精品解析：宁夏中卫市第一中学2025-2026学年第二学期4月份学情诊断评价高二数学

中卫市第一中学2025-2026学年度第二学期4月份学情诊断评价 高二数学 一、单选题:（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 等比数列中，与的等差中项为80，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】与的等差中项为80，则有，又，解得， 等比数列中，，所以. 2. 某班上午要上语文、数学、体育和外语四门课，体育老师因故不能上第一节和第二节，不同的排课方法有 （ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】优先安排体育课，再安排其余三节课，根据分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】先安排体育课，有种排法；再安排其余三节课，有种排法； 不同的排课方法有种排法. 故选：B. 3. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先构造函数，再求出导函数根据导函数正负得出单调性即可求出最值列式求出参数. 【详解】令，，则， 令，得；令，得， 则在上单调递减，在上单调递增，则， 又不等式恒成立，则，得， 则实数的取值范围为. 4. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意有两个不同正根，即有两个不同正根，则，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 又， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根（不妨设为）， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求得的单调区间，结合函数值确定正确选项. 【详解】由，可得函数的减区间为，增区间为， 当时，，可得选项为A． 故选：A 6. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原式转化为，以此构造函数，由题意得，参变分离后可得，由导数计算的最小值即可求解. 【详解】由题意得，即， 设，则在上单调递增， 即上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以. 7. 设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（ ） A. B. 16 C. D. 32 【答案】C 【解析】 【详解】解法1：因为点都在直线上， 所以①， 当时，②， ①-②得，，即，又， 所以． 解法2：因为点都在直线上， 所以①， 当时，②， ①-②得，，即， 当时，，即， 所以是一个首项和公比都为的等比数列． 所以． 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过构造函数​，将、、转化为函数值，对函数求导确定其在时单调递减，再根据自变量大小比较函数值大小. 【详解】由题意设函数​， 则，，， 又因为（）， 令，得， 所以当​时，，单调递减， 又因为，且都在递减区间， 所以，即. 二、多选题:（每小题5分，共20分.选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（ ） A. 若为等差数列，为前n项和，则，…仍为等差数列（） B. C. 的最大值为 D. 数列是递减数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等差数列的性质得到，结合从而判断数列的增减性，再结合等差数列的前项和公式，判断各选项 【详解】根据题意，数列是等差数列，设其公差为， 对于A，因为，， ，， 可得， 所以，，，构成等差数列，故A正确； 对于B、D，等差数列中，易得，又由，则，故B错误， 由，数列为递减数列，D正确； 对于C，由且，，结合数列为等差数列得的最大值为，C正确； 10. 已知函数，则（ ） A. B. 当时， C. 在上单调递增 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【详解】由得，，故，故A错误； 当时，，故，故B正确； 由得；由得； 则在上单调递增，在上单调递减， 故的最小值为，故C错误，D正确. 11. 已知函数，其中.则下列说法正确的是（ ） A. 函数必有零点 B. 若，则的对称中心为 C. 若有两个极值点，则的取值范围是 D. 存在实数，使得在上单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】A由零点存在定理判断；B化简，结合的性质以及图象变换得出；C求导，根据得出；D利用导函数的图象与性质推出矛盾. 【详解】选项A：，， 当时，，此时， 由零点存在定理可知在上必有零点，故A正确； 选项B：当时，得， 的对称中心为，将的图象向右平移1个单位， 再向上平移2个单位后得，所以其对称中心为，故B正确； 选项C：若有两个极值点，则有两个不相等的实根， 所以，解得，得或，故C错误； 选项D：若在上单调递减，则对任意恒成立， 因为是开口向上的二次函数，故不能恒成立，故D错误. 12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减，则 B. 当时，若有2个零点，则实数或 C. 当时，若，则 D. 若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用给定单调区间求出范围判断A；把代入，求出极值，结合零点个数判断B；求出单调区间判断C；求出对称中心判断D. 【详解】对于A，由函数在上单调递减，得，， 则，而函数在上单调递增，当时，，因此，A正确； 对于B，当时，，当或时，；当时，， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 又有2个零点，因此或，即或，B正确； 对于C，由选项B知在上单调递增，，则，C错误； 对于D， ，则函数的图象关于点成中心对称， 由直线与曲线有3个不同的交点，且，得点， 即，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 名男生和名女生站成一排拍照，不同的站法有___________种 （用数字作答） 【答案】120 【解析】 【详解】名男生和名女生站成一排拍照，即为5名学生站成一排拍照， 所以不同的站法有. 14. 将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目只培训一人，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有___________种 （用数字作答） 【答案】18 【解析】 【分析】先分析小明的分配方法，再将另外3名志愿者全排列，由分步乘法计数原理计算可得答案． 【详解】志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3种分配方法， 将另外3名志愿者分配剩下的3个项目，有种分配方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有种． 15. 城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届．假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目．若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为______． 【答案】132 【解析】 【分析】共有12个节目，只需排好2个“歌王对唱”节目即可，根据排列数计算即可得出答案. 【详解】添加节目后，共有12个节目， 因为保持原来10个节目的相对顺序不变， 则只需排好2个“歌王对唱”节目即可， 所以，不同的排法种数为． 故答案为：. 16. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数________． 【答案】2或4 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得切线为，分析可知方程有唯一解，进而可得结果. 【详解】因为，则，当时，， 则曲线在点处的切线为， 令，可得， 因为切线与曲线只有一个公共点， 即方程有唯一解， 则，解得或． 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设数列的前项和为，且. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用得到，用定义法证明是等差数列； （2）用裂项相消法求和. 【小问1详解】 当时，因为，所以， 所以，则. 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 所以 . 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为． （1）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； （2）若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. （2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【小问1详解】 椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 19. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1）极小值，无极大值； （2） 【解析】 【分析】利用导数判断函数单调性求解函数的极值及所在区间的值域即可. 【小问1详解】 已知函数的定义域为，， ​因，故，令得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为. 计算区间端点值， ， 因为，所以， 故最大值为. 因此在上的值域为. 20. 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值． （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间，即求得函数的极大值和极小值； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 21. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若在上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导后根据的取值分类讨论单调性即可. （2）分离参数，构造新函数，分析其单调性和最值，进而得出结果. 【小问1详解】 根据题意，的定义域为，对其求导． 当时，，在上单调递增； 当时，由得， 由得，由得， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上，时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 因为在上有两个零点，所以， 由得，令，对求导，得， 又，所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则有极大值，也就是最大值为， 又当时，； 当时，； 当时，， 所以在上有两个零点时，， 所以，即的取值范围是． 22. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对时，，求正实数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求解即可. （2）两次求导后，分和两种情况，结合零点问题，分析的单调性，确定使得对恒成立时正实数的值即可. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以，， 则曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意知，， 令， 所以， 当，，则， 此时, 当时，， 所以在上恒成立， 所以函数在区间上单调递增，且， ①当时，在区间上恒成立， 所以函数在上单调递减，此时，符合题意； ②当时，，， 由零点存在定理知，，使得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，有，不符合题意， 综上，正实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中卫市第一中学2025-2026学年度第二学期4月份学情诊断评价 高二数学 一、单选题:（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 等比数列中，与的等差中项为80，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 2. 某班上午要上语文、数学、体育和外语四门课，体育老师因故不能上第一节和第二节，不同的排课方法有 （ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（ ） A. B. 16 C. D. 32 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题:（每小题5分，共20分.选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（ ） A. 若为等差数列，为前n项和，则，…仍为等差数列（） B. C. 的最大值为 D. 数列是递减数列 10. 已知函数，则（ ） A. B. 当时， C. 在上单调递增 D. 的最小值为 11. 已知函数，其中.则下列说法正确的是（ ） A. 函数必有零点 B. 若，则的对称中心为 C. 若有两个极值点，则的取值范围是 D. 存在实数，使得在上单调递减 12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减，则 B. 当时，若有2个零点，则实数或 C. 当时，若，则 D. 若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则 三、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 名男生和名女生站成一排拍照，不同的站法有___________种 （用数字作答） 14. 将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目只培训一人，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有___________种 （用数字作答） 15. 城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届．假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目．若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为______． 16. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数________． 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设数列的前项和为，且. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为． （1）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； （2）若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 19. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在上的值域． 20. 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值． （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 21. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若在上有两个零点，求实数的取值范围. 22. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对时，，求正实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $