8.6.2-1直线与平面垂直的判定 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.6 空间直线、平面的垂直 §8.6.2（1）直线与平面垂直的判定【导学】【解析】 【导学目标】 1.掌握直线与平面垂直的定义 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能应用判定定理证明直线和平面垂直 【导学重点】能应用判定定理证明直线和平面垂直 【导学难点】直观想象、逻辑推理 【知识要点】 知识点1 直线与平面垂直的定义 1．如果直线l与平面α内的所有直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直， 记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. 2．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段， 叫做这个点到该平面的距离，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 知识点2 直线与平面垂直的判定定理 1．文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． 2．图形语言：如右图所示． 3. 符号语言：⇒l⊥α. 知识点3 直线与平面所成的角 1．如图，一条直线l和一个平面α相交，但不与这个平面垂直， 这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. 2．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影． 3．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 4．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是900； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00. 直线与平面所成角θ的取值范围是[00,900]. 典型例题 题型一 直线与平面垂直概念理解 【例1-1】下列说法中正确的个数是(　　) ①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α； ④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α. A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【解析】 ①：只和平面内 1 条直线垂直，不能判定，错误。 ②：只和平面内 2 条直线垂直（未说明相交），不能判定，错误。 ③：符合线面垂直的判定定理，正确。 ④：符合线面垂直的定义，正确。 所以正确的有 2 个， 故选：B. 【例1-2】如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　) ①三角形的两边； ②梯形的两边； ③圆的两条直径； ④正六边形的两条边． A．①③ B．② C．②④ D．①②④ 【答案】A 【解析】 ①：三角形的两边一定相交，能保证垂直，符合条件。 ②：梯形的两边可能平行（比如上下底），不一定相交，不能保证。 ③：圆的两条直径一定相交于圆心，能保证垂直，符合条件。 ④：正六边形的两条边可能平行（比如对边），不一定相交，不能保证。 所以能保证的是①③， 故选：A. 【例1-3】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 【答案】B 【解析】选项 A：若l⊥m，m⊂α，只能说明l垂直于平面α内的一条直线，不满足线面垂直的判定定理（需要垂直于平面内两条相交直线），所以不能推出l⊥α，A 错误. 选项 B：若l⊥α，l∥m，根据线面垂直的性质定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，所以m⊥α，B 正确. 选项 C：若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行，也可能异面，C 错误. 选项 D：若l∥α，m∥α，则l与m可能平行、相交或异面，D 错误. 故选：B. 【例1-4】已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（ ） A．AE⊥B1C B．直线B1D⊥平面A1BC1 C．异面直线AD1与OC1所成角为 D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m平面B1D1Q 【答案】BD 【分析】选项A：只有当E运动到线段B1C的中点时，AE⊥B1C才成立,可判断； 选项B:由DD1⊥平面A1B1C1D1，可得A1C1⊥B1D，同理可得BC1⊥B1D，从而可判断； 选项C:由 AD1BC1,则∠OC1B（或其补角）即为异面直线AD1与OC1所成的角．从而可求解判断； 选项D.由条件结合BDB1D1，可得mB1D1，从而可判断. 【解析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B， ∴B1C⊥平面ABC1D1， ∵只有当E运动到线段B1C的中点时，AE⊥B1C才成立，故A错误． 连接B1D1，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1， ∴DD1⊥A1C1，∵BD1⊥A1C1，BD1∩DD1＝D1， ∴A1C1⊥平面BDD1B1，∴A1C1⊥B1D， 同理可得BC1⊥B1D，又A1C1∩BC1＝C1， ∴直线B1D⊥平面A1BC1，故选项B正确． 连接BD，BC1，则AD1BC1， ∴∠OC1B（或其补角）即为异面直线AD1与OC1所成的角． 因为正方体的棱长为2，则BC1＝2，OB＝，在Rt△C1OB中，OC1＝， ∴cos∠OC1B＝，∴∠OC1B，故选项C错误． 由题意知如图2，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点， 直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BDB1D1， ∴mB1D1．∵平面B1D1Q， ∴m平面B1D1Q，故选项D正确． 故选：BD． 题型二 直线与平面垂直的定义及判定定理 【例2-1】下列说法中正确的个数是(　　) ①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与l垂直． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【例2-2】如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　) A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 【答案】C 【解析】∵α∩β=l，∴l⊂α，l⊂β ∵BA⊥α，l⊂α，∴BA⊥l（线面垂直的性质：如果直线垂直于平面，那么它垂直于平面内的任意一条直线） 同理，∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l 又∵BA∩BC=B，且BA,BC⊂平面ABC， ∴l⊥平面ABC（线面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面） ∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC 【例2-3】(多选题)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论正确的是(　　) A. BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D D．异面直线AD与CB1所成的角为45° 【答案】ABD 【解析】选项A：在正方体中，BD∥B1D1，∵BD⊂平面CB1D1，B1D1⊂ 平面CB1D1， ∴BD∥平面CB1D1，A 正确。 选项 B：在正方体中，AC⊥BD，CC1⊥BD，又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1， ∵AC1⊂平面ACC1，∴BD⊥AC1，B 正确。 选项 C：由选项 B 知AC1⊥BD，而BD∥B1D1，∴AC1⊥B1D1，同理可证ACC1⊥CBC1，又B1D1∩CB1=B1， ∴AC1⊥平面CB1D1，但选项 C 写的是AC1⊥平面CB1D（D不是D1）， 平面CB1D和平面CB1D1​不是同一个平面，C 错误。 选项 D：∵AD∥BC，∴∠BCB1就是异面直线AD与CB1所成的角， 在正方体中，△BCB1​是等腰直角三角形，∴∠BCB1=450，D 正确。 故选：ABD. 题型三 直线与平面垂直的证明 【例3-1】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，，且，，，分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，． 求证：平面； 【证明】：在中，因为，且为的中点，所以， 在矩形中，因为和分别为和的中点，可得， 因为平面，且平面，可得， 所以， 又因为，且平面， 所以平面. 【例3-2】如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F. 求证：(1)BC⊥平面PAB； (2)AE⊥平面PBC； (3)PC⊥平面AEF. 【解析】(1) 证明 BC⊥ 平面 PAB ∵PA⊥ 平面 ABC，BC⊂ 平面 ABC，∴PA⊥BC. 又∵∠ABC=90∘，∴AB⊥BC. ∵PA∩AB=A，且 PA,AB⊂平面 PAB， 根据线面垂直的判定定理， ∴BC⊥平面 PAB. (2) 由 (1) 知 BC⊥平面 PAB，AE⊂平面 PAB，∴BC⊥AE. 又∵AE⊥PB，且 PB∩BC=B，PB,BC⊂平面 PBC， 根据线面垂直的判定定理， ∴AE⊥平面 PBC. (3) 由 (2) 知 AE⊥平面 PBC，PC⊂平面 PBC， ∴AE⊥PC. 又∵AF⊥PC，且 AE∩AF=A，AE,AF⊂平面 AEF，根据线面垂直的判定定理， ∴PC⊥平面AEF. 【例3-3】如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． 证明：平面CDE； 【解析】因为平面，平面， 所以， 且，，平面， 所以平面，平面， 所以， 由条件可知四边形是正方形，所以， ，且平面， 所以平面； 【例3-4】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD. 求证：(1)CD⊥PD； (2)EF⊥平面PCD. 【解析】(1) ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面 ABCD，∴PA⊥CD. 又∵ 底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD. ∵PA∩AD=A，且PA,AD⊂平面PAD， ∴CD⊥平面 PAD（线面垂直判定定理）. ∵PD⊂平面PAD， ∴CD⊥PD (2) 取PD的中点G，连接AG、FG. ∵F是PC的中点，∴FG∥CD 且FG=CD ∵E是AB的中点，底面ABCD是矩形， ∴AE∥CD且AE=CD， ∴FG∥AE 且FG=AE，四边形AEFG是平行四边形， ∴EF∥AG. ∵PA=AD，G是PD中点， ∴AG⊥PD（等腰三角形三线合一）. 由 (1) 知 CD⊥平面 PAD，AG⊂平面 PAD，∴CD⊥AG. ∵PD∩CD=D，且PD,CD⊂平面 PCD， ∴AG⊥平面 PCD（线面垂直判定定理）. ∵EF∥AG， ∴EF⊥平面 PCD. 题型四 直线与平面所成的角 【例4-1】在正方体ABCD­A1B1C1D1中． (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值； (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角． 【解析】(1)在正方体ABCD­A1B1C1D1中， ∵AA1⊥平面ABCD， ∴∠A1CA就是直线A1C与平面ABCD所成的角 设正方体棱长为a，则AA1=a，. 在Rt△A1AC中： tan∠A1CA=.​ 即直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值为； (2) 连接AC交BD于点O，连接A1O. ∵AC⊥BD，正方体中BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴BB1⊥AC，又BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BDD1B1（线面垂直判定定理）. ∴A1O是A1B在平面BDD1B1内的射影，∠A1BO就是直线A1B与平面BDD1B1所成的角. 由（1）正方体棱长为a，则A1B=，AO=AC=， ∵A1A⊥AO，∴. 在Rt△A1BO中，BO=， sin∠A1BO=​ ∴∠A1BO=300. 即直线A1B与平面BDD1B1所成的角为300． 【例4-2】如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB. (1)求证：CD⊥平面PAB； (2)求直线PC与平面PAB所成的角． 【解析】(1)∵AB为圆O的直径，根据直径所对圆周角为直角，得∠ACB=900. 由AB=4，AD＝DB，得AD=1，DB=3.由BC=AC，结合AC2+BC2=AB2=16， 代入得：AC2+3AC2=16⟹ 4AC2=16⟹ AC=2,BC=​ 在△ABC中，cos∠ABC=，故∠ABC=300. 在△BCD中，由余弦定理：CD2=BC2+BD2−2⋅BC⋅BD⋅cos30∘ 代入BC=，BD=3,得CD=. 又AD=1，AC=2，故AD2+CD2=1+3=4=AC2，由勾股定理逆定理得∠ADC=90∘， 即CD⊥AB. 因为点P在圆O所在平面上的正投影为D， 所以PD⊥平面ABC，而CD⊂平面ABC，故PD⊥CD. 又AB∩PD=D，AB,PD⊂平面PAB，根据线面垂直判定定理， 得CD⊥平面PAB. (2) 由(1)知CD⊥平面PAB，所以∠CPD就是直线PC与平面PAB所成的角 已知PD=DB=3，CD=3，在Rt△PDC中： tan∠CPD=.​​ 故∠CPD=30∘. 即直线PC与平面PAB所成的角为30∘. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.6 空间直线、平面的垂直 §8.6.2（1）直线与平面垂直的判定【导学】 【导学目标】 1.掌握直线与平面垂直的定义 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能应用判定定理证明直线和平面垂直 【导学重点】能应用判定定理证明直线和平面垂直 【导学难点】直观想象、逻辑推理 【知识要点】 知识点1 直线与平面垂直的定义 1．如果直线l与平面α内的所有直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直， 记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. 2．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段， 叫做这个点到该平面的距离，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 知识点2 直线与平面垂直的判定定理 1．文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． 2．图形语言：如右图所示． 3. 符号语言：⇒l⊥α. 知识点3 直线与平面所成的角 1．如图，一条直线l和一个平面α相交，但不与这个平面垂直， 这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. 2．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影． 3．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 4．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是900； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00. 直线与平面所成角θ的取值范围是[00,900]. 典型例题 题型一 直线与平面垂直概念理解 【例1-1】下列说法中正确的个数是(　　) ①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α； ④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α. A．4 B．2 C．3 D．1 【例1-2】如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　) ①三角形的两边； ②梯形的两边； ③圆的两条直径； ④正六边形的两条边． A．①③ B．② C．②④ D．①②④ 【例1-3】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 【例1-4】已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（ ） A．AE⊥B1C B．直线B1D⊥平面A1BC1 C．异面直线AD1与OC1所成角为 D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m平面B1D1Q 题型二 直线与平面垂直的定义及判定定理 【例2-1】下列说法中正确的个数是(　　) ①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与l垂直． A．0 B．1 C．2 D．3 【例2-2】如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　) A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 【例2-3】(多选题)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论正确的是(　　) A. BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D D．异面直线AD与CB1所成的角为45° 题型三 直线与平面垂直的证明 【例3-1】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，，且，，，分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，． 求证：平面； 【例3-2】如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F. 求证：(1)BC⊥平面PAB； (2)AE⊥平面PBC； (3)PC⊥平面AEF. 【例3-3】如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． 证明：平面CDE； 【例3-4】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD. 求证：(1)CD⊥PD； (2)EF⊥平面PCD. 题型四 直线与平面所成的角 【例4-1】在正方体ABCD­A1B1C1D1中． (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值； (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角． 【例4-2】如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB. (1)求证：CD⊥平面PAB； (2)求直线PC与平面PAB所成的角． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $