8.1.2向量数量积的运算律8.1.2 向量数量积的运算律 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1.2 向量数量积的运算律 《人教B版2019高中数学必修第三册》 探究新知 尝试与发现 当a,b是两个非零向量时，因为<a,b>=<b,a>，所以根据 a‧b=|a||b|cos〈a,b〉, b‧a=|b||a|cos〈b,a〉 可知 即向量的数量积满足交换律. 探究新知 当λ是实数且a，b是向量时，λa是向量，(λa)·b与λ(a·b)都是实数，那么这两个实数相等吗？答案是肯定的，即 恒成立. 事实上，当a,b都是非零向量且λ≠0时， (1)如果λ>0,则|λa|=λ|a|，且λa的方向与a的方向相同，从而<λa,b>=<a,b> 因此 (λa)·b=|λa||b|cos<λa,b>=λ|a||b|cos<a,b>=λ(a·b); (2)如果λ<0,则|λa|=-λ|a|,且λa的方向与a的方向相反，从而<λa,b>=π-<a,b> 因此 (λa)·b=|λa||b|cos<λa,b>=-λ|a||b|cos(π-<a,b>) =λ|a||b|cos<a,b>=λ(a·b) 当a,b中至少有一个是零向量或λ=0时，显然也有(λa)·b=λ(a·b) 当然，用同样的方法可以得到a·(λb)=λ(a·b)(或者先用交换律再用结合律同样的证） 探究新知 因为a,b是向量时， a+b仍是向量，因此(a+b)·c,a·c,b·c 都是实数，而且，从形式上可以猜出 也就是向量的数量积对加法满足分配律. 那么，怎样才能确定这个结论成立呢？如果直接从数量积的定义来考虑，将需要讨论〈a+b,c>,〈a,c〉,〈b,c〉等之间的关系，是比较烦琐的.下面我们从数量积的几何意义来考虑. 探究新知 当a,b,c中至少有一个是零向量时，分配律显然成立.因此下面只要说明a,b,c都不是零向量的情形即可. 此时,|c|≠0，设c0=，即c0是与c同向的单位向量.如图8-1-8所示，设点O与c0都在直线l上，且,则=+=a+b 过A,B分别作直线l的垂线AA',BB'，则由向量投影的定义可知，a在c0上的投影为，b在c0上的投影为,a+b在c0上的投影为.又因为=+,所以根据向量数量积的几何意义可知(a+b)·c0=a·c0+b·c0,(其中式子+ 中的向量表示带符号的长度） 在这个式子两边同时乘以|c|，即可知 探究新知 由向量数量积满足以上的运算律还可得到 a·(b+c)=a·b+a·c, (a-b)·c=a·c-b·c 等，请读者自行说明理由. 提示：a·b=b·a ；a-b=a+(-b) ；(λa)·b=λ(a·b) 阶段小结 1. 交换律:a·b=b·a 说明：由定义可知，|a||b|cos<a,b>=|b||a|cos<b,a>，交换顺序不影响结果。 2. 数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R) 说明： 当λ>0时, λa的方向与a的方向相同，夹角不变； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反，夹角变为π-，cos(π-)=-cos,等式仍成立； 当λ=0时，两边均为0。 3. 分配律（重点）:(a+b)·c=a·c+b·c 由分配律可推出：a·(b+c)=a·b+a·c;(a-b)·c=a·c-b·c等 4.向量数量积不满足结合律：（a·b)c≠a(b·c) 原因：（a·b)c是与c共线的向量；a(b·c)是与a共线的向量，因此等式不成立 交换律、数乘结合律、分配律等式两边结果都是数成立；向量结合律等式两边是向量不成立。 探究新知 例1 求证 (1)（a+b)·(a-b)=a2-b2 (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2 证明 (1) (a+b)·(a-b) =a·(a-b)+b·(a-b) =a·a-a·b+b·a-b·b =a2−b2. 证明 (1) (a+b)·(a+b) =a·(a+b)+b·(a+b) =a·a+a·b+b·a+b·b =a2+2a·b+b2. 例1(2）实际上将a+b，a,b这三个向量的模与a·b联系起来了.而且，利用完全类似的方法，还可证明： (a−b)2=a2−2a·b+b2 探究新知 例2 （1）已知|a|=2,|b|=1,<a,b>=60o ，求|a+2b|; （2）已知|a+b|=|a-b|，求a‧b 解 （1）由题意可知 a2=4,b2=1,ab=2×1×cos60o=1, 所以 |a+2b|2=(a+2b)2 =a2+4ab+4b2 =4+4×1+4×1 =12, 因此|a+2b|= 解 （2）由题意可知 |a+b|2=|a−b|2， 即 (a+b)2=(a−b)2， 因此 a2+2a·b+b2=a2−2a·b+b2 因此a·b=0 重要推论复习 平方公式：aa=|a|2，即|a|=（非零向量a的数量积aa一定大于0） 一般地，aa可以简写为a2因此上述性质也可改写为a2=|a|2. 探究新知 例3  利用向量证明菱形的两条对角线互相垂直. 如图8-1-9所示，已知ABCD是菱形，AC与BD是两条对角线.求证：AC⊥BD 证明 由已知可得 =+，=- 所以 =(+)(-)=||2-||2 又因为ABCD是菱形，所以AB=AD，即||=||,因此=0 从而，故AC⊥BD 探究新知 例4  利用向量证明三角形的三条高相交于一点. 如图8-1-10所示，已知ΔABC中，BE，CF分别为AC,AB边上的高，而且BE与CF相交于点O，连接AO并延长，与BC相交于点D. 求证：AD⊥BC. 证明  因为BE⊥AC,所以‧=0,即‧=0,因此‧ . ① 又因为CF⊥AB,所以‧=0,即‧=0,因此‧ . ② 由①-②可得- =0，因此（- =0 从而=0，故BC⊥OA，即AD⊥BC 练习A ① 已知ab=3，求下列各式的值. (1)ba; (2) (-a)b; (3)(-b)(3a) (1) ba =ab=3（交换律） (2) (-a)b= -ab=-3（数乘结合律） (3）(-b)(3a)= -3ba = -3ab =-9（数乘结合律 + 交换律） 练习A ② 求证：ab= （|a+b|2-|a|2-|b|2) ∵|a+b|2=（a+b)2=a2+2ab+b2 ∴|a+b|2-|a|2-|b|2=2ab ∴= （|a+b|2-|a|2-|b|2)=ab |a+b|的值可以通过平方来求 练习A ③ 已知向量a,b满足|a|=|b|=2 ,<a,b>=120o，求|a-b| |a-b|2=a2-2ab+b2 =22-2×2×2×cos120o+22 =4+4+4 =12 ∴|a-b|=2 |a-b|的值可以通过平方来求 练习A ④已知|a|=2,|b|=3 ,|a-b|=,求|a+b|  |a-b|2=a2-2ab+b2 =22-2ab+32 =13-2ab 又∵|a-b|= ∴ab=3 ∵|a+b|2=（a+b)2 =a2+2ab+b2 =22+2ab+32 =13+6=19 ∴|a+b|= 练习A ⑤已知单位向量a,b的夹角为，求a+2b与a的夹角. (a+2b)a=|a|2+2ab =1+2×1×1×cos =2 |a+2b|2=a2+4ab+4b2 =1+4×1×1×cos+4×1=7 ∴|a+2b|= cos<(a+2b),a>= == ∴<(a+2b),a>=arccos 练习B ①当a,b,c都是向量时， (ab)c=a(bc)是否成立？为什么？ 向量数量积不满足结合律：（a·b)c≠a(b·c) 原因：（a·b)c是与c共线的向量；a(b·c)是与a共线的向量，因此等式不成立 练习B ② 已知|a|=3, |b|=4  <a,b>=60o，求(a+2b)(a-3b) (a+2b)·(a−3b)​=a·a−3a·b+2b·a−6b·b =|a|2-a·b-6|b|2 =9-3×4×-6×16 =-93 练习B ③ 已知|a|=6, |b|=8，且b在a上的投影的数量为-4，求|a+b|,|a-b| b在a上的投影数量为|b|cos<b,a>=-4，已知|a|=6，|b|=8 |a+b|=== ==2 |a-b|=== ==2 练习B ④在ΔABC中，已知||=3,||=5,∠ABC=60o，求|| ||=||= = =7 练习B ⑤ 已知a,b不共线，从几何上说明当|a+b|=|a-b|时，一定有ab=0. 从几何上看： |a+b|和|a-b|分别是以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长度 当|a+b|=|a-b|时，这个平行四边形的两条对角线相等，因此它是矩形 矩形的邻边互相垂直，即a⊥b 由向量垂直的充要条件，a⊥b⇔ab=0，故得证。 练习B ⑥ 利用向量的数量积证明如下结论. （1）长方形的两条对角线相等； （2）平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和． 证明 (1) 长方形的两条对角线相等 设长方形ABCD，，长方形中ab=0（邻边垂直） 对角线=a+b,=b-a, |2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=|a|2+|b|2 |2=(a-b)2=|a|2-2ab+|b|2=|a|2+|b|2 所以|=|,即长方形两条对角线相等。 练习B ⑥ 利用向量的数量积证明如下结论. （1）长方形的两条对角线相等； （2）平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和． 证明 (2) 平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和 设平行四边形ABCD， 则=a+b,=b-a, 四边的平方和为2(|a|2+|b|2) 对角线的平方和：|2+|2=(a+b)2+(b-a)2=2|a|2+2|b|2 所以对角线的平方和等于四边的平方和。 阶段小结 1.当a,b均为非零向量时，a·b=∣a∣∣b∣cos<a,b>,特殊0·a=0。 2.完全平方公式：(a+b)2=a2+2a·b+b2；(a-b)2=a2-2a·b+b2 3.平方差公式：a2-b2 4.向量平方，求向量模长核心公式：a2=a·a=|a|2；|a|= 5.垂直的数量积结论：a⊥b⇔a·b=0 6.如果a,b都是非零向量，则称｜a|cos<a,b＞为向量a在向量b上的投影的数量. 7.非零向量a,b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积（两个向量数量积的几何意义）. 8.核心解题思路 遇模长平方转化为向量平方;遇向量加减整体平方套用完全平方公式； 巩固提升 1.平面向量的数量积运算 如图，在▱ ABCD中，||=4，||=3，∠DAB=60o， 求：① ；② ；③ 。 解析： ①因为 ×3×1=9 解析： ②因为 ×3×（-）=-6 解析： ③因为 （）（ =2-2=9-16=-7 巩固提升 2.向量模的有关计算 已知平面向量a与b的夹角为60o，|a|=2，|b|=1，求|a+2b| 解析：|a+2b|= = =2 3.两向量的夹角问题 已知|a|=2，|b|=1，e是与b方向相同的单位向量，若向量a在向量b上的投影向量为-e，则向量a与向量b的夹角 解析：由题意知a在向量b上的投影向量为|a|×cos=-e 所以cos=-，又因为,所以= 即a与向量b的夹角 b e -e a . 巩固提升 4.两向量垂直关系及应用 已知a⊥b，|a|=2，|b|=3，且3a+2b与ka-b互相垂直，则的值为 . 解析：因为3a+2b与ka-b互相垂直,所以(3a+2b)(ka-b)=0, 所以3ka2+(2k-3)ab-2b2=0,因为a⊥b，又|a|=2，|b|=3，所以 12k-18=0，k= $