第06讲一元二次方程（练习）【2大考点10大题型】---2025-2026学年山东省济南市中考数学一轮复习【一题多练】系列

第06讲 一元二次方程【2大考点10大题型】 【题型1  由一元二次方程的概念及其解求字母的值】 （2025·山东枣庄·中考真题） 1．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． （2025·内蒙古呼伦贝尔·中考真题） 2．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． （2025·广西柳州·中考真题） 3．一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项系数是_____． （2025·江西·中考真题）. 4．. 试写一个有两个不相等实根的一元二次方程:______________ （2025·四川南充·中考真题） 5．已知m是方程的一个根，则的值为___________． 【题型2  一元二次方程的解法】 （2025·山东东营·中考真题） 6．用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 （2025·河北·中考真题） 7．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 （2025·贵州·中考真题） 8．一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 （2025·江苏扬州·中考真题） 9．方程的根是_____． （2025·浙江绍兴·中考真题） 10．若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是_______． （2025·四川雅安·中考真题） 11．若，则_______． 【题型3  由一元二次方程判断根的情况】 （2025·四川自贡·中考真题） 12．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 （2025·辽宁抚顺·中考真题） 13．下列一元二次方程无实数根的是（    ） A． B． C． D． （2025·山东烟台·中考真题） 14．已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 （2025·山东菏泽·中考真题） 15．从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0中的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是__________． （2025·四川南充·中考真题） 16．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 【题型4  由根的情况判定字母的取值范围】 （2025·辽宁营口·中考真题） 17．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（        ） A． B．且 C． D． （2025·四川巴中·中考真题） 18．对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 （2025·四川甘孜·中考真题） 19．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 __． （2025·上海·中考真题） 20．已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____． （2025·广东广州·中考真题） 21．已知T= (1)化简T； (2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值． （2025·湖北十堰·中考真题） 22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． 【题型5  利用根与系数的关系求代数式的值】 （2025·西藏·中考真题） 23．已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（    ） A．－3 B． C．1 D． （2025·四川宜宾·中考真题） 24．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．－10 C．3 D．10 （2025·四川绵阳·中考真题） 25．关于的方程有两个不相等的实根、，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 （2025·四川成都·中考真题） 26．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． （2025·四川内江·中考真题） 27．已知a、b是方程的两根，则___________． （2025·湖南永州·中考真题） 28．若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【题型6  利用根与系数的关系求字母的值】 （2025·四川泸州·中考真题） 29．已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 （2025·湖北省直辖县级单位·中考真题） 30．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（    ） A． B． C．或1 D．或4 （2025·四川宜宾·中考真题） 31．若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________． （2025·四川达州·中考真题） 32．已知是方程的两个实数根，且，则的值为___________． （2025·湖北荆门·中考真题） 33．已知关于x的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由． （2025·北京·中考真题） 34．已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． （2025·湖北十堰·中考真题） 35．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． （2025·湖北黄石·中考真题） 36．阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为_______________________； (2)间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 【题型7  平均增长（下降）率问题】 （2025·四川眉山·中考真题） 37．眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． （2025·江苏南通·中考真题） 38．李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（    ） A．10.5% B．10% C．20% D．21% （2025·黑龙江牡丹江·中考真题） 39．张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是________． （2025·青海·中考真题） 40．某种药品原价每盒元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒元，则平均每次下调的百分率为_____． （2025·广西桂林·中考真题） 41．为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2018年该市投入基础教育经费5000万元，2020年投入基础教育经费7200万元． (1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率； (2)如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算．该市计划2021年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？ （2025·江苏南京·中考真题） 42．某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000kg，求南瓜亩产量的增长率． 【题型8  循环赛问题】 （2025·贵州毕节·中考真题） 43．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 （2025·黑龙江伊春·中考真题） 44．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A． B． C． D． （2025·湖北襄阳·中考真题） 45．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【题型9  与涨价、降价有关的商品利润问题】 （2025·山东烟台·中考真题） 46．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ （2025·山东菏泽·中考真题） 47．列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ （2025·重庆·中考真题） 48．重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元． （1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？ （2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加．求a的值． （2025·重庆·中考真题） 49．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元． （1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？ （2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加%．求a的值． （2025·辽宁锦州·中考真题） 50．某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每千克售价x（元） … 25 30 35 … 日销售量y（千克） … 110 100 90 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？ （3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ （2025·山东青岛·中考真题） 51．某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？ （2025·江苏南京·中考真题） 52．星星服装店以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件：第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元． (1)填表（需化简）： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 【题型10 几何图形的面积问题】 （2025·山东青岛·中考真题） 53．如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______．    （2025·浙江金华·中考真题） 54．如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是__________． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是__________． （2025·浙江衢州·中考真题） 55．将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：_____（不必化简）． （2025·山东德州·中考真题） 56．如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地． (1)若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽； (2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为．求新的矩形绿地面积． （2025·江苏无锡·中考真题） 57．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）． (1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ （2025·江苏南京·中考真题） 58．某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ （2025·云南曲靖·中考真题） 59．如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“”型甬道，甬道宽度相等，甬道面积是整个梯形面积的.设甬道的宽为米. （1）求梯形的周长； （2）用含的式子表示甬道的总长； （3）求甬道的宽是多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第06讲 一元二次方程（练习）【2大考点10大题型】》参考答案： 1． 【分析】将代入方程，结合，进行求解即可． 【详解】解：将代入方程，得： ， 解得：， 又∵是一元二次方程， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为0． 2．m≤5且m≠4 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△≥0且二次项系数≠0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴△=≥0且≠0， 解得：m≤5且m≠4， 故答案为：m≤5且m≠4． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 3．2 【详解】解：一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项系数是：2． 4．（答案不唯一）． 【分析】根据根与系数的关系，一元二次方程有两个不相等的实根，则必须满足，可结合以上条件，写出满足条件的一元二次方程． 【详解】根据根与系数的关系，一元二次方程有两个不相等的实根，则必须满足，可结合以上条件，写出满足条件的一元二次方程； 解：要使一元二次方程有两个不相等的实根，则必须满足， ∵假设，则； ∴一元二次方程设有两个不相等的实根． 故答案设（答案不唯一）． 5． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 6．D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 9． 【分析】两边开方，然后解关于的一元一次方程． 【详解】解：由原方程，得． 解得． 故答案是：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 10．或##或 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 11．6 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可． 【详解】解：设，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 12．A 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 13．C 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可； 【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； C．，方程没有实数根，符合题意； D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意； 故选： C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根． 14．A 【分析】先计算根的判别式，再根据数轴上点的位置确定△的正负，即可判断． 【详解】解：由数轴可知，且，则， ∵△=，， ∴△＞0， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和数轴上表示数，解题关键是求出根的判别式，利用数轴提供的信息进行判断． 15． 【分析】所得的方程中有两个不相等的实数根，根的判别式△=b2-4ac的值大于0，将各个值代入，求出值后，再计算出概率即可． 【详解】△=b2-4ac=1-4k， 将-2，-1，0，1，2分别代入得9，5，1，-3，-7，大于0的情况有三种， 故概率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16．（1）见解析；（2）0或-2或1或-1 【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值； 【详解】解：（1） ∵△= = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根． （2）∵ ∴ ∴=0 ∴，或， 当，时， ∵k与都为整数， ∴k=0或-2 当，时， ∴， ∵k与都为整数， ∴k=1或-1 ∴k所有可能的值为0或-2或1或-1 【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解． 17．B 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知： 且 故选：B 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 18．A 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根． 19．4 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为4． 20．m<3 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，即(-2)2-4m>0，求解即可． 【详解】解：∵x-x+m=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=(-2)2-4m>0 解得：m<3， 故答案为: m<3． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根，Δ>0；当方程有两个相等的实数根，Δ=0；当方程没有实数根，Δ<0”是解题的关键． 21．(1)； (2)T= 【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可； (2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到，整体代入即可求解． 【详解】（1）解：T= =； （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 则T=． 【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 22．（1）；（2）1 【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解； （2）根据韦达定理可得，，得到，根据两个根和m都是整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）设该方程的两个根为、， ∵该方程的两个根都是符号相同的整数， ∴，， ∴， ∴m的值为1或2， 当时，方程两个根为、； 当时，方程两个根与不是整数； ∴m的值为1． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键． 23．D 【分析】由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 24．A 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴mn=－5，m2+2m-5=0， ∴m2+2m=5， ∴=5－5=0， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键． 25．D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可． 【详解】解：由方程有两个不相等的实根、 可得，，， ∵，可得，，即 化简得 则 故最大值为 故选D 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键． 26．7 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 27． 【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键． 28．（1）；（2）-1． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到． （1）把，代入，即可求出的值； （2）把，代入，得到．利用整体代入即可求解． 【详解】解：∵已知一元二次方程的两根分别为m，n， ∴． （1）当时， ， 解得， 经检验，是方程的根， ∴； （2）当时， ． ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到是解题关键． 29．A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，，根据方程，先求出，，根据，得到，求出，再根据一元二次方程根的判别式，确定的值，即可． 【详解】解：∵关于的方程的两实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵方程有两实数根， ∴， 解得：， ∴（舍去）， ∴． 故选：A． 30．A 【分析】通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值． 【详解】解：∵方程有两个实数根，， ∴， ， ∵， ∴， 整理得，， 解得，，， 若使有实数根，则， 解得，， 所以， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键． 31．2 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设方程的两个根分别为a，b， 由题意得：，， ∴， ∴，解得：， 经检验：是分式方程的解， 检验：， ∴符合题意， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 32．7 【分析】根据根与系数的关系求出与的值，然后整体代入求值即可． 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴解得． 故答案为：7． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 33．（1），；（2）存在， 【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【详解】解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0， ∴m<5， 将x1=1代入原方程得：m=3， 又∵x1•x2=2m−1=5， ∴x2=5，m=3； （2）设存在实数m，满足，那么 有， 即， 整理得：， 解得或． 由（1）可知， ∴舍去，从而， 综上所述：存在符合题意． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 34．（1）见详解；（2） 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 35．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【详解】（1）， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 36．(1)，，， (2)或 (3)15 【分析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题． 【详解】（1）解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0， ∴=2，=3， ∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 （3）解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 37．B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 38．B 【分析】设每月盈利的平均增长率为x，根据今年1月盈利3000元，3月盈利3630元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每月盈利的平均增长率为x， 依题意，得：3000（1＋x）2＝3630， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝−2.1（不合题意，舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 39． 【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：三月份盈利额五月份的盈利额列出方程求解即可． 【详解】解：设每月盈利平均增长率为x， 根据题意得：． 解得：，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用＋，减少用−，难度一般． 40．． 【分析】设平均每次降价的百分比是，则第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为元，从而列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分比是，根据题意得： ， 解得：（不合题意，舍去）， 答：平均每次降价的百分比是； 故答案为． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 41．(1)该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20% (2)2021年最多可购买电脑880台 【分析】（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据年平均增长率求出2021年基础教育经费投入的金额，再根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其中的最大值即可． 【详解】（1）解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x， 根据题意得：5000（1＋x）2=7200， 解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（舍去）． 答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%； （2）解：2021年投入基础教育经费为7200×（1＋20%）=8640（万元）， 设购买电脑m台，则购买实物投影仪（1500−m）台， 根据题意得：3500m＋2000（1500−m）≤86400000×5%， 解得：m≤880， 答：2021年最多可购买电脑880台． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，列出关于x的一元二次方程；（2）根据总价＝单价×数量，列出关于m的一元一次不等式． 42． 【分析】根据南瓜总产量=亩产量×亩数，列出关于南瓜亩产量的增长率为的方程即可. 【详解】解：设南瓜亩产量的增长率为，则种植面积的增长率为． 根据题意，得 ． 解这个方程，得，（不合题意，舍去）． 答：南瓜亩产量的增长率为． 43．B 【分析】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设有x个班级参加比赛， ， ， 解得：（舍）， 则共有6个班级参加比赛， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系． 44．C 【分析】设这种植物主支干长出x个，小分支数目为个，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【详解】设种植物主支干长出x个，小分支数目为个， 依题意，得：， 解得： （舍去），． 故选C． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程 45．（1）每轮传染中平均一个人传染了7个人；（2）第三轮将又有448人被传染 【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出， （2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数． 【详解】解：（1）设每轮传染中平均每人传染了人， 或（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； （2）（人． 答：第三轮将又有448人被传染． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 46．（1）50元；（2）八折 【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）设每件的售价定为x元， 则有：， 解得：(舍)， 答：每件售价为50元； （2）设该商品至少打m折， 根据题意得：， 解得：， 答：至少打八折销售价格不超过50元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键． 47．29元． 【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价． 【详解】解：设这种水果每千克降价元， 则每千克的利润为：元，销售量为：千克， 整理得， 或， 要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为（元） 答：这种水果的销售价为每千克29元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 48．（1）每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．（2）a的值为8． 【分析】（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列方程组得，， 解得，， 答：每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元． （2）根据题意得，， 解得，（舍去），， 答：a的值为8． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，列出方程，熟练运用相关知识解方程． 49．（1）A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元；（2）20 【分析】（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，根据题意列出方程解出即可； （2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意根据题意列出方程解出即可； 【详解】解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元． 根据题意，得 ． 解这个方程，得． 则． 答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元． （2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意，得 设a%=m，则原方程可化简为． 解这个方程，得（舍去）． ∴a=20． 答：a的值是20． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程． 50．（1）   （2）30元   （3）40元；1600元 【分析】（1）任选表中的两组对应数值，用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）销售利润=销售量每千克所获得的利润，得，解出方程； （3）构造，利用二次函数的最大值问题解决． 【详解】解：（1）设一次函数表达式为， 将代入，得 解得 ． （2）根据题意，得， 整理，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元． （3）方法1： 设日销售利润为w元． ． ， 抛物线开口向下， 又， 当时，w随x的增大而增大． 当时，w有最大值，（元）． 答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元． 方法2： 设日销售利润为w元． ， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 当时，w随着x的增大而增大， 当时，w有最大值，（元）． 答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元． 【点睛】本题考查一次函数、一元二次方程、二次函数的综合运用，是应用题中的典型，也是中考必考题型． 51．（1）；（2）时，w最大；（3）时，每天的销售量为20件． 【分析】（1）将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解； （3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论． 【详解】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b， 将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得： ， 解得：， 故函数的表达式为：y=-2x+160； （2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250， ∵-2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50， ∴当x=50时，w由最大值，此时，w=1200， 故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元； （3）由题意得：（x-30）（-2x+160）=800， 解得： 当时，每天获得的利润不低于 800 元， ∴每天的销售量y=-2x+160≥20， ∴每天的销售量最少应为20件． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键． 52．(1)见解析 (2)第二个月的单价应为元 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．根据题意正确的表示单价，销售量，并正确的列方程是解题的关键． （1）由题意知，第二月的单价为元，销售量为件，清仓时的销售量根据，计算求解，然后补表即可； （2）依题意得，，计算求出满足要求的解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，第二月的单价为元，销售量为件，清仓时的销售量为件， 补表如下： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 故答案为：，，； （2）解：依题意得，， 整理得，， 解得，， ∴， ∴第二个月的单价应为元． 53． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 54． 6 ## 【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可． 【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为：6． （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵有且只有一个的值， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键． 55． 【分析】根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程． 【详解】由包装盒容积为360cm3可得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了将实际问题转化为一元二次方程，能够利用长方形的体积列出方程是解题关键． 56．(1)新的矩形绿地的长为，宽为 (2)新的矩形绿地面积为． 【分析】（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据扩充后的矩形绿地面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入及中，即可得出结论； （2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积． 【详解】（1）解：（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ． 答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m． （2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为， 根据题意得：， 即， 解得：， ． 答：新的矩形绿地面积为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程与一元一次方程． 57．(1)x的值为2m； (2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2 【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解； （2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍， ∴CD=2x， ∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x， 依题意得：3x(8-x)=36， 解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)， 此时x的值为2m； ； （2）解：设矩形养殖场的总面积为S， 由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48， ∵墙的长度为10， ∴0＜3x≤0， ∴0＜x≤， ∵-3<0， ∴x＜4时，S随着x的增大而增大， ∴当x=时，S有最大值，最大值为， 即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2． 【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 58．扩充后广场的长和宽应分别为和. 【分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答． 【详解】解：设扩充后广场的长为，宽为. 根据题意，得. 解得（不合题意，舍去）. 所以. 答：扩充后广场的长和宽应分别为和. 【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，以及总价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键． 59．（1）256米 （2）米 （3）4米 【分析】（1）由题意求出，由勾股定理求出腰长即可求得周长； （2）求得水平甬道的长即可求得甬道的总长； （3）由（2）得甬道总长与甬道宽的积便是甬道面积，根据题意列出方程即可求得结果． 【详解】解：（1）在等腰梯形中， ， ， ， 梯形的周长=(米)； （2）甬道的总长：米； （3）根据题意，得 ， 整理，得 ， 解之得 ； 因，不符合题意，舍去． 答：甬道的宽为4米． 【点睛】本题考查了勾股定理与一元二次方程的应用，熟练掌握这些知识是关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $