精品解析：上海市松江区2025-2026学年九年级总复习阶段模拟练习数学

松江区2025学年初三总复习阶段模拟练习 数学 （满分150分，完卷时间100分钟） 学生注意： 1.本试卷含三个大题，共25题：没有特殊说明，儿何题均视为在同一个平面内研究问题． 2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数据：，，，的平均数是，方差是，那么数据，，，的平均数和方差分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①和②都是真命题 D. ①和②都是假命题 6. 如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的 与相交，那么的长可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本天题共12题，每题4分，满分48分） 7. 不等式组的解集是_______． 8. 分解因式：___________． 9. 函数y的定义域是___________． 10. 统计数据显示，截至2026年3月30日，电影《飞驰人生3》的票房总收入约为44亿元．如果该电影的平均票价是每张40元，那么售出的电影票大约_______张．（用科学记数法表示） 11. 如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么_______． 12. 现有三张卡片，上面分别写着2、3、6，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是_______． 13. 如图，已知点是的重心，如果，，那么______．（结果含、的式子表示） 14. 小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米/小时，可列方程为_______． 15. 为了解某年级学生每周课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该年级有600名学生，估计该年级平均每周阅读时长不少于6小时的学生约有______名． 16. 一个水池的容积是，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，1小时后水池的水量是，5小时后水池的水量是，那么8小时后水池的水量是________． 17. 已知中，，，，点、分别在边、上，如果是以为腰的等腰三角形，且，那么的长是______． 18. 联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程组： 21. 如图，在中，， ． （1）试用无刻度直尺和圆规，在直线上作出点，使 ，点、、的对应点分别是点、、．（不必写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，求线段的长． 22. 【问题提出】把一个长、宽分别为、的长方形（如图1），剪拼成一个正方形（拼接的时候无缝隙、不重叠，裁剪的损耗忽略不计） 【方案设计】某学习小组提出以下设计思考： （1）根据剪拼前后图形面积不变，可知剪拼后正方形的边长为 ．（用含、的代数式表示） 如图2，延长至点，使 ，以为直径作半圆．延长交于点，联结、，可得 （后续说理如需用到这一结论，可直接使用），他们认为：“就是所求正方形的边长”； 如图3，以为边，在左侧作正方形，分别与、交于点、，沿虚线、裁剪，、可以通过适当的图形运动分别与、叠合，拼成正方形． 【论证说明】 （2）如图2，该学习小组认为：“是所求正方形的边长”，试说明理由； 【论证说明】 （3）可以通过怎样的图形运动与叠合，并说明它们能够叠合的理由． 23. 已知是半圆的直径，弦、交于点，与交于点，满足． （1）求证： ； （2）如图2，是的中点，与交于点，求证：四边形 是菱形． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线 经过、两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； （3）点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 25. 已知正方形，点在边上，点在的延长线上，与交于点． （1）如图1，如果 ，求证： ； （2）如图2，如果 ，且，求的正切值； （3）以点为圆心为半径画圆，与以为直径的的另一个交点记为点，如果， ， ，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江区2025学年初三总复习阶段模拟练习 数学 （满分150分，完卷时间100分钟） 学生注意： 1.本试卷含三个大题，共25题：没有特殊说明，儿何题均视为在同一个平面内研究问题． 2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式运算、同底数幂乘法、二次根式与立方根的性质，根据对应运算法则和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 2. 下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用判断方程是否对任意实数恒有实数根，若对任意恒成立，则符合要求． 【详解】解：A、对于方程，当时，方程为 ，有实数根 ；当 时，，不一定恒大于等于0，故方程不一定有实数根，故A不符合题意； B、对于方程，，而对任意实数，都有，故恒成立，不论取何实数值，方程都有实数根，故B符合题意； C、对于方程 ，，不一定恒大于等于0，故方程不一定有实数根，故C不符合题意； D、对于方程，，不一定恒大于等于0，故方程不一定有实数根，故D不符合题意． 3. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据反比例函数的定义，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、是二次函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； B、的分母不是的单项式，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； C、，符合反比例函数定义，该选项符合题意； D、是正比例函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意． 4. 已知数据：，，，的平均数是，方差是，那么数据，，，的平均数和方差分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差和平均数的计算公式求解即可． 【详解】解∵，，，的平均数是，方差是， ∴，即，， 那么数据，，，的平均数为：； 方差为： ． 5. 已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①和②都是真命题 D. ①和②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理及其推论求解即可． 【详解】解：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，因此命题①是真命题； 对于命题②，当被平分的弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，该命题缺少“被平分的弦不是直径”的条件，因此命题②是假命题， 综上，①是真命题，②是假命题． 6. 如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的 与相交，那么的长可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点分别作，，垂足为点，延长交于点F，则，那么平分，再由等腰三角形的性质得到，而由勾股定理可得，那么，再找到外切和内切时的临界位置，根据勾股定理建立方程求解即可得到的取值范围． 【详解】解：过点分别作，，垂足为点，延长交于点F， ∵在边、上截得的弦长相等， ∴， ∴平分 ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 当 与外切时，连接，设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； 当 与内切时，连接， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； ∴ 与相交时，， ∴B符合题意． 二、填空题（本天题共12题，每题4分，满分48分） 7. 不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法．分别求出每一个不等式的解集，根据解集确定口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解，确定不等式组的公共解集即可. 【详解】解：解不等式，移项得，系数化为得：， 解不等式，移项合并同类项得：， 不等式组的解集为． 8. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 9. 函数y的定义域是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由于函数解析式是分式，则要求分母不为零，则可求得自变量的取值范围即函数的定义域． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，初中求自变量取值范围的常常是三类函数：解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；解析式是分式时，分母不为零；解析式是二次根式时，被开方数非负． 10. 统计数据显示，截至2026年3月30日，电影《飞驰人生3》的票房总收入约为44亿元．如果该电影的平均票价是每张40元，那么售出的电影票大约_______张．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】先将总票房统一单位为元，再根据售票张数等于总票房除以平均票价计算结果，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：亿元 000元 元， 根据题意计算售出电影票的张数：． 11. 如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么_______． 【答案】52 【解析】 【分析】先根据正多边形每个内角为得到正五边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 根据题意得，，， ∵，， ∴． ∴． 12. 现有三张卡片，上面分别写着2、3、6，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先列举出随机抽取两张卡片所有等可能的结果. 再找出其中满足较大数能被较小数整除的结果个数. 最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，从写有，，的三张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，共种等可能的结果， 其中较大数能被较小数整除的结果有：，，共种， 根据概率公式，可得所求概率为． 13. 如图，已知点是的重心，如果，，那么______．（结果含、的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点D，先求出，再利用三角形法则求出，然后利用三角形重心的性质求解即可． 【详解】解：延长交于点D， ∵点是的重心，， ∴是的中线， ∴， 又， ∴， ∵点G是的重心， ∴， ∴， 14. 小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米/小时，可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设骑自行车的速度为千米/小时，则汽车的速度为千米/小时，根据时间路程速度，分别表示出骑自行车和乘汽车所需的时间，再根据乘汽车比骑自行车早到小时列出方程即可． 【详解】解：设骑自行车的速度为千米/小时． ∵汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时， ∴汽车的速度为千米/小时． ∵路程为10千米， ∴骑自行车所需时间为小时，乘汽车所需时间为小时． 根据题意，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达， 即骑自行车的时间减去乘汽车的时间等于小时， 可列方程为． 15. 为了解某年级学生每周课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该年级有600名学生，估计该年级平均每周阅读时长不少于6小时的学生约有______名． 【答案】 【解析】 【分析】先求出样本中平均每周阅读时长不少于小时的学生的频率，再用年级总人数乘以对应频率得到估计结果． 【详解】解：由频数分布直方图可得，抽取的样本容量为： 样本中平均每周阅读时长不少于小时的学生频数为：（人） 样本中对应频率为： 因此估计该年级符合条件的学生人数为：（人）． 16. 一个水池的容积是，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，1小时后水池的水量是，5小时后水池的水量是，那么8小时后水池的水量是________． 【答案】50 【解析】 【分析】设水池内原有的水量为x，则1小时注入水量为，根据题意列方程求出 ，再计算8小时后水池的水量即可． 【详解】解：设水池内原有的水量为x，则1小时注入水量为， 解得 ， 8小时后水池的水量是． 17. 已知中，，，，点、分别在边、上，如果是以为腰的等腰三角形，且，那么的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】先由勾股定理求出的长度，根据是以为腰的等腰三角形，分 和 两种情况讨论，利用相似三角形的判定与性质以及解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴由勾股定理得： ， 当 时， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； 当时，则，过点于点， ∴ ∵ ∴ ∴ ， ∵ ∴ ， ∴， ∴，即 解得， ∴，， 设， 在中，由勾股定理得，， 解得（舍负）， ∴ 综上所述，的长为或． 18. 联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线的特征值是即为抛物线的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可． 【详解】解：∵平移不改变抛物线的特征值， ∴抛物线的特征值即为抛物线的特征值，如图： 此时抛物线的对称轴为轴， ∵， 轴 ∴，即 设，则， ∴， 将点代入，则， 解得或 （舍去） ∴． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 20. 解方程组： 【答案】或 【解析】 【详解】解：由②得，， ∴或， 原方程组可化为或， 解第一个方程组得； 解第二个方程组得 原方程组的解为或． 21. 如图，在中，， ． （1）试用无刻度直尺和圆规，在直线上作出点，使 ，点、、的对应点分别是点、、．（不必写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点为顶点，为一边，作 ，与延长线交于点； （2）过点作于，根据等腰三角形三线合一得到 ，在 中，由 ，结合勾股定理列方程即可求得的长，再根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可得到的长，最后根据线段和差关系即可得解． 【小问1详解】 解：如图所示，作 ，与延长线交于点，即为所求； ， ， ； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于， ， ， 设 ， 在 中， ， ， 根据勾股定理得，， 即， 解得或（负值，舍去）， 即 ， ， ， ，即， 解得 ， ． 22. 【问题提出】把一个长、宽分别为、的长方形（如图1），剪拼成一个正方形（拼接的时候无缝隙、不重叠，裁剪的损耗忽略不计） 【方案设计】某学习小组提出以下设计思考： （1）根据剪拼前后图形面积不变，可知剪拼后正方形的边长为 ．（用含、 的代数式表示） 如图2，延长至点，使 ，以为直径作半圆．延长交于点，联结、，可得 （后续说理如需用到这一结论，可直接使用），他们认为：“就是所求正方形的边长”； 如图3，以为边，在左侧作正方形，分别与、交于点、，沿虚线、裁剪，、可以通过适当的图形运动分别与、叠合，拼成正方形． 【论证说明】 （2）如图2，该学习小组认为：“是所求正方形的边长”，试说明理由； 【论证说明】 （3）可以通过怎样的图形运动与叠合，并说明它们能够叠合的理由． 【答案】（1） （2） 解：如图2，过点作，则 ∵经过圆心， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴ ∴ ∴， 解得（舍负）， ∴是所求正方形的边长； （3） 解：可以通过平移运动与叠合，理由如下： ∵矩形，正方形， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴可以通过平移运动与叠合． 【解析】 【分析】（1）根据剪拼前后图形面积不变，可知矩形和正方形的面积都是，即可求解边长； （2）过点作，先证明，然后得到，则，据此求解即可； （3）先证明，再证明，求证，即可得到． 【小问1详解】 解：由题意得，矩形的面积为， ∵根据剪拼前后图形面积不变， ∴可知剪拼后正方形的边长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 已知是半圆的直径，弦、交于点，与交于点，满足． （1）求证： ； （2）如图2，是的中点，与交于点，求证：四边形 是菱形． 【答案】（1） 证明：∵， ， ∴ ， ∴，， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴， ∵经过圆心， ∴ ； （2） 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 由（1）知， ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ，即 ， ∴四边形 是菱形． 【解析】 【分析】（1）先证明 ，得到 ，继而可证明，再由垂径定理的推论即可证明； （2）先证明 ，则 ，故 ，那么得到，由（1）知， ，则 ，那么 ，即可得到四边形 是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线 经过、两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； （3）点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据一次函数可知，的坐标，进而根据可得点是线段的中点，然后根据待定系数法即可求得二次函数表达式； （2）根据是梯形，可知的直线解析式，进而联立方程可知点的坐标，根据割补法即可求解； （3）①过点作,过点作，进而可知，根据相似三角形的性质即可求解；②过点作交对称轴于,过点作交对称轴于，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题可知，一次函数与轴交于点，与轴交于点， 则点，， ∵是直线上一点，且， ∴点是线段的中点， 设点， ∴点， ∴，， ∴点， 将点，点代入抛物线 得 解得： 则抛物线的表达式为：， 【小问2详解】 解：由题可得图， ∵四边形是梯形， ∴ , ∵为原点， 则的直线解析式为：， 则联立函数得， 解得或， ∵点在抛物线上，且位于第一象限， ∴, 过点作轴，过点作轴， ， 【小问3详解】 解：①由题可得，过点作,过点作 当 ,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点，点 ∴，， ，， 则，， 解得：或， ∵点、都在第三象限， ∴, ∴， ∴． ②由题可得，抛物线的对称轴为， 过点作交对称轴于,过点作交对称轴于， 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点， ∴ ,， ，。 解得：或（舍去）， 则∴． 综上所述，，． 25. 已知正方形，点在边上，点在的延长线上，与交于点． （1）如图1，如果 ，求证： ； （2）如图2，如果 ，且，求的正切值； （3）以点为圆心为半径画圆，与以为直径的的另一个交点记为点，如果， ， ，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴ ，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴， ∴， ∴ ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明 ，即可求证； （2）连接，设正方形的边长为， ，然后证明 ，得到，而由勾股定理得 ，继而得到方程，然后解方程，再利用正切的定义求解即可； （3）设以为直径的圆记为 ，连接 交于点，过点作 于点，由题意得可设，则 ，由 ，得到，再由 ，求出 ， ，则 ，可由勾股定理得到，由相交两圆得性质可得 ，，再由建立方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 设正方形的边长为，， 由题意得， ∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∵ ∴ ， ∵ ∴ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 整理得， ， 解得 ， （舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设以为直径的圆记为 ，连接 交于点，过点作 于点， 由题意得可设，则 ， ∴， ∵正方形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ∵ 与相交于点 ∴ ，， ∵， ∴， 解得或（舍） ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $