河南省南阳市名校2025-2026学年高二下学期阶段性学情检测数学试题

2026年春季高二年级阶段性学情检测 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第七章，选择性必修第二册 第一章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知数列0，一7，一26，一63，…，则该数列的通项公式可以为 A.a=7-7n B.a=1-n2 C.a,=1-n3 D.a=n3-1 2.已知A,B,C,D四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为一0.95，一0.82,0.86,0.93， 则线性相关程度最弱的是 A.A组 B.B组 C.C组 D.D组 3.某网店的衣服从小到大有S,M,L,XL,XXL,XXXL,XXXXI,共7个尺码，其中L码最适合 体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差 相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为 A.7.5 kg B.6.5 kg C.7 kg D.6 kg 4.在等比数列{am}中，a5,a1z是方程x2十225x十169=0的两个解，则a11= A.-13 B.±13 C.25 D.士25 5.在数列{am}中，a1=3,anam+1=12c0s[(n一1)π]，则a226= A.-3 B.-4 C.3 D.4 6.已知等比数列{an}的前n项和为Sm,且S1o=5,S2o=25,则S330= A.80 B.100 C.105 D.125 S 3n-1 设等差数列{a,,b,}的前n项和分别为$，T.,若2m十则0 碧 B. 58 c n9 8.已知数列{an}是首项为3的正项数列，则“an≥n·3m”是“a+1一(2m十3)anam+1一3(n十1)· a≥0”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【高二数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.小张读完某本书共需要10个小时，若他在3月1日，3月2日均未读这本书，且在3月3日读 了28分钟，从3月4日开始，每天读这本书的时间比前一天多4分钟，已知他在3月份只读 这一本书，则 A.他在3月5日读了32分钟 B.他在3月6日读了40分钟 C.他在3月11日读了1个小时 D.他在3月14日正好读完这本书 ,-)0,- 10.已知相关系数r 二，y关于x的线性回归方程y=x十a中斜率 V含(x-)2y.-少 和截距的最小二乘估计公式分别为= 含-)0- ,a=y一bx.已知变量x与变量 含u,- y的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x为自变量，y为因变量，得出的 线性回归方程为y=一3.2x十180；以y为自变量，x为因变量，得出的线性回归方程为x= 一0.2y十50.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是 A.若已知变量x的方差，则可得知变量y的标准差 B.若已知变量y的方差，则不可得知变量x的标准差 C.若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y各自的平均值 D.若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y的相关系数 11.给定数列{an}(a1>0且a1≠1)，若对任意的m,n∈N,都有am+m=aman,则称数列{am}为 指数型数列，则下列说法正确的是 A.若数列{am}为指数型数列，且a4=4,则a1o=32 B.若数列{an}是等比数列，则数列{an}是指数型数列 C.若数列{an}满足am+1=2am十1，且{am十1}是指数型数列，则a1=1 D.若数列{a,}是指数型数列，且a1=3,则数列{a,}中存在不同的三项构成等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S13=一39，则a7= 13.在等比数列{an}中，已知a2a4a6=4,a3a5a7=8,则a8aga1o= 14.细胞A有两种状态：活跃和休眠.该细胞每秒的状态转移规律如下：若细胞A这一秒为活跃 状态，下一秒仍保持活跃状态的概率为3，转为休眠状态的概率为三；若细胞A这一秒为休 眠状态，下一秒转为活跃状态的概率为2，保持休眠状态的概率为2·已知细胞A第1秒为 活跃状态，则第3秒为休眠状态的概率为 ,第n(n∈N*)秒为活跃状态的概率 为 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 河南省三门峡市被誉为“天鹅之城”.每年秋冬季节，成千上万的白天鹅如期飞临“天鹅之 城”，拉开了三门峡“白天鹅旅游季”的精彩序幕，推动三门峡市冬季旅游市场热度持续攀升. 为了了解游客对天鹅的喜爱程度与性别的关系，某机构随机调查了300名现场游客（男、女 游客人数相等)，绘制了不完整的列联表如下： 单位：人 喜爱程度 性别 总计 一般喜爱 非常喜爱 男 女 总计 300 已知男游客中非常喜爱天鹅的频率为0.6，女游客中一般喜爱天鹅的频率为0.2. (1)补全列联表； (2)是否有99%的把握判断游客对天鹅的喜爱程度与性别有关？ n (ad-bc)2 附：X=a+bc+)a十cb+dDn=a+b+c+d. 当X2>6.635时，有99%的把握判断变量A,B有关联 16.(15分) 已知数列{am}的前n项和为Sm,且Sn=2am(n≥2)，a2=2. (1)求a1; (2)求{an}的通项公式： (3)设数列 1一〉 的前n项和为Tn,证明：Tn<2. A nlogzan 【高二数学第3页（共4页）】 17.(15分) 在数列{an}和{bn}中，bn= 3+(-1)” 2,a,b。十am+1-b。=2+1+n-1,a1=b1. (1)证明：{bn十2n}是递增数列. (2)证明：{a2n}是等比数列，{a2m+1}是等差数列. 18.(17分) 某产品当月的销售额y(单位：千元)与当月的宣传费x(单位：千元)有关，且x与y的成对 数据如下表： 1 9 16 25 y 20 40 50 60 80 (1)判断y与x是正相关还是负相关； (2)由散点图发现可以用函数模型y=b√匠十ā拟合y与x的关系，求y关于x的回归 方程； (3)已知该产品每个月除宣传费外的其他成本（单位：千元）为6元，请你预测该产品月利润 的最大值，并求当月的宣传费.（月利润=月销售额一月成本） 附：在线性回归方程了=r+8中.6-0x一(，-刀 ,a=y-bx, 2-) Sai-n 其中x,y为样本平均值. 19.(17分) 在数列{an}中，a1=1,若存在自然数k,使得对于任意正整数n,数列{an十am+1十…十am+} 是以d(d>0)为公差的等差数列，则称{an}为“k一d组差数列”. (1)若am=n,判断{am}是不是“1一2组差数列”，并说明理由 (2若a.是5-18组差数列，且a.-a4:为定值，证明：含2<4 (3)记{am}的前n项和为Sm,且{an}为“k一d组差数列”，证明：存在常数C,使得Sm≥ 2(k+Dn2-Cn恒成立. d 【高二数学第4页（共4页）】2026年春季高二年级阶段性学情检测 数学参考答案 1.C该数列的通项公式可以为am=1一n3. 2.B因为|-0.95>0.93>0.86>-0.82，所以线性相关程度最弱的是B组. 3.A设该网店的衣服7个尺码最适合的人的体重从小到大为数列{am},则{am}为等差数列， 4=65,a,=95,所以该数列的公差d=1一0=7.5.故相邻两个尺码最适合的人的体重之 4 差的绝对值为7.5kg a5十a17=-225, 4.A由韦达定理得 得a5<0,a17<0,因为a5a1=a>0,所以a1<0.由等 asa17=169, 比数列的性质得a=asa17=169,得a1=一13（正根舍去）. 5.D因为a,=12cos0=4,a4=12c0s=-3,a4=12cos2x--4,a=12c0s3x=3, a2 a3 所以数列{an}的周期为4.故a2o26=a506×4+2=a2=4. 6.C易得{an}的公比q≠一1，则S10,S220一S110,S330一S20成等比数列，所以S330一S20= (Sm-S1o)=80,得5m=Sm十80=105. S110 S.3n-1 7.D因为宁=2n+1,所以可设S。=n(3m-1),T。=kn(2m+1),k≠0，所以ao=S0-S, =56k,b,=T,-T6=27k,所以40=56 b,271 8.Ana7+1-(2n十3)anam+1-3(n十1)a员=[am+1-3(n+1)am](am+1十am)≥0，因为am> 0,a1>0,所以a1-3m+1a.≥0，得2≥3.".由2…-…≥ a an-1 an-2 3-1.n.n-1,2 ‘n-10-2… =n…3,得2≥n…3,又a1=3,所以a,≥n·3.故“a.≥ a n·3”是“a+1一(2n+3)amam+1-3(n+1)a≥0”的充要条件. 9.BCD设小张在3月3日、3月4日、3月5日…当天读这本书的时长分别为a1分钟、a2分 钟、a3分钟、…，依题意可知数列{an}成等差数列，且首项为28，公差为4，则a3=28十4×2 =36,a4=28十4×3=40，ag=28十4×8=60，所以他在3月5日读了36分钟，在3月6日读 了40分钟，在3月11日读了1个小时.因为28×12+121卫×4=600=60×10，所以他在3 2 月14日正好读完这本书. 10.ACD对于D,由所给公式得r2= [含x,-y- =(-3.2)×(-0.2)=0.64,且 含x-含y- 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 回归系数为负数，故相关系数r=一0.8，D正确. 对于A,设变量x与变量y的标准差分别为s,S,且可以推理得到方=r·二，代入已知数 据得一3.2=一0.8.2，即之=4，若已知变量x的方差，即可求得、，进而代入上式求得 S sy,A正确 对于B,若已知变量y的方差，即可求得sy,进而代入上式求得sx,B错误 对于C,线性回归直线经过样本中心点(x,y),代入两个回归方程得y=一3.2x十180与x =-Q.2少十50，解得工-30)-50故不给定其他信息也可得知变量x与变量y各自的 平均值，C正确， ll.AC对于A,因为数列{an}为指数型数列，所以对任意的m,n∈N°，都有am+m=amam 令m=n=2,得a4=a2a2=4,令m=n=1,得a2=a1a1,因为a1>0,所以a1=2,a2=2, 令m=1,得am+1=a1an=√2am,所以{an}是首项为√2，公比为2的等比数列， 所以an=(W2)”,所以a1o=(√2)10=32，故A正确. 对于B,若{an}是等比数列，则an=a1q"-1,要使对任意的m,n∈N',都有am+n=amam,则 a1gm+-1=a1gm-la1g-1,即g=a1,所以数列{an}不一定是指数型数列，故B不正确。 对于C,因为am+1=2an+1,所以aw+1+1=2(am+1). 当a1=一1时，am=一1，{am十1}不是指数型数列，当a1≠一1时，{am十1}是公比为2的等 比数列. 因为{a,十1}是指数型数列，所以{am十1}是首项与公比相等的等比数列， 所以a1十1=2，所以a1=1,故C正确. 对于D,因为a,}是指数型数列，且a1=号，所以a,=(号)”， 假设存在三项a,=(3)'a,=(子)广，a,=(3)广(r<s<)构成等差数列， 则(3)+(3)'=2×(3)广，即3+2=2…2·3 因为s一r,t一r,t一s∈N*,所以3-r,3-s为奇数，2-r,2-为偶数， 所以3-十2-≠2·2-·3-，所以数列{am}中不存在不同的三项构成等差数列，故D不 正确， 12.-3由S13= 13(a十a3)_13X2a1=-39,得a,=-3. 2 2 13.128设等比数列1@，}的公比为q,由-2·2·2=g2=,得q2=2,因为 a2 as as asas00=as.a9.a10=g5+4+3=g”,所以asa,a1o=a3a5a792=8X24=128. a3asa7 a3 as a7 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 14.号：号×（一）一+号因为细胞第2秒为活跃状态，且第3秒为休状态的率为 3 22 2、11 3=),第2秒为休眠状态，且第3秒为休眠状态的概率为3×2=3，所以细胞A第 2+1=5 3秒为休眠状态的概率为9十3一9 设细胞A第n秒为活跃状态的概率为am,则第n秒为休眠状态的概率为1一am,第(n十1) 秒为活跃软态的概率为a1…得01=0十号1-a,).得a+-号=-(a.一》又 a1=1,所以a1一号-号，所以a,一}是首项为号，公比为-日的等比数列.放a.-号= 身×(-)，即a.=×(-)+2 15.解：(1)由题意得男、女游客的人数均为150， 男游客中非常喜爱天鹅的频数为150×0.6=90，一般喜爱天鹅的频数为150一90=60，女游 客中一般喜爱天鹅的频数为150×0.2=30，非常喜爱天鹅的频数为150一30=120. 列联表如下： 单位：人 喜爱程度 性别 总计 一般喜爱 非常喜爱 男 60 90 150 女 30 120 150 总计 90 210 300 0000000000。。400000.400.0400000.00044.40000 6分 (2)x2=300X(60X120-30×90)2100. 150×150×90×210 7≈14.286，…11分 因为14.286>6.635，所以有99%的把握判断游客对天鹅的喜爱程度与性别有关.… …13分 16.(1)解：（方法一）由a2=S2一S1=2a2一a1=2,…1分 得a1=2a2-2=2.…2分 (方法二)由S2=2a2,得a1十a2=2a2,…1分 得a1=a2=2.…2分 (2)解：因为Sn=2an(n≥2)，所以Sn-1=2an-1(n≥3)，…3分 则an=Sn-Sn-1=2an一2am-1,…5分 得an=2w-1(n≥3)，…6分 又a2=2,所以an=a29”-2=2-1(n≥2)，…7分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 2,n=1, 所以am= 8分 2-1,n≥2. 1 (3)证明：设bn= 一，则T1=b1=1<2. nlogz 9分 1 1 当n≥2时，bn nl0g22"--n(n-1) …10分 =11 …12分 n-1 n 所以工.=6+b:+…+6,=1+1-名+号-吉++一 =2-1<2 n-1 n …14分 故Tm<2. …15分 17.i证明：（16.+1十20m+1D）-6.+20）=-1)2（-1少+2.…2分 2 当n为偶数时，一1)"中二（二1)”+2)十2=1≥0，…3分☐ 2 当n为奇数时，-1)，（一1少+2=名十2=3>0， 2 2 …4分 则bn+1十2(n十1)>bn十2n,所以{bn十2m}是递增数列. …5分 ②)由题范得6=3十2》-2.，一3计(-1D 2 2 -=1.…6分 由anbn十am+1-bn=2+1+n-1,得 a2nb2n十a2m+1-b2n=22+1+2n-1, a2m+1b2m+1十a2m+2-b2n+1=22m+2+2n十1-1， 2a2n十a2m+1=22m+1+2n十1， 得 …8分 a2+1十a2m+2=22+2+2n+1, 两式相减得a2m+2=22m+1十2a2n,得a2m+2一22m+2=2(a2m一220)，得a2n-22=2"-1(a2- 2). …9分 因为a2-22=0,所以a2n-220=0,得a2n=220,…11分 得a2m+1=22m+1+2n十1-2a2=2n十1.…12分 易得02=4,03=3.…13分 因为+=4，a2+3-a2+1=2,所以{(a2n}是首项为a2=4,公比为4的等比数列，{a2x+1} a2n 是首项为a3=3,公差为2的等差数列. 15分 18.解：(1)当x逐渐增大时，y逐渐增大，所以y与x是正相关.. 2分 (2)设t=丘，则i-T+/4十+16+V25 3, …4分 5 y=20+40+50+60+80=50, …6分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 1×20+2X40+3×50+4×60+5×80-5X3X50=14,…8分 含-d 1+4+9+16+25-5×32 a=y-bt=50-14X3=8.…10分 故y关于x的回归方程为y=14√x+8. 11分 (3)由题意得该产品的月成本之=x十6T,…12分 则月利润为y一之=14√x十8-x一6√x=一x十8√x十8，…14分 当√无=4，即x=16时，该产品的月利润最大，…15分 且最大值为-16十8/16十8=24.…16分 故预测该产品月利润的最大值为24000元，当月的宣传费为16000元.…17分 19.(1)解：{an}是“1一2组差数列”.…1分 理由如下：由an=n可知a1=1. 当k=1时，an十an+1=n十(n十1)=2n十1，则数列{an十am+1以2为公差的等差数列，且2 >0,故{an}是“1一2组差数列”.…3分 (2)证明：因为{am}是“5一18组差数列”，新以数列{an十a+1十…十am+s}是以18为公差的 等差数列，则(am+1十am+2十…十an+6)-(an十am+1十…十an+5)=an+6一an=l8.…4分 因为am一an+5为定值，所以可设an一an+5=d0,则an+1一an+6=do,…5分 所以an+1一am+6十a+6一an=do十l8,即an+1一an=d。十l8,所以{an}是等差数列，… …6分 因为a6一a,=18,所以{a,的公差为，十元 -=3,又a1=1,所以am=3n-2.…7分 2+1 所以工.-工.=+3（会+2+… 3n-2 8分 2+1…8 11 1 则2T=2 +3X 42n+ 3n-2 3n+4 2n+1 =2- 2n+1, …9分 1 1一2 所以Tn=4 3n+4∠4. 2 …10分 (3)证明：因为{an}为“k一d组差数列”，所以(am+1十am+2十…十an+k+1)一(am十a+1十 十am+k)=d,即am+k+1一am=d,令P=k十1，则am+p一an=d.…11分 对任意正整数n,均存在非负整数q和整数r(1≤r≤P),使得n=qP十r,此时an=a,十 qd. …12分 n 设a1a2,ap这P项中的最小值为B,因为n=gP+7≤(g十1)P,所以q≥P-1,从而 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 a,≥B+(g-1)d=月+B-d. …14分 则s,=2a,≥+B-d)=n+1)+n(B-d)=r+n(品+B-d). … …16分 令C=品+B-d,由x≥-对于任意实数x恒成立，得S≥品-C,命题得证 …17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】