精品解析：陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2025—2026学年第二学九年级第四次适应性训练数学试题

陕西师大附中2025-2026学年度初三年级 第四次适应性训练数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具备对称性，下列汉字是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，将含角的三角尺按图中方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，在中，，，点，分别在边，上，且，若，则的长为（ ） A. 6 B. 12 C. D. 7. 如图，在菱形中，是边上的三等分点，连接，相交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 4 … … 6 0 … 有下列结论：①函数的图象开口向上；②当时，值随值的增大而增大；③函数的最小值为；④方程有一个实数根满足；⑤若点在该抛物线上，且，则；其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 在实数中，无理数是___________． 10. 因式分解：___________． 11. 边长相等的正五边形和正六边形按如图方式拼接在一起，则的度数为_______． 12. 如图，已知点，点，直线与反比例函数的图象交于两点，若，则___________． 13. 如图，在边长为4的正方形中，点为边上一动点，为中点，为上一点，且满足，则的最小值为___________． 三、解答题（共13小题，共计81分，解答题应写出过程） 14. 计算： 15. 解不等式组： 16. 化简：． 17. 图，已知在中，，是边上的高，请用尺规作图法，求作的重心．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，．求证：． 19. 某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 20. 在中华文明灿烂的长卷中，唐诗宋词是其中最为绚丽的华章．在校园文化节的经典诵读活动中，每位参赛同学需要在：A．《将进酒》、B．《茅屋为秋风所破歌》、C．《水调歌头·明月几时有》、D．《声声慢·寻寻觅觅》这四首古诗词中随机选择一首进行朗诵（A，B为唐诗，C，D为宋词）．小颖和小林两位同学参加了此次活动． （1）小林选择A．《将进酒》的概率是___________； （2）请用列表或画树状图的方法，求两人之中只有一人选择唐诗的概率． 21. 新能源汽车行业已进入从“高速扩张”向“高质量发展”转型的关键阶段．李叔叔购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调查，有两种方案： 方案一（家用充电）：安装家用充电桩所需费用为1750元，电费每度元；方案二（公用充电）：仅有电费，电费每度元． 设这辆新能源汽车的充电总量为（度），方案一所需充电总费用（包含安装家用充电桩所需费用）为元，方案二所需充电总费用为元． （1）请分别写出与之间的函数关系式； （2）已知李叔叔购买的新能源汽车1度电平均可以行驶9千米，那么这辆车行驶里程超过多少千米时，选择方案一会比较划算？ 22. 在数学综合实践活动中，小思和小欣利用所学的数学知识测量学校花坛内一棵大树的高度，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小思把镜子水平放在点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，即，然后小思又在处用测倾器测得树的顶端处的仰角为26.6度；小欣用皮尺分别测量及小思目高（）的长．已知于点于点米，米，请你利用测得的数据求出这棵树（）的高度．（结果保留整数．参考数据：） 23. 为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随 机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并对数据进行整理． （1）填空： 平均数 中位数 众数 方差 A 70 B 72 69 14 （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由． （3）如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为，那么A款无人机最长运行时间的方差将 （填“变大”，“变小”或“不变”） 24. 如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，线段交直径于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点为，与轴交于点和点，连接， （1）求该抛物线的函数表达式． （2）平移线段，使点的对应点在轴上，点的对应点为点．当四边形为矩形时，请探索点是否在该抛物线上，并说明理由． 26. 学完“中心对称”以后，某数学兴趣小组结合三角形进行了相关探究．已知为内部一点，与关于点中心对称，其中的对应点为的对应点为的对应点为． （1）如图1，请你按要求画出． （2）小组探究发现，当处于不同位置时，两个三角形的重叠部分的形状只可能有两种情况：平行四边形或有三组对边分别平行的六边形；并且两个三角形的重叠部分的面积也在不断变化．在中，，为边上一点，对称中心在线段上运动． ①如图2，当，点在三角形内或边上时，易得两个三角形的重叠部分是平行四边形，与交于点与交于点．求面积最大时，对称中心到的距离． ②如图3，当时，若两个三角形的重叠部分为六边形，求该六边形的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2025-2026学年度初三年级 第四次适应性训练数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具备对称性，下列汉字是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．图形沿着一条直线翻折，直线两旁的部分能够完全重合，所以它是轴对称图形，故此选项符合题意； B．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法运算，单项式乘以单项式运算，解题的关键是熟练掌握计算公式． 根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法运算法则，单项式乘以单项式运算法则分别判断即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相减，故A错误； B、，故B错误； C、 ，故C错误； D、，符合运算法则，故D正确， 故选：D． 4. 如图，，将含角的三角尺按图中方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，进而计算即可． 【详解】解：由题意含角的三角尺可知，． ∵， ∴． ∴ ． 5. 直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件得到的取值范围，结合选项即可得到答案． 【详解】解：由平移规则可知，直线向上平移个单位长度后，解析式为． ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，且一次项系数， ∴， 解得， 结合选项可知，只有D选项的7满足条件． 6. 如图，在中，，，点，分别在边，上，且，若，则的长为（ ） A. 6 B. 12 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，推出，根据直角三角形的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点D为的中点， ∵在中，，， ∴， ∴． 7. 如图，在菱形中，是边上的三等分点，连接，相交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A 作于点H，设，则，；由三线合一定理得到，则，进而得到，；证明，推出，则；过点G作于点M，解直角三角形得到，，则，据此可得，即． 【详解】解：如图所示，过点A 作于点H， ∵四边形是菱形， ∴，， 设， ∵是边上的三等分点， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点G作于点M， ∴，， ∴， ∴，即． 8. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 4 … … 6 0 … 有下列结论：①函数的图象开口向上；②当时，值随值的增大而增大；③函数的最小值为；④方程有一个实数根满足；⑤若点在该抛物线上，且，则；其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先利用表格中的点坐标求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断结论，统计正确结论的个数即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点的坐标为，故①正确， ∴当时，y随x的增大而减小，函数的最小值为，故②③错误； ∵当时，， ∴由对称性可知，当时，， ∴是方程的一个实数根， ∵， ∴方程有一个实数根满足，故④正确； ∵函数开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的有①④，共2个． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 在实数中，无理数是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据有理数与无理数的定义，对给出的数逐一分类，即可得到结果． 【详解】解：， 所以无理数有，． 10. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【详解】原式 ． 11. 边长相等的正五边形和正六边形按如图方式拼接在一起，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出正六边形和正五边形的一个内角的度数，则可根据周角的定义求出的度数，根据题意可得，据此根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵正五边形的一个内角的度数为， 正六边形的一个内角的度数为， ∴， 由题意得，， ∴． 12. 如图，已知点，点，直线与反比例函数的图象交于两点，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点C和点D的坐标可得；过点A作于点E，过点B作 于点F，都是等腰直角三角形，；设，由平行线分线段成比例定理得到，则可推出，求出，，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点A作于点E，过点B作 于点F， ∴都是等腰直角三角形，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵点A和点B都在反比例函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 13. 如图，在边长为4的正方形中，点为边上一动点，为中点，为上一点，且满足，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得和，结合直角三角形的性质和等腰三角形的性质判定，则点F在以为直径的圆上，的中点O为圆心的圆上，连接，交圆O于点，此时取得最小值，结合勾股定理和圆的性质即可求得最小值． 【详解】解；∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， 连接，如图， 则，， ∵ ， ∴ ， ∴点F在以为直径，的中点O为圆心的圆上， 连接，交圆O于点，此时取得最小值， ∵点O是的中点，， ∴，圆O的半径， 在中，， 则的最小值为， 【点睛】本题主要考查正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理和圆的性质，解题的关键是找到点的轨迹． 三、解答题（共13小题，共计81分，解答题应写出过程） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 图，已知在中，，是边上的高，请用尺规作图法，求作的重心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点O即为所求的的重心， 【解析】 【分析】先作AC边的垂直平分线交AC于点E，然后连接BE，BE交AD于点O，则点O即为所求． 【详解】：如图，点O即为所求的的重心， 理由：∵，是边上的高， ∴AD为BC的中线， 根据作法得：BE是AC的中线， ∴点O即为的重心． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作三角形的重心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键． 18. 如图，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据推出，利用证出即可得到． 【详解】略 19. 某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】车间应该分配9名工人生产螺栓，分配12名工人生产螺母 【解析】 【分析】设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，再根据“1个螺栓配2个螺母”的配套要求，得到螺母总数量是螺栓总数量的2倍这一等量关系，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母， 根据题意，得 解得 则 ， 答：车间应该分配9名工人生产螺栓，分配12名工人生产螺母． 20. 在中华文明灿烂的长卷中，唐诗宋词是其中最为绚丽的华章．在校园文化节的经典诵读活动中，每位参赛同学需要在：A．《将进酒》、B．《茅屋为秋风所破歌》、C．《水调歌头·明月几时有》、D．《声声慢·寻寻觅觅》这四首古诗词中随机选择一首进行朗诵（A，B为唐诗，C，D为宋词）．小颖和小林两位同学参加了此次活动． （1）小林选择A．《将进酒》的概率是___________； （2）请用列表或画树状图的方法，求两人之中只有一人选择唐诗的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果，再得出两人之中只有一人选择唐诗的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，小林选择A．《将进酒》的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 小颖 小林 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中两人之中只有一人选择唐诗的结果数有8种， ∴两人之中只有一人选择唐诗的概率为． 21. 新能源汽车行业已进入从“高速扩张”向“高质量发展”转型的关键阶段．李叔叔购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调查，有两种方案： 方案一（家用充电）：安装家用充电桩所需费用为1750元，电费每度元；方案二（公用充电）：仅有电费，电费每度元． 设这辆新能源汽车的充电总量为（度），方案一所需充电总费用（包含安装家用充电桩所需费用）为元，方案二所需充电总费用为元． （1）请分别写出与之间的函数关系式； （2）已知李叔叔购买的新能源汽车1度电平均可以行驶9千米，那么这辆车行驶里程超过多少千米时，选择方案一会比较划算？ 【答案】（1）； （2）这辆车行驶里程超过22500千米时，选择方案一会比较划算． 【解析】 【分析】（1）根据所给方案列式求解即可； （2）求出时x的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ； 【小问2详解】 解：当时，则， 解得， ∴当时，选择方案一比较划算， （千米）， 答：这辆车行驶里程超过22500千米时，选择方案一会比较划算． 22. 在数学综合实践活动中，小思和小欣利用所学的数学知识测量学校花坛内一棵大树的高度，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小思把镜子水平放在点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，即，然后小思又在处用测倾器测得树的顶端处的仰角为26.6度；小欣用皮尺分别测量及小思目高（）的长．已知于点于点米，米，请你利用测得的数据求出这棵树（）的高度．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】8米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形建立线段关系，再结合三角函数求解． 先由镜面反射的性质证明，得到与的关系；再通过作辅助线构造直角三角形，利用仰角的正切值列出关于的方程，求解得出树高． 【详解】解：过点作于点， 则四边形为矩形， 米，． ，， ． 又， ． ， 即， ． 在中，， ． ，，且， ． 答：这棵树的高度约为8米． 23. 为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随 机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并对数据进行整理． （1）填空： 平均数 中位数 众数 方差 A 70 B 72 69 14 （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由． （3）如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为，那么A款无人机最长运行时间的方差将 （填“变大”，“变小”或“不变”） 【答案】（1）72；；71； （2） B款无人机运行时间更有优势， 款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机， 款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）． （3）变小 【解析】 【分析】题目主要考查统计量的计算，熟练掌握计算方法是解题关键． （1）根据众数、方差、中位数的计算方法求解即可； （2）运用平均数或其他统计量进行比较即可； （3）根据方差的计算方法判断即可． 【小问1详解】 解：A组数据为66、72、64、70、72、69、80、67、72、68， 72出现的次数最多，故众数为72； 方差为， B组数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80， 所以其中位数为， 故答案为：72；；71；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 变小 ，理由如下： 新增数据70与A款无人机的平均数相等，加入后会减小数据的方差． 24. 如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，线段交直径于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：∵为的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（）证明，进而可得，即可求证； （）连接，先证明，由，设，，则，得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角函数，余角性质，等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 即的半径为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点为，与轴交于点和点，连接， （1）求该抛物线的函数表达式． （2）平移线段，使点的对应点在轴上，点的对应点为点．当四边形为矩形时，请探索点是否在该抛物线上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：点不在该抛物线上，理由如下： 如图，连接， 设点的坐标为， 由平移的性质得：点的坐标为， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：， 此时点的坐标为， 当时，， ∴点不在该抛物线上． 【解析】 【分析】（1）设该抛物线的函数表达式为，再把点代入，即可求解； （2）连接，设点的坐标为，由平移的性质得：点的坐标为，再由矩形的性质可得，可求出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线顶点为， ∴可设该抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 略 26. 学完“中心对称”以后，某数学兴趣小组结合三角形进行了相关探究．已知为内部一点，与关于点中心对称，其中的对应点为的对应点为的对应点为． （1）如图1，请你按要求画出． （2）小组探究发现，当处于不同位置时，两个三角形的重叠部分的形状只可能有两种情况：平行四边形或有三组对边分别平行的六边形；并且两个三角形的重叠部分的面积也在不断变化．在中，，为边上一点，对称中心在线段上运动． ①如图2，当，点在三角形内或边上时，易得两个三角形的重叠部分是平行四边形，与交于点与交于点．求面积最大时，对称中心到的距离． ②如图3，当时，若两个三角形的重叠部分为六边形，求该六边形的最大面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的作图方法作图即可； （2）①当点与点M重合时，的面积有最大值，过点A作于点S，解直角三角形求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案；②设交于点H，由题意得，，可证明；，设，则可求出，；由中心对称的性质可得，则；证明，得到，则可推出；同理可得，，求出的最小值即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由题意得，当点与点M重合时，的面积有最大值， 如图所示，过点A作于点S， 在中，，， ∴， ∴， 由中心对称的性质可得; ②如图所示，设交于点H， 由题意得，， ∴； ∵， ∴由（2）①可得， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设， ∴， ∴； 由中心对称的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴； 同理可得，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴时，有最小值，最小值为， ∵， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $