第1章 解直角三角形 单元综合能力突破卷 2025-2026学年 浙教版九年级下册数学

**基本信息** 本试卷为初中数学“解直角三角形”单元综合能力突破卷，通过生活实践（如停车规划、鱼竿钓鱼）、科技应用（如无人机测量）及文化传承（老式竹椅）等真实情境，全面考查三角函数定义、解直角三角形及实际应用，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|三角函数定义、计算器使用、坡度坡角|第5题方位角结合勾股定理，第9题高脚凳模型考查平行线分线段成比例| |填空题|6|特殊角三角函数、俯角仰角、弧长计算|第12题停车位规划体现应用意识，第16题水槽滚动结合动态几何| |综合题|9|跨学科问题（如跨学科主题学习中心扩建）、复杂模型（如台灯连杆运动）|第24题结合新课标跨学科要求，第25题通过变式训练提升推理能力|

第1章 解直角三角形 单元综合能力突破卷 一、单选题 1．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 2．计算的值（　　） A．3 B．1 C． D． 3．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．用计算器求 的值，按键顺序是（　　） A． B． C． D． 5．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A．80m B．100m C．120m D．140m 6．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（　　） A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米 7．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝2，则AC＝（　　） A．2sin50° B．2sin40° C．2tan50° D．2tan40° 8．如图，河岸AD、BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A、B，夹角∠BCA=50度，测得BC=45m，则桥长AB=（　　）m． A． B．45•cos50° C． D．45•tan50° 9．如图是一张高脚木凳，AC∥EF∥GH，AB=CD，点E，G是AB的三等分点，已知EF与GH之间的距离为25cm，∠EGH=80°，则椅脚AB的长度为 cm（　　） A． B．75sin80° C． D． 10．如图，矩形 中， ，将矩形 绕点 旋转得到矩形 ，使点 的对应点 落在 上， 交 于点 ，在 上取点 ，使 .若 ，则 的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．sin60°的相反数是　 　 12．为解决停车难得问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出　 　个这样的停车位（ ） 13．如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高26m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB是　 　米（结果保留根号） 14．如图，一艘渔船向东航行，8点到达O处，灯塔A在其北偏东60°方向，距离16海里，10点到达B处，灯塔A在其正北方向，此时渔船与灯塔A相距　 　海里． 15．如图，已知中，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　 　． 16．如图1装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，为台面截线，． （1）在图1中，过点作于点，若，则　 　； （2）如图2，将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，但不能使水溢出，则的最大长度为　 　．（参考数据：，结果保留） 三、综合题 17．如图，某大厦“五一”期间，在滨海大道一侧的室外悬挂了一幅巨型竖直广告．小明进行实地测量时，从大厦底部的C处沿水平方向步行米到达自动扶梯底端点D，在D处测得条幅下端B的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端点E，测得电梯的长是米，且与地面的夹角为，然后他从点E处沿水平方向行走了米到达点F处，在点F处测得条幅上端A的仰角为．（参考数据：，，，） （1）填空：______°，______（用含根号的式子表示）； （2）求点E离地面的高度； （3）求AB的长度（精确到个位）． 18．如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处.如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米. （1）求的度数； （2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程. 19．如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内． （参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75） （1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE． （2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了　 　cm． 20．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF． （1）求证：∠E=∠C； （2）若DF=6cm，cosB= ，E是弧AB的中点，求DE的长. 21．我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示.已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m.海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m. （参考数据：sin37°＝co53° ，cos37°＝sin53° ，tan37° ，sin22° ，cos22° ，tan22° ） （1）如图1，在无鱼上钩时，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°，海面上方的鱼线BC与海面HC成一定角度.求点B到海面HC的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面.求点O到岸边DH的距离. 22．你还记得小时候的竹椅子么？一款老式竹编靠背椅的尺寸如图1（单位： ），如图2是它的侧面示意图，坐高 ，宽 ，背长 ，总高 . （1）求 的值. （2）现需特制一款椅子，保持总高不变，现要求靠背的倾斜角从 调整为 ，已知 ，则将横档 长度保持不变直接向下调整多少厘米即可？ 参考数据： ， ， 23．如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． （1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号） （2）求河流的宽度．（结果保留根号） 24． （1）【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，，，点E为AB延长线上一点，连接EC并延长，交AD的延长线于点F，则的度数为　 　°； （2）【问题探究】如图2，在Rt△ABC中，，点D、E在直线BC上，连接AD、AE，若，，求△ADE面积的最小值； （3）【问题解决】近日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，此次修订中增加的跨学科主题学习活动，突破学科边界，鼓励教师开展跨学科教研，设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学习活动.为此，某校欲将校园内一片三角形空地ABC（如图3所示）进行扩建后作为跨学科主题学习活动中心，在AB的延长线上取一点D，连接DC并延长到点E，连接AE，已知，米，，为节约修建成本，需使修建后△ADE的面积尽可能小，问△ADE的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由. 25．如图1，△ABC中，∠B＝30°，点D在BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE，交AC于点F.若∠EFC＝60°，DE＝2AC，求 的值.某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法： 小明：“通过观察和度量，发现∠C与∠D存在某种数量关系”； 小强：“通过构造三角形，证明三角形相似，进而可以求得 的值. 老师：如图2，将原题中“点D在BA的延长线上，点E在BC边上”改为“点D在AB边上，点E在BC的延长线上”，添加条件“BC＝5 ，EC＝4 ”，其它条件不变，可求出△BED的面积. 请回答： （1）用等式表示∠C、∠D的数量关系并证明； （2）求 的值； （3）△BDE的面积为　 　（直接写出答案）. 答案 一、单选题 1．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：cosα= = = ． 故答案为：D． 【分析】根据余弦三角函数的定义及等角的同名三角函数相等进行判断即可。 2．计算的值（　　） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：． 故答案为：A． 【分析】直接将30°角的余弦值代入计算即可. 3．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，利用格点作交的延长线于点D， 则，， 因此， 故答案为：A． 【分析】利用格点作交的延长线于点D，先利用勾股定理求出AB的长，再利用正弦的定义可得的答案。 4．用计算器求 的值，按键顺序是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：先按键“ ”，再输入角的度数 ，按键“=”即可得到结果， 故答案为：B. 【分析】根据用计算器求解三角函数值的按键顺序可知先按三角函数的名称sin，再输入角度，最后按=即可. 5．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A．80m B．100m C．120m D．140m 【答案】B 【解析】【解答】解：∵∠APB=180°-60°-30°=90°，PA=3×20=60（m），PB=4×20=80（m）， ∴（m）， 答：20s后他们之间的距离为100m. 故答案为：B. 【分析】根据平角的概念可得∠APB=180°-60°-30°=90°，由题意可得PA=3×20=60m，PB=4×20=80m，然后利用勾股定理进行计算. 6．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（　　） A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+ ）米 【答案】A 【解析】【解答】解： 设CD=x，则AD=2x， 由勾股定理可得，AC= = x， ∵AC=3 米， ∴ x=3 ， ∴x=3米， ∴CD=3米， ∴AD=2×3=6米， 在Rt△ABD中，BD= =8米， ∴BC=8﹣3=5米． 故答案为：A 【分析】设CD=x，则AD=2x，利用勾股定理表示出AC，再由已知AC的值，求出x的值，再由勾股定理求出BD的值，即可得BC的值. 7．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝2，则AC＝（　　） A．2sin50° B．2sin40° C．2tan50° D．2tan40° 【答案】B 【解析】【解答】解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣50°=40°， 又∵sinB=， ∴AC=AB•sinB=2sin40°． 故答案为：B． 【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。 8．如图，河岸AD、BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A、B，夹角∠BCA=50度，测得BC=45m，则桥长AB=（　　）m． A． B．45•cos50° C． D．45•tan50° 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可得， ∠ABC=90°，BC=45m，∠BCA=50°， ∴AB=BC•tan50°=45•tan50°， 故选D． 【分析】根据锐角三角函数可以求得AB的长，本题得以解决． 9．如图是一张高脚木凳，AC∥EF∥GH，AB=CD，点E，G是AB的三等分点，已知EF与GH之间的距离为25cm，∠EGH=80°，则椅脚AB的长度为 cm（　　） A． B．75sin80° C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵E、G是AB的三等分点， ∴AE=EG=GB=， ∴AE：EG：GB=1：1：1， ∵ AC∥EF∥GH， ∴， ∴CF=FH， 过E点作ME⊥GH于M， ∵EF∥GH， ∴EM即为EF与GH之间的距离， 在Rt△EMG中， sin∠EGM=， ∵∠EGM=∠EGH=80°， 且EF与GH之间的距离为25cm， ∴EM=25cm， ∴sin∠EGM=sin80°=， ∴EG==（cm）， ∵EG=AB， ∴AB=3EG=3×=（cm）， 故答案为：C. 【分析】 利用E、G是AB的三等分点，可得到AE：EG：GB=1：1：1，利用平行线分线等成比列定理可证得CF=FH，过E点作ME⊥GH于M，可推出EM即为EF与GH之间的距离；在Rt△EMG中，利用锐角三角函数的定义可证得sin∠EGM=，根据EF与GH之间的距离可得到EM的长，利用解直角三角形可求出EG的长；然后根据AB=3EG，可求出AB的长. 10．如图，矩形 中， ，将矩形 绕点 旋转得到矩形 ，使点 的对应点 落在 上， 交 于点 ，在 上取点 ，使 .若 ，则 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，连接AF，过A作AM⊥BF， ∵在Rt△ABC中，AC=2AB， ∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°， ∵AB=AB′， ∴△AB′B为等边三角形， ∴BB'=AB'=AB， ∵AB=B′F， ∴AB'=BB'=B'F， ∵∠AB′F=∠ABC=90°， ∴∠AFB′=45°，∠BB'F=90°+60°=150°， ∴∠BFB'=∠FBB'=15°， ∴∠AFM=30°，∠ABF=45°， ∴在Rt△AMF中，AM=BM=AB•cos∠ABM= ， MF= ， ∴BF= ， 故答案为：A. 【分析】连接AF，过A作AM⊥BF，易得∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，推出△AB′B为等边三角形，由等边三角形的性质以及已知条件可得AB'=BB'=B'F，然后求出∠AFB′、∠BB'F、∠BFB'、∠AFM、∠ABF的度数，由三角函数的概念求得AM、MF的值，进而求得BF的值. 二、填空题 11．sin60°的相反数是　 　 【答案】 【解析】【解答】∵sin60°= ， 的相反数是- ， ∴sin60的相反数是- ． 故答案为：- ． 【分析】先求得sin60°，再在其前加一个负号即为它的相反数. 12．为解决停车难得问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出　 　个这样的停车位（ ） 【答案】17 【解析】【解答】解：如图， CE=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1米， BC=（5-CE× ）× ≈1.98米， BE=BC+CE≈5.04， EF=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1米， （56-3.1-1.98）÷3.1+1 =50.92÷3.1+1 ≈17（个）． 故这个路段最多可以划出17个这样的停车位． 故答案为：17． 【分析】如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56-BE）÷EF+1，列式计算即可求解． 13．如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高26m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB是　 　米（结果保留根号） 【答案】26-26 14．如图，一艘渔船向东航行，8点到达O处，灯塔A在其北偏东60°方向，距离16海里，10点到达B处，灯塔A在其正北方向，此时渔船与灯塔A相距　 　海里． 【答案】8 【解析】【解答】解：由题意知，，海里， 则海里； 故答案为：8 【分析】根据含角直角三角形的性质，可知角对应边等于斜边的一半，据此即可求解。 15．如图，已知中，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　 　． 【答案】 16．如图1装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，为台面截线，． （1）在图1中，过点作于点，若，则　 　； （2）如图2，将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，但不能使水溢出，则的最大长度为　 　．（参考数据：，结果保留） 【答案】8； 【解析】【解答】解：（1）连接，如图： ∵水槽横截面是以为直径的半圆，且， ∴， 又∵， ∴，， ∵， ∴， 则． 故答案为：8； （2）水槽向右滚动时，的长度会发生变化，当点D和点B重合时，水不溢出，且的长度最大，连接和，如图， 则， ∵，水槽横截面是以为直径， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 则． 故答案为：． 【分析】（1）连接，，由题意得，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可得DE=4，即可求出答案. （2）当点D和点B重合时，水不溢出，且的长度最大，连接和，根据和求得，结合圆周角定理得，利用弧长公式即可求得答案． 三、综合题 17．如图，某大厦“五一”期间，在滨海大道一侧的室外悬挂了一幅巨型竖直广告．小明进行实地测量时，从大厦底部的C处沿水平方向步行米到达自动扶梯底端点D，在D处测得条幅下端B的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端点E，测得电梯的长是米，且与地面的夹角为，然后他从点E处沿水平方向行走了米到达点F处，在点F处测得条幅上端A的仰角为．（参考数据：，，，） （1）填空：______°，______（用含根号的式子表示）； （2）求点E离地面的高度； （3）求AB的长度（精确到个位）． 【答案】（1）， （2）米 （3）米 18．如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处.如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米. （1）求的度数； （2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程. 【答案】（1）解：∵山坡②的坡度， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）解：∵，， ∴， ∴千米， ∵，， ∴， ∴， ∴该登山运动爱好者走过的路程.. 【解析】【分析】（1）根据山坡②的坡度结合特殊角的三角函数值可得∠BCN=45°，然后根据平角的概念进行计算； （2）根据∠BCN的余弦三角函数的概念及∠ACM的正弦三角函数概念可得BC、AC的值，然后求出AC+BC即可. 19．如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内． （参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75） （1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE． （2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了　 　cm． 【答案】（1）解：作BF⊥DE于点F，则∠BFE＝∠BFD＝90°， ∵DE⊥l，AB⊥l， ∴∠BEA＝∠BAE＝90°＝∠BFE． ∴四边形ABFE为矩形． ∴EF＝AB＝5cm，EF∥AB， ∵EF∥AB， ∴∠D+∠ABD＝180°， ∵∠ABD＝143°， ∴∠D＝37°， 在Rt△BDF中，∵∠BFD＝90°， ∴ ＝cosD＝cos37°＝0.8， ∵DB＝DC+BC＝20+20＝40， ∴DF＝40×0.8＝32， ∴DE＝DF+EF＝32+5＝37cm， 答：连杆端点D离桌面l的高度DE为37cm； （2）4 【解析】【解答】解：（2）如图3，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形， ∵∠CBH＝53°，∠CHB＝90°， ∴∠BCH＝37°， ∵∠BCD＝180°﹣16°＝164°，∠DCP＝37°， ∴CH＝BCsin53°＝20×0.8＝16（cm），DP＝CDsin37°＝20×0.6＝12（cm）， ∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝12+16+5＝33（cm）， ∴下降高度：DE﹣DF＝37﹣33＝4（cm）． 故答案为：4． 【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF﹣DE即可解决问题． 20．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF． （1）求证：∠E=∠C； （2）若DF=6cm，cosB= ，E是弧AB的中点，求DE的长. 【答案】（1）证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵CD=BD， ∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC， ∴∠B=∠C， 又∵∠B=∠E， ∴∠E=∠C。 （2）解：连接AD，OE，过A作AG⊥DE，垂足为G， ∵∠CFD=∠E=∠C， ∴FD=CD=BD=6， ∵cosB= ， ∴AB=10， ∴AD=。∵E是 的中点，AB是⊙O的直径， ∴∠AOE=90°， ∵AO=OE=5， ∴AE=5 ， ∵E是 的中点， ∴∠ADE=∠BDE=45°， ∴DG=AG=ADsin45°=8× =4 ，EG= =3 ， ∴DE=DG+GE=7 ． 【解析】【分析】（1）连接AD，由“直径所对的圆周角是直角”可得AD⊥BC，而CD=BD，则AD垂直平分BC，所以AB=AC。由等边等对角，可知∠B=∠C；由同弧所对的圆周角相等，则可得证。 （2）由圆内接四边形的性质可得∠CFD=∠E=∠C，则FD=CD=BD=6；由E是弧AB的中点，可联系圆周角定理，则连接AD，OE，则∠ADE=∠BDE=45°，在Rt△ABD中，由cosB=求得AB，则可求得AD；在Rt△AOE中，可求得AE。在△ADE中，AD，AE已求得，且∠ADE=45°，根据解直角三角形的知识，可过点A作AG⊥DE，分别求出DG和EG，则DE=DG+EG。 21．我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示.已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m.海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m. （参考数据：sin37°＝co53° ，cos37°＝sin53° ，tan37° ，sin22° ，cos22° ，tan22° ） （1）如图1，在无鱼上钩时，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°，海面上方的鱼线BC与海面HC成一定角度.求点B到海面HC的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面.求点O到岸边DH的距离. 【答案】（1）解：过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于E，垂足为E， 则AE⊥BF， ∵sin∠BAE ， ∴sin22° ， ∴ ，即BE≈1.8m， ∴BF＝BE+EF＝1.8+1.2＝3（m）， 答：点B到海面HC的距离为3米 （2）解：过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，垂足为M， 由cos∠BAM ， ∴cos53° ， ∴ ， 即AM≈2.88m， ∴DM＝AM﹣AD＝2.88﹣0.4＝2.48（m）， ∵sin∠BAM ， ∴sin53° ， ∴ ，即BM≈3.84m， ∴BN＝BM+MN＝3.84+1.2＝5.04（m）， ∴ON 2.1（m）， ∴OH＝ON+HN＝ON+DM＝4.58（m）， 即点O到岸边的距离为4.58m. 【解析】【分析】（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于E，则AE⊥BF，由sin∠BAE ，可求出BE，根据BF＝BE+EF即可求解； （2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，垂足为M，由cos∠BAM 求出AM，即得DM， 由sin∠BAM 求出MB，从而求出BN＝BM+MN的长，利用勾股定理求出ON，利用OH＝ON+HN＝ON+DM 即可求解. 22．你还记得小时候的竹椅子么？一款老式竹编靠背椅的尺寸如图1（单位： ），如图2是它的侧面示意图，坐高 ，宽 ，背长 ，总高 . （1）求 的值. （2）现需特制一款椅子，保持总高不变，现要求靠背的倾斜角从 调整为 ，已知 ，则将横档 长度保持不变直接向下调整多少厘米即可？ 参考数据： ， ， 【答案】（1）解：如图，延长DA交EF于点M， 由题意得：AB⊥BF，EF⊥BF，AB⊥AM， ∴四边形ABFM为矩形， ∴FM=AB=35cm， ∴EM=EF－FM=71－35=36cm， ∴ ， ∴ ； （2）解：如图，延长DA交EF于点M，延长GH交EF于点K，延长 交EF于点N， 由题意得：AB⊥BF，EF⊥BF，AB⊥AM， ∴四边形ABFM为矩形， 同理可得：四边形AHKM、四边形 是矩形， ∴KM＝AH＝12cm， ∴EK＝EM＋KM＝48cm， ∵AD//GH， ∴∠EDA＝∠EGK， ∴tan∠EDA＝tan∠EGK＝ ， ∴ ， 即： ， 解得： ， ∵横档 长度保持不变， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴ . ∴将横档 长度保持不变直接向下调整7厘米即可. 【解析】【分析】（1）延长DA交EF于点M，可证四边形ABFM为矩形，可得FM=AB=35cm，从而求出EM=EF－FM=36cm，利用勾股定理求出DM=15cm，根据即可求解 ； （2）如图，延长DA交EF于点M，延长GH交EF于点K，延长 交EF于点N，可证四边形ABFM、四边形AHKM、四边形 都是矩形，可求出KM、AH、EK的长，利用平行线的性质可得∠EDA＝∠EGK，即得tan∠EDA＝tan∠EGK＝，据此可求出GK，即得G'N，根据，可求出EN，利用KN=EN-EK即可求解. 23．如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． （1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号） （2）求河流的宽度．（结果保留根号） 【答案】（1）米 （2）米 24． （1）【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，，，点E为AB延长线上一点，连接EC并延长，交AD的延长线于点F，则的度数为　 　°； （2）【问题探究】如图2，在Rt△ABC中，，点D、E在直线BC上，连接AD、AE，若，，求△ADE面积的最小值； （3）【问题解决】近日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，此次修订中增加的跨学科主题学习活动，突破学科边界，鼓励教师开展跨学科教研，设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学习活动.为此，某校欲将校园内一片三角形空地ABC（如图3所示）进行扩建后作为跨学科主题学习活动中心，在AB的延长线上取一点D，连接DC并延长到点E，连接AE，已知，米，，为节约修建成本，需使修建后△ADE的面积尽可能小，问△ADE的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）60 （2）解：S△ADE=DE·AB=3DE， ∴当DE取最小值时，△ADE面积取最小值. 作△ADE的外接圆，圆心为O，连接OD、OE、OA，过O作OH⊥DE于H， 则∠DOE=2∠DAE=120°， 由OD=OE知，∠ODH=30°， ∴OD=2OH， ∵OA+OH≥AB， ∴OA+OA≥6， 即OA≥4，OH≥2， 由垂径定理得：DE=2DH=2OH≥， 此时，A、O、H共线，AD=AE， ∴△ADE面积的最小值为：3×=. （3）解：过C作CH⊥AE于H，如图所示， 设BD=x，EF=y， ∵∠ABC=90°，AE∥BC， ∴四边形ABCF为矩形， ∵AB=BC=40 ∴四边形ABCF为正方形， 由tan∠E=tan∠BCD知，， 即， ∴y=， 即xy=1600， ∵， ∴=80， 当x=y时取等号，即x+y的最小值为80， 又△ADE的面积=正方形ABCF面积+三角形BCD面积+三角形CEF面积， 即△ADE的面积=1600+20（x+y）≥1600+20×80=3200， 综上所述，△ADE的面积的最小值为3200 m2. 【解析】【解答】解：（1）在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠BCD=360°－∠A－∠ABC－∠ADC=120°， ∴=180°－∠BCD=60°， 故答案为：60； 【分析】（1）利用四边形内角和定理即可求解； （2） 由S△ADE=DE·AB=3DE，可知当DE取最小值时，△ADE面积取最小值；作△ADE的外接圆，圆心为O，连接OD、OE、OA，过O作OH⊥DE于H， 由于 OA+OH≥AB， 可得OA+OA≥6， 从而得解； （3）过C作CH⊥AE于H， 可得四边形ABCF为正方形，由tan∠E=tan∠BCD知 ，可得 xy=1600，根据 =80，当x=y时取等号，即x+y的最小值为80， 由△ADE的面积=正方形ABCF面积+三角形BCD面积+三角形CEF面积，即可求解. 25．如图1，△ABC中，∠B＝30°，点D在BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE，交AC于点F.若∠EFC＝60°，DE＝2AC，求 的值.某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法： 小明：“通过观察和度量，发现∠C与∠D存在某种数量关系”； 小强：“通过构造三角形，证明三角形相似，进而可以求得 的值. 老师：如图2，将原题中“点D在BA的延长线上，点E在BC边上”改为“点D在AB边上，点E在BC的延长线上”，添加条件“BC＝5 ，EC＝4 ”，其它条件不变，可求出△BED的面积. 请回答： （1）用等式表示∠C、∠D的数量关系并证明； （2）求 的值； （3）△BDE的面积为　 　（直接写出答案）. 【答案】（1）解：结论：∠C+∠D＝90°. 理由：如图1中， ∵∠AFD=∠EFC=60°， ∵∠BAC＝180°﹣∠C﹣30°＝150°﹣∠C，∠BAC＝∠AFD+∠D＝60°+∠D， ∴150°﹣∠C＝60°+∠D， ∴∠C+∠D＝90° （2）解：过点A作AG⊥BC垂足为G，交DE点Q，过点E作EH⊥BD垂足为H，则∠DHE＝∠BHE＝90°. ∵∠AGC＝90°， ∴∠DHE═∠AGC. ∵∠C+∠D＝90°， ∠C+∠CAG＝90°. ∴∠D＝∠CAG， ∴△DEH∽△ACG. ∴ . ∴DH＝2AG. ∵∠B＝30°，∠AGB＝90°， ∴AB＝2AG. ∴AB＝DH. ∴AB﹣AH＝DH﹣AH. 即BH＝AD. 在Rt△BHE中， ＝cos30°＝ . ∴ ＝ ＝ （3） 【解析】【解答】（3）如图2中，在BA上取一点G，使得GB＝GC，作GJ⊥BC于J，AH⊥CG于H，EK⊥BA交BA的延长线于K. ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣∠ADE﹣∠AFD， ∴150°﹣∠ACB＝120°﹣∠ADF， ∴∠ACB﹣30°＝∠ADE， ∵GB＝GC，GJ⊥BC， ∴∠GCB＝∠B＝30°，BJ＝JC= ＝ ， ∴∠ACH＝∠ACB﹣30°＝∠EDK，BG＝CG＝ ＝5， ∵∠ACH＝∠EDK，∠AHC＝∠K＝90°， ∴△DEK∽△CAH， ∴ ， 在Rt△BKE中，∵∠K＝90°，∠B＝30°，BE＝9 ， ∴EK＝ ，BK＝ ， ∴AH＝ ， ∴GH＝ AH＝ ， ∴CH＝CG﹣GH＝ ， ∴DK＝2CH＝ ， ∴BD＝BK﹣DK＝ ﹣ ＝8， ∴S△BDE＝ BD·EK＝ ×8× ＝18 . 故答案为18 . 【分析】（1）结论：∠C+∠D＝90°.利用三角形的内角和定理解决问题即可.（2）过点A作AG⊥BC垂足为G，交DE点Q，过点E作EH⊥BD垂足为H，则∠DHE＝∠BHE＝90°.利用相似三角形的性质解决问题即可.（3）如图2中，在BA上取一点G，使得GB＝GC，作GJ⊥BC于J，AH⊥CG于H，EK⊥BA交BA的延长线于K.利用相似三角形的性质解决问题即可. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $