第1章 解直角三角形 单元培优检测题 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级下册

《解直角三角形》单元培优检测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．下列三角函数值是有理数的是（　　） A．tan30° B．tan45° C．sin60° D．cos45° 2．小明沿着坡比为的山坡向上走了300m，则他升高了（　　） A．m B．150m C．m D．100m 3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝5，sinA，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 4．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（　　） A． B． C．S1＝S2 D． 5．如图，某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为30°（AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　　）米． A．20 B．15 C．12 D． 6．如图，将一扇车门侧开，车门和车身的夹角∠MON为72°，车门的底边长ON为0.95米，则车门底边上点N到车身OM的距离为（　　） A．0.95sin72°米 B．0.95cos72°米 C．0.95tan72°米 D．0.95米 7．如图，嘉琪想测量一座古塔CD的高度，在A处测得∠CAD＝15°，再往前行进60m到达B处，测得∠CBD＝30°，点A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔CD的高度为（　　） A．40m B．30m C． D．50m 8．比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（　　） A．tan52°＜cos21°＜sin49° B．tan52°＜sin49°＜cos21° C．sin49°＜tan52°＜cos21° D．sin49°＜cos21°＜tan52° 9．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C都在网格点上，则cos∠ABC的值是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝6，，点D在AC上，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF⊥BC交BC于点F，若S△BFD＝2S△BDE，则CD长为（　　） A． B．3 C． D． 二．填空题（每题4分，共24分） 11．在△ABC中，∠C＝90°，若cosB，则sinA的值为　 　 ． 12．有一斜坡的坡度i＝12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为　 　 米． 13．在△ABC中，，则∠C的度数为　 　 ． 14．座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面AB始终保持水平状态，支撑架AC，BD与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背AE的长度为80cm，当椅背AE与椅面AB的夹角从150°调整到135°时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约　 　 cm．（结果精确至0.1cm，参考数据： 15．如图，每个小正方形的边长为1，点A，B、C均在格点上，则tanC的值是 　 　 ． 16．如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BC＝2BD，AC＝6，那么AB的长为 　 　 ． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．计算： （1）2cos30°•sin60°﹣tan45°•sin30°； （2）． 18．如图，在△ABC中，AE是BC边上的高，AD是BC边上的中线，AC＝13，AE＝5，sin∠ABE． （1）求BC的长； （2）求tan∠ADE的值． 19．某消防小组在地面A处借助无人飞机航拍大楼CD．如图，无人飞机从B处水平飞行至楼顶C处用了12秒，在B，C处测得地面上一点A的俯角分别为75°和30°．已知无人飞机的飞行速度为5米/秒，求大楼CD的高度．（结果保留根号） 20．如图1，某校的一棵银杏，树龄已逾千年，为了映衬这棵古银杏，园林部门以树干根部为中心，在其四周的地面铺设了圆形的景观草坪．小强所在综合学习小组，为了测量这棵银杏树的高度，采取如下测量方案：将测角仪支架AB放在圆形草坪的圆周上，使得测角仪与树干的距离等于圆形草坪的半径，当测角仪距离地面1米时，在A处测得树顶D的仰角为77°，再将测角仪的支架下降20厘米，在C处测得树顶的仰角为78°，如图2，请求出这棵银杏树的高度OD．（可选用数据：sin77°≈0.97，cos77°≈0.22，tan77°≈4.40，sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.44） 21．如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得AB＝120cm，BD＝80cm，∠ABD＝90°，∠BDQ＝60°，底座四边形EFPQ为矩形，EF＝5cm，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到1cm，参考数据：，） （1）求此时该展板点B到地面PF的距离． （2）该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大∠ABD，则当∠ABD从90°增大到105°后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 22．一酒精消毒瓶如图①，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图②，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm． （1）当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图③）．求BD旋转的角度； （2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 23．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管AB＝24cm，，试管倾斜角α为10°．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度（结果精确到0.1cm）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝27.36cm，MN＝8cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度（结果精确到1cm）． 24．如图为某公园平面图，B在A的正东方向，且E在A的东北方向，D在E的正东方向，且D在B北偏东30°方向，C在B正北方向，且C在D的西偏南30°方向，AE＝1200米．（参考数据：，） （1）求CD的长度．（结果保留整数） （2）某天，小麦与爸爸同时从A出发，小麦选择路线A→E→D，爸爸选择路线A→B→C→D，但当爸爸到B时接到通知C处有施工无法通行（接通知的时间忽略不计），于是爸爸选择B→D的小路继续到D，若在整个过程中，小麦与爸爸的速度均相同且保持不变，请通过计算小麦与爸爸谁先到达D处？ 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C B A B D B D 二．填空题 11．． 12．2.6． 13．105°． 14．16.4． 15．． 16．8． 三．解答题 17．解：（1）原式＝21 ＝1； （2）原式 |1| （2）+1 ＝23+1 4． 18．解：（1）∵∠AEB＝90°， 又∵， ∴， ∴， 又∵AC＝13，∠AEC＝90°， ∴， ∴BC＝CE﹣BE＝7． （2）如图： 由题意可得：， 又∵BE＝5， ∴， ∴． 19．解：作BE⊥AC于点E， 由题意得：CD⊥AD，BC∥AD，∠ABM＝75°，∠ACM＝30°， ∴∠BAC＝45°，∠CAD＝30°， ∵BC＝12×5＝60（米）， ∴AE＝BE＝30（米）， ∴（米）， ∴米， ∴米， 答：大楼CD的高度为米． 20．解：如图，作AE⊥OD，CF⊥OD，由题意得∠DAE＝77°，∠DCF＝78°，AB＝OE＝1m，AC＝EF＝20cm＝0.2m，则OF＝1﹣0.2＝0.8m，设树高OD＝hm， 在Rt△ADE中，，则， 同理在Rt△DCF中，，则， ∵AE＝CF，tan77°≈4.40，tan78°≈4.44， ∴， ∴4.44h﹣4.44＝4.4h﹣3.52， 0.04h＝0.92， 解得h＝23． 故树高OD为23米． 21．解：如图，过点A作AG⊥PF于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作DN⊥BM于点N， ， ∴四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，∴MH＝ND，EF＝HG＝5，BM//DH，∴∠NBD＝∠BDQ＝60°，（1）由图可得：B到地面PF的距离为MG， 在Rt△BND中， ∵∠NBD＝60°，BD＝80cm， ∴ND＝BD×sin60°＝（80）cm≈69cm， ∵MG＝MH+HG＝ND+EF，EF＝5cm， ∴MG＝（69+5）cm＝74cm． 故B到地面PF的距离为74cm； （2）最高点A到地面的高度为AG＝AM+MG＝AM+74cm， 当∠ABD＝90°时， ∠ABM＝∠ABD﹣∠NBD＝90°﹣60°＝30°， 在Rt△ABM中， ∵AB＝120cm，∠ABM＝30°， ∴AM＝AB×sin∠ABM＝AB×sin30°＝60cm， ∴AG＝（60+74）cm＝134cm， 当∠ABD＝105°时， ∠ABM＝45°， 同理得AM＝60cm≈85cm， ∴AG＝159cm， ∴Δh＝（159﹣134）cm＝25cm． 故当∠ABD从90°增大到105°后，展板的最高点A到地面的高度增加了25cm． 22．解：（1）∵BD'∥EF，∠BEF＝108°， ∴∠D′BE＝180°﹣∠BEF＝72°， ∵∠DBE＝108°， ∴∠DBD′＝∠DBE﹣∠D′BE＝108°﹣72°＝36°， 答：BD旋转的角度为36°； （2）如图③，过点D作DG⊥BD′，垂足为G，过点E作EH⊥BD′，垂足为H， 在Rt△BDG中，∠DBG＝36°， ∴DG＝BDsin36°≈6×0.59＝3.54（cm）， 在Rt△BHE中，∠EBH＝72°， ∴EH＝BEsin72°≈4×0.95＝3.80（cm）， ∴DG+EH＝3.54+3.80≈7.3（cm）， ∴点D到直线EF的距离为7.3cm． 23．解：（1）如图，过点E作EG⊥AC于点G． ∵∠C＝∠D＝∠EGH＝90°， ∴CD＝EG． ∵AB＝24cm，， ∴BE＝8cm， ∴AE＝16cm． EG＝AE•cos10°≈16×0.98≈15.7（cm）， ∴CD＝EG≈15.7cm． （2）如图，过点B分别作BH⊥DE于点H，BP⊥FC于点P． ∵ED⊥CF， ∴BH＝DP，BP＝HD． ∴∠EBH＝α＝10°， BH＝BE•cos∠EBH＝8•cos10°≈8×0.98＝7.84（cm）， HE＝BE•sin∠EBH＝8•sin10°≈8×0.17＝1.36（cm）， ∴DP＝BH≈7.84cm，HD＝DE﹣HE≈27.36﹣1.36＝26（cm）， ∴BP＝HD≈26cm． ∵∠PBF＝145°﹣90°﹣10°＝45°， ∴∠BFP＝180°﹣∠BPF﹣∠PBF＝45°， ∴PF＝BP≈26cm，NF＝MN＝8cm， ∴DN＝DP+PF﹣NF≈7.84+26﹣8≈26（cm）． 答：DN的长度约为26cm． 24．解：（1）过点E作EH⊥AB于点H，延长BC交ED于点P 由题意得：AE＝1200米，∠A＝45°，∠PDC＝30°＝∠CBD＝∠BDC， ∴在Rt△AEH中，， ∴， ∵∠EHB＝∠HEP＝∠EPB＝90°， ∴四边形EHBP为矩形， ∴， ∴在Rt△BPD中，， ∴， ∴在Rt△PCD中，， ∴（米）； 答：CD的长度为564米； （2）小麦先到D处，理由如下： 由（1）得：＝HB，， ∴在Rt△PBD中，， ∴小麦路线：， 爸爸路线：， ∵小麦与爸爸速度相同，而1690+EP＜1826+BH， ∴小麦先到达D处， 答：小麦先到达D处． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/11 23:08:21；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $