ， 交于点． （1）__________°； （2）过点 作 交 于点 ，若，则 __________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，一海轮位于灯塔 的西南方向，距离灯塔海里的 处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔 的南偏东 方向上的 处，求航程 的值（结果保留根号）． 19. 利用图形的定义探索和证明几何图形的性质定理和判定定理是数学学习的重要方法，请完成菱形的其中一个判定定理的证明． 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 20. 某超市对 种商品的销售价格进行调整，据统计，调整前后各商品的日均销售量不变．有关数据如下表： 商品 原售价（元/件） 现售价（元/件） 日均销售量（件） （1）超市声称调整前后这 种商品的平均售价不变．请问超市是怎样计算的？ （2）然而部分消费者认为调整后这 种商品的平均售价增加了．请问消费者是怎样计算的？ 21. 一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是． （1）a的值是 ； （2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率． 22. 如图，已知 内接于是 的直径，连接 ，， 平分，． （1）求AC的长； （2）求图中阴影部分面积． 23. 2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量 件与售价 元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 120 130 140 150 160 （件） 1200 1100 1000 900 800 （1）求 与 的函数关系式； （2）求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等； （3）求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值． 24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与 轴交于点A，B（点 在点 左侧），与 轴交于点． （1）当 时，求点A，B的坐标； （2）若，求直线 的函数解析式； （3）将抛物线在 轴上方的部分沿 轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数图象记为 ，点在 上，当时，恒成立，直接写出的取值范围． 25. 如图，点E，F分别在正方形 的边 上，且，连接 交于点 ． （1）求 的度数： （2）在线段上截取 ，连接 交于点 ． ①求证：点 为 的中点； ②当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市海门区2026年第一次学业质量监测数学 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 2. 至2025年4月14日，在全球热映的国产动画片《哪吒之魔童闹海》票房收入已经突破156.36亿元，创造了国产电影的票房最高记录．156.36亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿, 故选C． 3. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：该几何体的主视图为： ． 4. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类项概念与幂的基本运算，掌握幂的运算法则即可求解，计算各选项结果后判断即可． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，因此A不符合要求． 选项B：根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ∵ ， ∴ 结果为，因此B符合要求． 选项C：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘． ∵ ， ∴ 结果不为，因此C不符合要求． 选项D：根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减． ∵ ， ∴ 结果不为，因此D不符合要求． 5. 若，则锐角（ ） A. 30° B. 15° C. 45° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选A． 【点睛】本题考查根据锐角三角函数值求角的度数．牢记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 6. 估计28的算术平方根介于（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】D 【解析】 【分析】利用夹逼法，找到与28相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质即可判断范围 【详解】解：28的算术平方根为 ， 又∵正数的算术平方根随被开方数增大而增大 即 ∴28的算术平方根界于5和6之间 7. 2025年11月9日南通海门成功举办了马拉松比赛．已知赛程总长约为42km，其中甲选手的平均速度是乙选手的1.2倍，最终甲选手到达终点的时间比乙选手提前40分钟，若设乙选手的平均速度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用公式“时间=路程÷速度”分别表示甲、乙的全程用时，统一时间单位后，根据甲比乙提前到达的时间关系列出方程即可 【详解】解：∵设乙选手的平均速度为， ∴甲选手的平均速度为. ∵总路程为，时间， ∴乙跑完全程的时间为，甲跑完全程的时间为. ∵甲比乙提前 分钟到达，统一单位得 分钟，且乙的用时大于甲的用时， ∴可列方程 8. 如图，将反比例函数的图象向右平移 个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（ ）． A. 该函数图象交 轴于点 B. 该函数图象关于点对称 C. 该函数图象关于直线对称 D. 该函数图象上任取两点，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】结合反比例函数的图象与性质以及平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：将 代入，得 ， ∴该函数的图象交 轴于点，故A错误； 对于选项B与C：∵关于点对称，且关于直线对称 又∵由向右平移1个单位得到， ∴关于点对称，且关于直线对称，故B错误，C正确； 对于选项D：举例，，则，， 满足，但不满足，故D错误． 9. 如图，在矩形 中， ， ， ， 分别是边 ，上的动点，，设，，则 关于 的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图形．过 作 的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出 关于 的表达式从而可以得到图象的形状． 【详解】解：过 作 于 ， 四边形 为矩形， ， ， ∴， 四边形也是矩形， ，， ， ， 在 上， 在上， ， ， ， 关于 的函数图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 故选：C． 10. 二次函数的图象过点，，．若，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，容易求得，结合，分两种情况讨论：当时和当 时． 【详解】根据题意可得，二次函数的对称轴为，且开口向下，所以． （Ⅰ）当时，可得 解不等式，得 （不符合题意，舍去）． （Ⅱ）当 时，可知 且，可得 解不等式组，得 ． 二、填空题（本大题共6小题，第题每小题3分，第题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 因式分解：__． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解即可得． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数t之间的函数关系式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出货物的总重量，然后根据平均卸货速度v 货物总重量 卸货时间进行求解即可． 【详解】解：设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数关系式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 13. 如图，已知 ，点 在 上，以 为半径的 与直线 相切于点 ．若，则 ________ ． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，三角形内角和定理，根据得到，即可求得 ，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， 与直线 相切于点 ， ， ， 故答案为：． 14. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形 ，和 都是正方形．如果图中 与 的面积比为，那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，可得，而 与 的面积比为，即得，设，则，在中，有，又，故． 【详解】解：都是正方形， ， ， ， ， 与 的面积比为， ， 设，则， ， 在中， ， 由“青朱出入图”可知：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理． 15. 已知一次函数 和 ，当时，，则 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的交点问题． 联立两个一次函数解析式求出交点横坐标，结合一次函数增减性和已知条件得到交点横坐标的范围，解不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：联立两个一次函数解析式得 令，解得， 即两函数交点的横坐标为， 一次函数 中，， 随 增大而增大，一次函数 中，， 随 增大而减小， 当 大于交点横坐标时，， 又 当时，， ， 不等式两边同乘 得：， 移项得：． 16. 如图， 中， 是中线， 是高， ， 交于点． （1）__________°； （2）过点 作 交 于点 ，若，则 __________． 【答案】 ①. 60 ②. 【解析】 【分析】（1）首先，取 的中点G， 连接，根据 是 的中线， 是 的高， 得到，， 是 的中位线，， 再根据 ， 得到，进而得，即可得出 的度数； （2）由(1)知 ，， 设，则，， 再证得， 得到，即， 解方程并检验即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，取 的中点G， 连接， ∵ 是 的中线， 是 的高， ∴，， ∴， ∵ 的中点为G， 是 的中线， ∴是 的中位线， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，由（1）知 ，， 设，则，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，(舍去)， 经检验，是原方程的解， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 检验：当时，． 原分式方程的解为． 18. 如图，一海轮位于灯塔 的西南方向，距离灯塔海里的 处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔 的南偏东 方向上的 处，求航程 的值（结果保留根号）． 【答案】海里 【解析】 【分析】首先作辅助线拆分：过点作 于，将 拆分为，得到两个含特殊角的直角三角形，再解三角形即可． 【详解】解：过点 作 于点 ． 在中，， ． 在中，． ． ． 答：航程 的值为海里． 19. 利用图形的定义探索和证明几何图形的性质定理和判定定理是数学学习的重要方法，请完成菱形的其中一个判定定理的证明． 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 【答案】 已知：如图， 中，． 求证：四边形 是菱形． 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ 平分 ． ， 垂直平分 ． ． 是菱形． 【解析】 【分析】按题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再利用平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质及菱形的判定即可证明． 【详解】略 20. 某超市对 种商品的销售价格进行调整，据统计，调整前后各商品的日均销售量不变．有关数据如下表： 商品 原售价（元/件） 现售价（元/件） 日均销售量（件） （1）超市声称调整前后这 种商品的平均售价不变．请问超市是怎样计算的？ （2）然而部分消费者认为调整后这 种商品的平均售价增加了．请问消费者是怎样计算的？ 【答案】（1） 解：超市是这样计算的： 调整前的平均售价： 元／件， 调整后的平均售价： 元／件， ∴调整前后这 种商品的平均售价不变； （2） 解：部分消费者是这样计算的： 调整前的平均售价：元／件， 调整后的平均售价：元／件， ， ∴部分消费者认为调整后这 种商品的平均售价增加了． 【解析】 【分析】（ ）根据算术平均数的定义解答即可求解； （ ）根据加权平均数的定义解答即可求解； 本题考查了算术平均数和加权平均数，掌握算术平均数和加权平均数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是． （1）a的值是 ； （2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率．掌握概率公式以及树状图的画法，是解题的关键． （1）根据概率公式，列出方程进行求解即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 解得： ，经检验，是原方程的解， 故答案为：2． 【小问2详解】 画出树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中摸到不同颜色的球的情况有4种， ∴． 22. 如图，已知 内接于是 的直径，连接 ，， 平分，． （1）求AC的长； （2）求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由 是 的直径，可得 ，再由BC平分，为等腰直角三角形，由锐角三角函数求AC的长即可； （2）连接OC，用减去可求出阴影面积． 【小问1详解】 解：是 的直径， ． 平分， ． ． 为等腰直角三角形． ； 【小问2详解】 连接OC，则． 23. 2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量 件与售价 元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 120 130 140 150 160 （件） 1200 1100 1000 900 800 （1）求 与 的函数关系式； （2）求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等； （3）求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值． 【答案】（1） （2）100元或180元 （3）100元 【解析】 【小问1详解】 设 与 的函数关系式为， , 解得 即 与 的函数关系式是． 【小问2详解】 由题意可得 ． 解得：． 答：当售价为每件100元或180元时，线上的销售量与线下的销售量相等． 【小问3详解】 设线上和线下销售量的和为 件， 则 ∴当时， 取得最大值为2800． 答：当售价为每件100元时，线上和线下销售量的和最大． 24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与 轴交于点A，B（点 在点 左侧），与 轴交于点 ． （1）当 时，求点A，B的坐标； （2）若，求直线 的函数解析式； （3）将抛物线在 轴上方的部分沿 轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数图象记为 ，点在 上，当时，恒成立，直接写出的取值范围． 【答案】（1）A，B （2）或 （3）的取值范围为或． 【解析】 【分析】（1）令 ，解方程即可求解； （2）令 ，求得，， ，根据题意求得点A的坐标为或，得到或，据此求解即可； （3）求得，分两种情况讨论，画出图象，列得不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：当 时，， 令 ，可得， 解得 ， ， ∴点A，B的坐标分别为，； 【小问2详解】 解：令 ，则， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴点A的坐标为或， ∴或， ∴或， ①当时， ∴，， 点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线 的解析式为， 则， 解得， ∴直线 的解析式为； ②当时， ∴，， 点B的坐标为，点C的坐标为， 同理可得直线 的解析式为； 综上，直线 的解析式为或； 【小问3详解】 解：由（2）得点A的坐标为，点B的坐标为，对称轴为直线， ∴， ∵当时，恒成立， 当点 在左侧， ∴，解得； 当点 在右侧，左侧， ∴， 解得； 综上，的取值范围为或． 25. 如图，点E，F分别在正方形 的边 上，且，连接 交于点 ． （1）求 的度数： （2）在线段上截取 ，连接 交于点 ． ①求证：点 为 的中点； ②当时，求的长． 【答案】（1） （2）①证明：过点 作 于 ． 又， ． ． 又， ． 又， ． ． ∴点 为 的中点． ② 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出． ，再由各角之间的等量代换即可求解； （2）①过点 作 于 ，根据全等三角形的判定得出，，再由其性质即可证明；②连接，设，则，根据等边对等角得出，再由平行线分线段成比例求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形 是正方形， ． 又， ． ， ． ． 【小问2详解】 解：①略 ②连接 设，则， ， ． ． ， ， ， ， ， 由①可知： ∴， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $