第2章 直线与圆的位置关系 单元培优卷 2025-2026学年 浙教版九年级下册数学

**基本信息** 聚焦直线与圆位置关系单元，覆盖切线性质、内心外心、动态几何等核心知识点，通过分层设计与情境化问题（如高铁转弯、半圆滚动）提升推理能力与空间观念，适配单元复习培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|位置关系判断、切线性质、内心角度计算|结合高铁转弯情境（题2），基础与中档题结合，考查几何直观| |填空题|6/18|切线长定理、网格作图（题16）、方程与位置关系|融入无刻度直尺作图，体现数学操作与抽象能力| |解答题|9/72|切线证明（题18）、动态翻滚问题（题21）、圆与几何综合|分层设计，从基础证明到动态路径计算，培养推理与应用意识|

第2章 直线与圆的位置关系 单元培优卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线 与 的位置关系为 （　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 2．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，点O是内切圆的圆心，已知，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，若tan∠BCO=，则tan∠ACO=（　　） A． B． C． D． 5．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．4.5 B．4 C．3 D．2 6．如图所示，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为3 的圆与PB的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切、相离或相交 7．如图，已知的半径长是2，BA，BC分别切于点A，C，连结BO并延长交于点，连结AD，CD．若四边形ABCD是菱形，则BD的长是（　　） A．5 B． C．6 D． 8．如图，已知等腰，，以为直径的圆交于点D，过点D的的切线交于点E，若，则的半径是（　　） A． B．5 C．6 D． 9．在平面直角坐标系中， 经过点 、 ， 与 轴相切于点 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． 或 D． 或 10．如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为6cm，AB＝6 cm，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，已知PA、PB分别切⊙O于A、B点，C为优弧ACB上除A、B一点，若∠P＝70°，则∠ACB的大小为　 　 度. 12．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则AB的长为　 　 13．如图，PA，PB是的切线，切点分别是A，B，如果，那么　 　. 14．如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则　 　°． 15．已知⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是，则直线AB与⊙O的位置关系是　 　. 16．如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，圆上的点 均在格点上． （1） 的面积为　 　； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出 外接圆的圆心 ，内切圆圆心 ，并简要说明圆心的位置是如何找到的（不要求证明）　 　 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，AB是圆O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线于点C. （1）求∠C的度数； （2）若AB＝2 ，求BC的长度. 18．如图，在Rt中，，点在AC上，以CE为直径的经过AB上的点，与OB交于点，且. （1）求证：AB是的切线； （2）若，求CF的长. 19．（1）引入： 如图1，直线为的弦，，交于点P，且，直线是否与相切，为什么？ （2）引申： 如图2，记（1）中的切线为直线l，在（1）的条件下，将切线l向下平移，设平移后的直线l与的延长线相交于点，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点，找出图2中与相等的线段，并说明理由． 20．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 21．如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A． 解答下列问题： （1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为.位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是. （2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数； （3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积； （4）求OA的长． [（2），（3），（4）中的结果保留π]． 22．已知内接于为的直径，弦与相交于点． （1）如图①，若平分，连接，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小． 23．如图，是的直径，点，为上的两点且，连接，交于点，点F为延长线上一点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24．如图，在中，，平分，交于点，经过，两点，且圆心在上 （1）尺规作图：请画出（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：是的切线． （3）若与的另一个交点为，，，求的长 25．在 中，弦 与直径 相交于点P， ． （1）如图①，若 ，求 和 的大小； （2）如图②，若 ，过点D作 的切线，与 的延长线相交于点E，求 的大小． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线 与 的位置关系为 （　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【解析】【解答】∵圆心O到直线a的距离等于半径=6， ∴直线 与 相切. 故答案为：B. 【分析】设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，①当d＜r时，直线与圆相交；②当d=r时，直线与圆相切；③当d＞r时，直线与圆相离，据此判断即可. 2．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， 故选：C． 【分析】 切线性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 此题关键在于发现所求角与已知转角的关系，并转化成求两个全等的直角三角形的内角。 3．如图，点O是内切圆的圆心，已知，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵点O是△ABC的内切圆， ∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∵∠ABC=50°，∠ACB=80°， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（50°+80°）=65°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°. 故答案为：B. 【分析】根据三角形的内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点可得OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，于是结合已知可求得∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形内角和定理即可求解. 4．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，若tan∠BCO=，则tan∠ACO=（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥AC于点E． ∵AB为⊙O的直径，⊙O的切线是BC， ∴∠ABC=90°． 又∵tan∠BCO=， ∴=， ∴OB=BC，则AB=BC．即△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=2AO，∠A=45°，OE=AE=AO， ∴tan∠ACO===． 故选B． 【分析】如图，过点E作OE⊥AC于点E．在Rt△OEC中运用三角函数的定义求解． 5．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．4.5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】【解答】连接AI、BI， ∵点I为△ABC的内心， ∴AI平分∠CAB， ∴∠CAI=∠BAI， 由平移得：AC∥DI， ∴∠CAI=∠AID， ∴∠BAI=∠AID， ∴AD=DI， 同理可得：BE=EI， ∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4， 即图中阴影部分的周长为4， 故答案为：B． 【分析】根据点I为△ABC的内心，可证得∠CAI=∠BAI，由平移的性质可得出∠CAI=∠AID，再证明∠BAI=∠AID，得出AD=DI，同理证得BE=EI，从而将要求△DIE的周长转化为线段AB的长。继而可得出答案。 6．如图所示，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为3 的圆与PB的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切、相离或相交 【答案】C 【解析】【解答】解：过O作OC⊥PB于C， ∵∠APB＝30°，OP＝6， ∴OC＝ OP＝3＜3 ， ∴半径为3 的圆与PB的位置关系是相交， 故答案为：C. 【分析】过O作OC⊥PB于C，根据直角三角形的性质得到OC＝3，根据直线与圆的位置关系即可得到结论. 7．如图，已知的半径长是2，BA，BC分别切于点A，C，连结BO并延长交于点，连结AD，CD．若四边形ABCD是菱形，则BD的长是（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【解析】【解答】解：连接AO，CO， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， 由圆周角定理得：∠AOB=2∠ADB， ∴∠AOB=2∠ABD， ∵BA切⊙O于点A， ∴OA⊥AB， ∴∠BAO=90°， ∴∠AOB+∠ABD=90°， ∴∠ABO=30°， ∵AO=2， ∴OB=2OA=4， ∴BD=OB+OD=6， 故答案为：C. 【分析】连接AO，CO，根据菱形的性质得到AB=AD，求得∠ABD=∠ADB，根据圆周角定理即可得到∠AOB=2∠ABD，根据切线的性质得到∠BAO=90°，即可得到∠ABO的度数，根据含30°角直角三角形的性质可得OB的长度，进而可得BD的长度. 8．如图，已知等腰，，以为直径的圆交于点D，过点D的的切线交于点E，若，则的半径是（　　） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，连接OD，BD， ∵DE是切线， ∴OD⊥DE， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°，且AB=BC， ∴AD=CD＝，且AO＝OB， ∴DO∥BC，且DE⊥OD， ∴DE⊥EC， ∴DE=， ∵tanC= ， ∴BD＝， ∴AB=， ∴OA=5 ， 故答案为：B． 【分析】连接OD，BD，利用勾股定理求出DE的长，结合tanC= ，求出BD的长，再利用勾股定理求出AB的长，即可得到OA的长。 9．在平面直角坐标系中， 经过点 、 ， 与 轴相切于点 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【解析】【解答】解：如图1，过P作PD⊥y轴于D，连接PC，PB， ∵⊙P与x轴相切于点C， ∴PC⊥x轴， ∴四边形OCPD是矩形， ∴PC=OD，PD=OC， ∵点A（0， ）、B（0，3 ）， ∴AB=2 ， ∴BD=AD= AB= ， ∴OD=OA+AD=2 ∴PC=OD=2 ， ∴PB=PC=2 ， 在Rt△PBD中， ， ∴P（3，2 ）； 如图2，同理可得，P（-3，2 ）， 综上所述，点P的坐标是（3，2 ）或（-3，2 ）， 故答案为：C. 【分析】 过P作PD⊥y轴于D，连接PC，PB，利用切线的性质可证得PC⊥x轴，易证四边形COPD是矩形，利用矩形的性质，可证得PC=OD，PD=OC；利用点A，B的坐标可求出AB，OA的长，即可得到AD的长，利用垂径定理求出BD的长；然后利用勾股定理求出PD的长，由此可得到点P的坐标；如图2，利用同样的方法，可求出点P的坐标. 10．如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为6cm，AB＝6 cm，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】如图，连接OC，则OC= =3， ∵AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB，即∠ACO=90°， ∵OA=OB，AB=6 ， ∴AC= AB=3 ，∠A=∠B， 在Rt△AOC中，tan∠A= ， ∴∠A=30°， ∴∠AOB=180°-∠A-∠B=120°， ∴S阴影=S△AOB-S扇形ODE= = ， 故答案为：C. 【分析】如图，连接OC，由切线的性质可得∠ACO=90°，根据OA=OB，AB=6 ，可得AC=3 ，∠A=∠B，在Rt△AOC中，可求得∠A=30°，继而可得∠AOB=120°，根据S阴影=S△AOB-S扇形ODE进行计算即可得. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，已知PA、PB分别切⊙O于A、B点，C为优弧ACB上除A、B一点，若∠P＝70°，则∠ACB的大小为　 　 度. 【答案】55 【解析】【解答】解：如图，连接 PA、PB分别切⊙O于A、B点， 故答案为：55. 【分析】连接 由AP、BP为圆的切线可得∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形内角和为360°可得∠AOB的度数，由同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半可得结果. 12．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则AB的长为　 　 【答案】 【解析】【解答】解：连接AB，并延长BO交圆于C，连接AC， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA=PB， 又∵∠P=60°， ∴∠PBA=60°； 又∵BC是圆的直径， ∴CB⊥PB，∠BAC=90°， ∴∠ABC=30°， 而BC=4， ∴在Rt△ABC中，cos30°= ， ∴AB=4× = ． 故答案为： 【分析】根据切线可得PA=PB，再利用锐角三角函数求出AB的长即可。 13．如图，PA，PB是的切线，切点分别是A，B，如果，那么　 　. 【答案】50° 【解析】【解答】解：如图所示是的切线，切点分别是 故答案为：50°. 【分析】由切线的定义知，，则四边形中，与互补，由圆周角定理知，则可求. 14．如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则　 　°． 【答案】66 【解析】【解答】解：连接OC、OD， ∵BF是切线，AB是直径， ∴∠ABF=90°. ∴∠AFB=68°， ∴∠BAF=90°-∠AFB=22°， ∴∠BOD=2∠BAF=44°. ∵， ∴∠COA=2∠BOD=88°， ∴∠CDA=∠COA=44°， ∴∠DEB=∠BAF+∠CDA=66°. 故答案为：66. 【分析】连接OC、OD，由切线的性质可得∠ABF=90°，则∠BAF=90°-∠AFB=22°，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAF=44°，结合可得∠COA=2∠BOD=88°，由圆周角定理可得∠CDA=∠COA=44°，根据外角的性质可得∠DEB=∠BAF+∠CDA，据此计算. 15．已知⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是，则直线AB与⊙O的位置关系是　 　. 【答案】相交 【解析】【解答】解：∵⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解， 解方程x2+6x﹣16＝0， （x+8）（x﹣2）＝0， 解得：x1＝﹣8（舍去），x2＝2， ∴r＝2， ∵点O到直线AB距离d是， ∴d＜r， ∴直线AB与圆相交. 故答案为：相交. 【分析】利用因式分解法求出方程的解，据此可得半径，然后结合直线与圆的位置关系进行判断. 16．如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，圆上的点 均在格点上． （1） 的面积为　 　； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出 外接圆的圆心 ，内切圆圆心 ，并简要说明圆心的位置是如何找到的（不要求证明）　 　 【答案】；解：如图，点O，点K即为所求；方法：取格点M，N作直线交于点J，取格点E，F，连接交网格线于点Q，取的中点P，作直线交直线于点O，交于点L，连接，交于点K，点O，点K即为所求．故答案为：取格点M，N作直线交于点J，取格点E，F，连接交网格线于点Q，取的中点P，作直线交直线于点O，交于点L，连接交于点K，点O，点K即为所求． 【解析】【解答】解：（1）的面积． 故答案为：； 【分析】（1）利用网格的特点，通过割补法来计算三角形的面积，我们可以把放在一个矩形里，然后利用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积，就可以得到的面积； （2）外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，内切圆的圆心是三角形是三条角平分线的交点，利用网格的对称性和格点的特点，通过构造垂直平分线和角平分线来找到圆心. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，AB是圆O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线于点C. （1）求∠C的度数； （2）若AB＝2 ，求BC的长度. 【答案】（1）解：连接 ， 则 ， ， ， ， ， （2）解： ， ， 由（1）可知， 为等腰直角三角形， ， . 【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODC=90°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠DOB的度数，进而根据三角形的内角和求得∠C； （2）根据等腰直角三角形的性质得出OC的长，进而根据线段的和差即可算出BC的长. 18．如图，在Rt中，，点在AC上，以CE为直径的经过AB上的点，与OB交于点，且. （1）求证：AB是的切线； （2）若，求CF的长. 【答案】（1）证明：连接OD， OB=OB，OD=OC，BD=BC (SSS) ODAB OD是的半径 AB是的切线 （2）解：设的半径为R 在Rt中， ，则AO=AE+OE=1+R，OD=R 根据勾股定理可得 ，则 解之得 R=1 OD=1 由（1）可知(SSS) 弧CF的长为： 【解析】【分析】（1）连接OD，证明(SSS)，得到，根据切线的判定定理即可证得结论； （2）设的半径为R，在Rt中， ，则AO=AE+OE=1+R，OD=R，根据勾股定理可得 ，解之得 R=1，根据可得，则，利用弧长公式可求得弧CF的长。 19．（1）引入： 如图1，直线为的弦，，交于点P，且，直线是否与相切，为什么？ （2）引申： 如图2，记（1）中的切线为直线l，在（1）的条件下，将切线l向下平移，设平移后的直线l与的延长线相交于点，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点，找出图2中与相等的线段，并说明理由． 【答案】解：（1）相切， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵为半径， ∴与相切； （2），理由： ∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）先根据，得到，再根据等腰三角形的性质可得，，然后利用等量代换可得，从而可得，再根据切线的判定可得出结论； （2）由（1）可得，等量代换可得∠，由，，易得，得出结论． 20．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ， ，， ， ， ， 是的半径，且， 直线是的切线． （2）解：是的直径，且于点M， ， ，， ， ， ， ． ​​​​​​ 【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再结合OA是的半径，即可证出直线是的切线； （2）先利用角的运算求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得 ，利用勾股定理求出AM的长，最后求出即可． 21．如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A． 解答下列问题： （1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为.位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是. （2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数； （3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积； （4）求OA的长． [（2），（3），（4）中的结果保留π]． 【答案】解：（1）∵⊙P的直径=4，∴⊙P的半径=2，∵⊙P与直线有一个交点，∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；故答案为：2，相切；（2）位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为=π，NP=2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．（3）点N所经过路径长为=2π，S半圆==2π，S扇形==4π，半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π．（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形．在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC﹣HC=NC﹣PA=1，于是sin∠NPH==，∴∠NPH=30°．∴∠MPA=60°．从而的长为=，于是OA的长为π+4+π=π+4． 【解析】【分析】（1）先求出圆的半径，再根据切线的性质进行解答； （2）根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长，再根据弧长公式求出的长，进而可得出结论； （3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH==即可∠NPH、∠MPA的度数，进而可得出的长， 22．已知内接于为的直径，弦与相交于点． （1）如图①，若平分，连接，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小． 【答案】（1）解：∵为的直径， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得，，则，再根据角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案. （2）连接，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据等边对等角可得，，根据角之间的关系可得∠OCD，∠POD，再根据切线性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案. 23．如图，是的直径，点，为上的两点且，连接，交于点，点F为延长线上一点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴设，则， 解得：， ∴． 【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，，再根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据切线的判定结合题意即可求解； （2）根据勾股定理得到AC，进而根据相似三角形的判定（AA）与性质证明得到，设，代入即可求解。 24．如图，在中，，平分，交于点，经过，两点，且圆心在上 （1）尺规作图：请画出（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：是的切线． （3）若与的另一个交点为，，，求的长 【答案】（1）解：如下图所示， 分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧， 两弧分别交于两点，过两点作直线交于点， 点即为所求圆心。 （2）证明：如下图所示，连接， 则， ， 平分， ， ， ， ， 是的切线。 （3）解：如下图所示，连接，过点作， ，， ， 设的半径为， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 。 【解析】【分析】（1）按照垂直平分线的作图步骤，作BD的垂直平分线，然后再连接两条弧与AB和BC的交点，其中与AB的交点即为所求。 （2）根据，易得，然后再根据平分，可知，进而可得，根据平行线的判定定理，可得，最后再根据平行线的性质可证结论成立； （3）连接，过点作，根据和CB的值，在直角三角形ABC中，根据正弦函数的定义：，代入数据即可求出AB的值，在直角三角形ADO中，根据正弦函数的定义：，求出圆的半径，然后再根据勾股定理可以求出AD的值，因为，根据平行线的性质，易得，然后再根据相似三角形对应边成比例可求出，的值，最后再根据勾股定理寄了求的长。 25．在 中，弦 与直径 相交于点P， ． （1）如图①，若 ，求 和 的大小； （2）如图②，若 ，过点D作 的切线，与 的延长线相交于点E，求 的大小． 【答案】（1）解： 是 的一个外角， ， ， ． 在 中， ， ． 为 的直径， ． 在 中， ， 又 ， ． （2）如下图所示，连接OD， ， ． ． 在 中，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知： ， ∴ ， 是 的切线， ．即 ， ， ． 故答案为： ． 【解析】【分析】(1)先由△CPB中外角定理求出∠C的大小，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠BAD的值；且∠ADC=∠ABC，再由直径AB所对的圆周角等于90°求出∠ADB=90°，最后∠ADB-∠ADC即可得到∠CDB的值；(2)连接OD，由CD⊥AB先求出∠DCB，再由圆周角定理求出∠BOD，最后由切线的性质可知∠ODE=90°，进而求出∠E的度数． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $