2026年中考数学一轮复习一：一元二次方程

2026年中考数学一轮复习一 ：一元二次方程 一、单选题 1．一元二次方程的实数根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．有实数根 2．设方程的两个根为，那么的值等于（    ） A． B． C．4 D．6 3．若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（   ） A．0 B．2 C． D．或2 4．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（    ）． A．且 B． C． D． 5．已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 6．关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（    ） A．0 B． C．4 D． 7．某校“研学”活动小组在一次野外实践中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A． B． C． D． 8．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是__________． 10．一元二次方程的一般形式是______． 11．一元二次方程的一个实数根是a，则的值为_____． 12．把方程配方成为________． 13．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则______秒时，的面积是． 三、解答题 14．解下列方程 (1) (2) 15．方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 16．已知关于的一元二次方程． (1)证明：当取不为0的任何值时，方程总有实数根； (2)为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 17．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)当，且a、b、c为连续自然数时，写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 18．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学一轮复习一 ：一元二次方程》参考答案 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知判别式小于0时，方程无实数根是解题的关键； 根据一元二次方程的判别式进行解答即可. 【详解】解：因为方程的判别式， 所以一元二次方程无实数根； 故选：B. 2．C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵方程的两个根为， ∴， ∴， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，解题的关键是根据常数项为0求出可能的m值，再依据一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选出正确结果． 根据方程常数项是0，列出关于m的方程求出m的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数，排除不符合的m值，得到最终结果． 【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0． 一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即． 解这个方程：，即 ∴ 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得． 因此，． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设一元二次方程的两个根为，，由题意得，，，由根与系数的关系可得，，，解得，再利用一元二次方程根的判别式求出的范围，即可得出答案． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，， 由题意得，，， 由根与系数的关系可得，，， 解得：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴k的取值范围是． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ． 是方程的两个实数根， ． ， 故选A． 6．D 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化简为一般式，再将一次项的系数为0且二次项系数不为0，求解即可． 【详解】解：， 一元二次方程不含一次项， ，， ，， 解得， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 9．， 【分析】此题考查换元法解一元二次方程，利用换元法转化方程是解题的关键； 把看成一个整体，根据方程的解，解方程即可． 【详解】令，则方程可化为， 关于的方程的解是，， 或， 解得，． 故答案为：，． 10． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可． 【详解】解： ， 整理得： 故答案为： 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值及恒等变形问题，熟练掌握和运用代数式求值及恒等变形的方法是解决本题的关键． 首先根据a是方程的一个根，可得，再把代数式进行恒等变形，化为含有的式子，据此即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再方程两边同加上4，利用完全平方公式变形即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 13．2或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为t 秒，则，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴2或3秒时，的面积是． 故答案为：2或3． 14．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， 解得：． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式代入进行变形计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 即， 解得， 则m的取值范围为； （2）由韦达定理可知：，， 若， 由可得， 即， 将，代入得：， 即， 解得， 由（1）可知，故符合题意， 因此，m的值为． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据关于的一元二次方程，则，且，即可作答． （2）运用因式分解法得或，结合方程有两个不相等的正整数根，为整数，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程， ∴，且 当取不为0的任何值时，总有， 所以方程总有实数根； （2）解：， ， 或， 由题意方程有两个不相等的正整数根， 即是正整数，且为整数，， ∴， ∴． 17．(1) (2)见解析 (3)1 【分析】本题考查勾股定理，根的判别式，一元二次方程的解： （1）根据，a、b、c为连续自然数得到，，，写出勾系一元二次方程即可； （2）利用根的判别式即可得证； （3）把代入方程得到，根据四边形的周长，求出，的值，根据勾股定理得到的值，利用完全平方公式求出的值即可． 【详解】（1）解：当，，时，， 能够组成一个勾系一元二次方程：； （2）根据题意得， ∵， ∴． 即， ∴“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）当时，有，即， ∵四边形的周长，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 18．(1) (2)或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，理解题中求解过程，熟练掌握换元法和转化思想的运用是解答的关键． （1）根据题意可得，然后去分母即可化为一般式； （2）仿照材料中的求解过程，利用换元法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $