第1章 解直角三角形 单元同步检测卷 2025-2026学年 浙教版九年级数学下册

**基本信息** “解直角三角形”单元同步检测卷，注重基础巩固与实践应用结合，覆盖三角函数计算、实际测量（如电视塔高度、山高）等核心知识点，适配单元复习，培养几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角函数值计算、网格正切、仰角俯角（如第3题测电视塔高度）|梯度分明，基础与情境题结合| |填空题|6/18|方位角（第13题C岛视角）、圆中三角函数（第12题直径弦垂直）|聚焦核心技能，渗透空间观念| |解答题|9/72|实际测量（第18题测山高、21题古塔高度）、综合证明（第25题正方形与三角函数）|情境真实，强调模型意识与推理能力|

第1章 解直角三角形 单元同步检测卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．计算： （　　） A． B． C． D． 2．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1= ，则∠2的度数为（　　） A．120° B．135° C．145° D．150° 3．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（　　） A． B．51 C． D．101 4．如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠A的正切值是(　　) A． B． C． D．2 5．计算（　　） A． B． C． D． 6．如图，在 中， ， ，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，AB于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交BC于点E．则 （　　） A． B． C． D． 7．如图，是以为底边的等腰三角形，点为的外心，连接交于点.若，则的长为（　　） A． B． C．3 D．2 8．已知如图，菱形ABCD四个顶点都在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF垂直AB交AC于点G，反比例函数 ，经过线段DC的中点E，若BD=4，则AG的长为（　　） A． B． +2 C．2 +1 D． +1 9．在中，、都是锐角，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度（）得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为（　　） A．或 B．2或 C．或 D．或3 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是　 　． 12．如图⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，若AB＝26，CD＝24，则tan∠OCE＝　 　. 13．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于　 　 度． 14．　 　（填“＞或＜”）. 15．如图，边长为1的小正方形网格中，点 均在格点上，半径为2的 与 交于点F，则 　 　． 16．如图1是一种壁挂式投影仪．投影时，需将展台绕点旋转至水平状态，投影杆可绕点顺时针旋转合适角度，其侧面示意图如图2所示．在活动课上，小章同学旋转至位置，点竖直上升，投射线；当完全打开至位置时，地面被投射到的区域宽度　 　（相关数据如图2所示）． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，在边长为1的小正方形网格中有A，B，C，D 四点，且A，B，C，D均在格点(网格线的交点)上. 请以点A为原点建立平面直角坐标系，并解答下列问题： （1）请写出B，C，D三点的坐标； （2）连接CD，请画出线段 CD关于y轴对称的线段 MN并写出点M，N的坐标(M，N分别为C，D的对应点)； （3）连接AC，画出将AC绕原点A顺时针旋转90°得到的对应线段AE，连接ED，请求出点 E 的坐标及线段DE 的长； （4）连接AB，AC，AD. ①请判断与的大小关系，并说明理由； ②请计算的值. 18．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点． 测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内． （参考数据：，，，，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求坡面的水平距离和垂直距离； （2）求山的高． 19．计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°． 20．点为塔楼底面中心，测角仪高度，在，处分别测得塔楼顶端的仰角为，，，点，，在同一条直线上，求塔楼的高度结果精确到米；参考数据：，， 21．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求古塔BC的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin76°≈0.9703，cos76°≈0.2419，tan76°≈4.0108） 22．如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比） 23．为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长（结果保留整数，参考数据：，）． 24．如图，AB是一条东西走向的海岸线，一艘货船在点处测得灯塔位于北偏东方向后，以每小时40海里的速度沿北偏东方向航行，经过2小时后到达点处，在处测得灯塔位于南编东方向，已知灯塔距离海岸的距离BC是44海里，求此时货船与灯塔之间的距离CD.（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，) 25．已知正方形ABCD，点M是边AB的中点． （1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F． ①求证：BE=CF；②求证：BE2=BC•CE． （2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长CD于点F，求tan∠CBF的值． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．计算： （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解： ， 故答案为：B. 【分析】根据特殊锐角三角函数值进行化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可. 2．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1= ，则∠2的度数为（　　） A．120° B．135° C．145° D．150° 【答案】B 【解析】【解答】解：如图所示， ∵sin∠1= ， ∴∠1=45°， ∵直角△EFG中，∠3=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°， ∴∠4=180°﹣∠3=135°， 又∵AB∥CD， ∴∠2=∠4=135°． 故答案为：B． 【分析】根据特殊锐角值得出∠1=45°，进而根据三角形的内角和算∠3与∠4的度数，再根据二直线平行同位角相等得出结论。 3．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（　　） A． B．51 C． D．101 【答案】C 【解析】【解答】解：设AG=x， 在Rt△AEG中， ∵tan∠AEG=， ∴EG==x， 在Rt△ACG中， ∵tan∠ACG=， ∴CG==x， ∴x﹣​x=100， 解得：x=50． 则AB=50+1（米）． 故选C． 【分析】设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH． 4．如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠A的正切值是(　　) A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，在Rt△ADB中， ∴AD＝，BD＝， ∴∠BAC 的正切值是． 故答案为：D． 【分析】先利用勾股定理求出AD和BD的长，再利用正切定义及计算方法列出算式求解即可. 5．计算（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：sin30°−tan45° ＝−1 ＝−， 故答案为：B． 【分析】根据特殊角的三角函数值，sin30°=，tan45°=1，代入计算即可． 6．如图，在 中， ， ，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，AB于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交BC于点E．则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：由作法得 平分 ， 作 于H，如图， 为角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， 在 中， ． 故答案为：A． 【分析】利用基本作图得 平分 ，作 于 ，如图，根据角平分线的性质得 ，再利用等腰直角三角形的性质得 ， ， ，设 ，则 ， ， ，所以 ，然后根据正切的定义求解． 7．如图，是以为底边的等腰三角形，点为的外心，连接交于点.若，则的长为（　　） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【解析】【解答】连接OC，如图所示： ∵点为的外心，△ABC是等腰三角形， ∴OA=OC，AO⊥BC， ∵， ∴OA=OC=AC=1， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠OAC=60°， 在Rt△AMC中， MC=AC×sin∠MAC=1×=， ∴BC=2MC=2×=， 故答案为：A. 【分析】先利用三角形外心的性质可得AO⊥BC，再证出△OAC是等边三角形，可得∠OAC=60°，再利用解直角三角形的方法求出MC的长，最后求出BC的长即可. 8．已知如图，菱形ABCD四个顶点都在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF垂直AB交AC于点G，反比例函数 ，经过线段DC的中点E，若BD=4，则AG的长为（　　） A． B． +2 C．2 +1 D． +1 【答案】A 【解析】【解答】解：过E作y轴和x的垂线EM，EN， 设E(b，a)， ∵反比例函数y=(x>0)经过点E， ∴ab=， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，DO=BD=2， ∵EN⊥x，EM⊥y， ∴四边形MENO是矩形， ∴ME∥x，EN∥y， ∵E为CD的中点， ∴DO⋅CO=， ∴CO=， ∴tan∠DCO= ∴∠DCO=30∘， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60∘， ∴∠1=30∘，AO=CO=， ∵DF⊥AB， ∴∠2=30∘， ∴DG=AG， 设DG=r，则AG=r，GO=23√−r， ∵AD=AB，∠DAB=60∘， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=60∘， ∴∠3=30∘， 在Rt△DOG中，DG2=GO2+DO2， ∴r2=(−r)2+22， 解得：r=， ∴AG=， 故答案为：A 【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，先证明四边形MENO是矩形，设E（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab= ，进而可计算出CO长，根据三角函数可得∠DCO=30°，再根据菱形的性质可得∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60°，∠1=30°，AO=CO=，然后利用勾股定理计算出DG长，进而可得AG长。 9．在中，、都是锐角，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得，， 解得， 、都是锐角， ， ， ， 故选：B． 【分析】本题考查特殊角的三角函数与三角形内角和，结合非负数（绝对值、平方）的和为0，则每一项均为0，结合特殊角的三角函数值求出∠A、∠C，再用内角和求∠B. 10．如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度（）得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为（　　） A．或 B．2或 C．或 D．或3 【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得分两种情况： ①如图1，，延长交于，过点作，交的延长线于， ， 四边形是矩形， ，， ，即， 设，， ， 由平移得：， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； ②如图2，，延长交于，则， ， 由平移得：， 同理设，，则， ， ，， ， ， ， ，即， ， ； 综上，的值是或． 故答案为：A 【分析】根据题意分类讨论：①，延长交于，过点作，交的延长线于，进而根据矩形的性质得到，，再运用锐角三角函数的定义即可设，，进而根据平移的性质得到，再结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解；②，延长交于，则，根据平移的性质得到，同理设，，则，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解。 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N， ∵DE平分△ABC的周长， ∴ME=EB，又AD=DB， ∴DE= AM，DE∥AM， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACM=120°， ∵CM=CA， ∴∠ACN=60°，AN=MN， ∴AN=AC•sin∠ACN= ， ∴AM= ， ∴DE= ， 故答案为： 【分析】延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据DE平分△ABC的周长，故ME=EB，又AD=DB，根据三角形的中位线定理得出DE= AM，DE∥AM，根据等腰三角形的三线合一得出∠ACN=60°，AN=MN，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AN=AC•sin∠ACN得出AN的长，进而得出 AM的长，从而得出DE的长。 12．如图⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，若AB＝26，CD＝24，则tan∠OCE＝　 　. 【答案】 【解析】【解答】∵直径AB⊥弦CD，AB＝26，CD＝24 ∴OC＝13，CE＝12 ∴ ∴tan∠OCE＝ . 【分析】先根据垂径定理求得CE的长，再根据勾股定理求的OE的长，最后根据锐角三角函数的定义求解即可. 13．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于　 　 度． 【答案】90 【解析】【解答】解：∵C岛在A岛的北偏东50°方向， ∴∠DAC=50°， ∵C岛在B岛的北偏西40°方向， ∴∠CBE=40°， ∵DA∥EB， ∴∠DAB+∠EBA=180°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， ∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°． 故答案为：90． 【分析】根据方位角的概念和平行线的性质，结合三角形的内角和定理求解． 14．　 　（填“＞或＜”）. 【答案】> 【解析】【解答】解：∵35°＞22°， ∴＞ 。 故答案为：＞. 【分析】根据锐角的正切随着角度的增大而增大，即可得出答案。 15．如图，边长为1的小正方形网格中，点 均在格点上，半径为2的 与 交于点F，则 　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ∴在 中， ∴ ． 故答案为： 【分析】根据圆周角定理得到 ，根据正方形网格特点和正切函数定义即可求解． 16．如图1是一种壁挂式投影仪．投影时，需将展台绕点旋转至水平状态，投影杆可绕点顺时针旋转合适角度，其侧面示意图如图2所示．在活动课上，小章同学旋转至位置，点竖直上升，投射线；当完全打开至位置时，地面被投射到的区域宽度　 　（相关数据如图2所示）． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意得：，， 如图，过作于点， 则， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 过作于点，交于点， 易得四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵投射角始终不变， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】由题意得：，，过作于点，由勾股定理得：，易得四边形为矩形，则有，过作于点，交于点，易得四边形为矩形，证明，根据性质可得，最后由线段和差即可求解． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，在边长为1的小正方形网格中有A，B，C，D 四点，且A，B，C，D均在格点(网格线的交点)上. 请以点A为原点建立平面直角坐标系，并解答下列问题： （1）请写出B，C，D三点的坐标； （2）连接CD，请画出线段 CD关于y轴对称的线段 MN并写出点M，N的坐标(M，N分别为C，D的对应点)； （3）连接AC，画出将AC绕原点A顺时针旋转90°得到的对应线段AE，连接ED，请求出点 E 的坐标及线段DE 的长； （4）连接AB，AC，AD. ①请判断与的大小关系，并说明理由； ②请计算的值. 【答案】（1）解：如图 ∴点B，C，D三点的坐标分别为(1，3)，(3，3)，(5，1) （2）解：如图 ∴点M，N的坐标分别为(-3，3)，(-5，1) （3）解：如图，AE 即为所求 ∴点E的坐标为(3，-3) 且点D的坐标为(5，1) ∴DE= （4）① 如图，把AB沿AC折叠得线段AB’，连接CD ∴∠BAC=∠B’AC 且∠DAC=∠B’AC+∠B’AD ∴∠BAC＜∠DAC ②∵AC= CD= AD= ∴AD2=AC2+CD2 ∴△ACD是直角三角形 ∴ 【解析】【分析】（1）根据以点A为原点建立平面直角坐标系可得点B、C、D的坐标； （2）根据y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数可得M、N的坐标，连接两点可得图像； （3）根据旋转90°可得点D坐标，再根据平面直角坐标系中两点间的距离可得DE的长度； （4）①把AB沿AC折叠得线段AB’，根据角的和差可判断大小； ②根据平面直角坐标系中两点间的距离可得AC、CD、AD的长度，再根据勾股定理的逆定理可判断△ACD是直角三角形，再根据正弦函数=可得结果. 18．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点． 测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内． （参考数据：，，，，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求坡面的水平距离和垂直距离； （2）求山的高． 【答案】（1）解：在中，，，， ， ， ；； 答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和。 （2）解：延长交于点，如图所示： 则四边形是矩形， 设， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ，即， 解得 ， 答：山的高度为。 【解析】【分析】（1）在中，根据正弦函数、余弦函数定义：，，代入数据即可求出CH和AH的值。 （2）延长交于点，设，根据矩形性质，可得，，代入数据，求出BG的关系式，在中，根据正切函数定义：，代入数据即可求出BD的值。 （1）解：在中，，，， ，， ；； 答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和； （2）解：延长交于点，如图所示： 则四边形是矩形， 设， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ，即， 解得 ， 答：山的高度为． 19．计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°． 【答案】解：原式=•+（）2﹣+2× =+﹣+ =1+． 【解析】【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 20．点为塔楼底面中心，测角仪高度，在，处分别测得塔楼顶端的仰角为，，，点，，在同一条直线上，求塔楼的高度结果精确到米；参考数据：，， 【答案】解：解：延长交于点， 则，，， ， ， ， 设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 答：塔楼的高度为米． 【解析】【分析】延长AC交OP于点E，由，得CE=PE， 设CE=PE=x，在Rt△APE中利用正切求出x即可解答. 21．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求古塔BC的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin76°≈0.9703，cos76°≈0.2419，tan76°≈4.0108） 【答案】解：（ ）过点 作 ，垂足为点 ， ∵斜坡 的坡度为 ， ∴ ， 设 ，则 ，由勾股定理， 得 ， 解得 ， ∴ ， 答：坡顶 到地面 的距离为 ． （ ）延长 交 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ， ， ∵ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， 在 中， ，即 ． 解得 ． 答：古塔 的高度约为 米． 【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥PO于点H，利用坡度的定义，及勾股定理就求出AP的长，即可得出AH的长。 （2）延长BC交PO于点D，易证四边形AHDC是矩形，再证明PD=BD，设BC=x，用含x的代数式表示出AC，然后利用解直角三角形建立关于x的方程，解方程求出x的值。 22．如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比） 【答案】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H， 在Rt△CEF中， ∵i= = =tan∠ECF， ∴∠ECF=30°， ∴EF= CE=10米，CF=10 米， ∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10 ）米， 在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°， ∴AH=HE=（25+10 ）米， ∴AB=AH+HB=（35+10 ）米． 答：楼房AB的高为（35+10 ）米． 【解析】【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1： ，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高． 23．为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长（结果保留整数，参考数据：，）． 【答案】解：过作于于， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴在中，， ∵米，， ∴（米）， ∵， ∴在中，， ∵四边形为矩形， ∴米， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长和的长分别约为米和米． 【解析】【分析】过作于于，根据直线平行性质可得，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，在中，根据正切定义可得AB，在中，根据正切定义可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案. 24．如图，AB是一条东西走向的海岸线，一艘货船在点处测得灯塔位于北偏东方向后，以每小时40海里的速度沿北偏东方向航行，经过2小时后到达点处，在处测得灯塔位于南编东方向，已知灯塔距离海岸的距离BC是44海里，求此时货船与灯塔之间的距离CD.（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，) 【答案】解：如解图，过点作交BC的延长线于点于点， 已的， ． ． 在中，， 在Rt中， 答：此时货船与灯塔之间的距离CD约为42.7海里. 【解析】【分析】分别延长AG，BC交过D点，平行AB的直线于E，F，则四边形ABFE是矩形，根据矩形的性质得到AE=BF，解直角三角形即可得到结论。掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键。 25．已知正方形ABCD，点M是边AB的中点． （1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F． ①求证：BE=CF；②求证：BE2=BC•CE． （2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长CD于点F，求tan∠CBF的值． 【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°， ∴∠ABG+∠CBF=90°， ∵∠AGB=90°， ∴∠ABG+∠BAG=90°， ∴∠BAG=∠CBF， ∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°， ∴△ABE≌△BCF (ASA) ∴BE=CF， ②∵∠AGB=90°，点M为AB的中点， ∴MG=MA=MB， ∴∠GAM=∠AGM， 又∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG， ∴∠CGE=∠CBG， 又∠ECG=∠GCB， ∴△CGE∽△CBG， ∴，即CG2=BC•CE， 由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG， 由①知BE=CF， ∴BE=CG， ∴BE2=BC•CE； （2）解：延长AE、DC交于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠N=∠EAB， 又∵∠CEN=∠BEA， ∴△CEN∽△BEA， ∴，∴BE•CN=AB•CE， ∵AB=BC，BE2=BC•CE， ∴CN=BE， ∵AB∥DN， ∴， ∵AM=MB， ∴FC=CN=BE， 不妨设正方形的边长为1，BE=x， 由BE2=BC•CE可得x2=1•（1﹣x）， 解得：x1=，x2=（舍）， ∴， 则tan∠CBF=． 【解析】【分析】（1）①先利用“ASA”证出△ABE≌△BCF，再利用全等三角形的性质可得BE=CF； ②先证出△CGE∽△CBG，可得，即CG2=BC•CE， 再结合∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，利用等量代换可得BE=CG，再化简可得BE2=BC•CE； （2）先证出△CEN∽△BEA， 可得，化简可得BE•CN=AB•CE， 再证出，结合AM=MB， 可得FC=CN=BE，设正方形的边长为1，BE=x， 将其代入BE2=BC•CE可得x2=1•（1﹣x）， 最后求出x的值，最后求出tan∠CBF=即可. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $