长方体和正方体的表面积（教学设计）2025-2026学年五年级下册数学人教版

教学基本信息 单元（或主题）名称 发展空间观念，培养应用意识——从“体”到“面”，由“面”构“体” 学科 数学 学段 第三学段 年级 五年级 本课课题 长方体和正方体的表面积 主要教材 书名 出版社 出版日期 义务教育教科书 数学 五年级 下册 人民教育出版社 2022年12月第2版 单元指导思想与教学建议 1. 整体入手，形成"立体图形"研究的基本思路 长方体，正方体作为最基本的立体图形，是学生从二维空间转向三维空间学习的起始。教学时，可以通过长方体盒子的观察，得出什么是棱，什么是面，什么是顶点。在此基础上归纳出：一个立体图形可以从棱，顶点，面三个方面进行研究。由此，使学生形成关于立体图形研究的基本思路，今后可以迁移应用到其他立体图形的学习中。 2. 重视想象，将空间观念的培养目标贯穿始终 本单元的学习，应以知识技能的学习为载体，将空间观念的培养贯穿始终。如，教学长方体的认识时，由教师提供的文字或图示信息，让学生根据信息想象相应的实物。如给出以下数据："a=6 cm,b=6 cm,h=6cm""a=20cm,b=15cm,h=1 cm""a=20cm,b=15cm,h=0.01mm"，引导学生想象："可能是给出的哪个物体?这个长方体感觉怎样?"学生能进行数据与实物之间的转化，一定是基于他们在头脑中已经形成了关于形状，大小的清晰表象。 3. 注重与生活的紧密联系 本单元非常重视与实际生活的联系，主要体现在以下几个方面。 图形的认识和概念的理解，结合学生熟悉的事物进行。如：长方体，正方体特征的认识，安排了让学生说出纸巾盒，魔方等实物的形状，指出其长，宽，高及棱长的练习；容积与容积单位的学习，则结合太空舱，粮仓，油桶，牛奶盒等帮助学生理解容积的含义并建立相应的容积单位的表象。 注重用所学的知识解决实际问题。本单元各部分知识的学习中，都注意学以致用。如在认识长方体，正方体时，设计了计算礼堂四周要安多长的彩灯线等练习；在学习表面积时，安排了大量根据具体情况计算物体表面积的练习。 4. 以概念理解为支撑点，探究计算公式，理解公式的意义 本单元表面积，体积的概念，是学习长方体，正方体表面积，体积计算公式的基础。例如，表面积的计算方法，应着眼于对表面积概念的理解。长(正)方体的表面积指的是长(正)方体6个面的总面积。基于这样的前提，学生在自主探索表面积的计算方法时，可以把6个面相加，也可以根据长方体的特征，求出其中一组三个面的面积再乘2。从而引导学生理解""这一公式，不仅是乘法分配律的运用，还是图形特征的具体体现。 同样，体积计算公式的推导，也应着眼于体积概念的理解。求一个物体的体积，就是求这个物体中含有多少个体积单位。在此基础上，让学生用1cm3的正方体摆不同的长方体，通过观察长方体的体积与其长，宽，高的关系，推导出长方体的体积计算公式。并运用"每排的个数，排数，层数"来解释体积计算公式的含义，从而理解长方体的体积为什么是"长宽高"，使学生知其然，并知其所以然。 单元教学背景分析 一、教学内容分析及课时分配 单元主题：发展空间观念，培养应用意识 单元标题：长方体和正方体 单元内容分析： 从单元整体分析，本单元是在学生第一学段初步认识简单立体图形的基础上进行系统教学的。一方面引导学生从面、棱、顶点三个维度研究长方体和正方体的特征，通过观察、操作等活动积累认识立体图形的经验，形成空间观念；另一方面，本单元的学习为后续认识其他立体图形如圆柱、圆锥以及学习体积、容积的相关知识奠定基础。 教材在编排长方体和正方体这一内容时，注重突出学生自主探索的活动性。特征的发现、表面积和体积计算公式的推导，均采用让学生动手操作、合作探究的方式。例如，通过剪开纸盒将立体图形转化为平面展开图，理解表面积的含义；用体积单位拼摆长方体，发现体积与长、宽、高的关系。教学中要突出化立体为平面、化未知为已知的转化思想，让学生经历从实物感知到特征归纳，再到公式推导的全过程，体会数学知识之间的联系。 然而，转化和探究应该成为学生在解决问题过程中的内在需要，而不应是教师强加的步骤。本单元需要让学生体会三个方面：一是研究立体图形的基本思路从面、棱、顶点入手，为后续学习其他立体图形提供方法迁移；二是在表面积计算中，理解求表面积就是求展开后所有面的面积之和，并能根据实际情况如无盖、贴商标等灵活选择计算方法，体会具体问题具体分析；三是在体积学习中，理解体积就是所含体积单位的个数，通过操作感悟度量思想，并能用排水法等解决不规则物体的体积问题，深化对体积概念的认识。 课时分配： 主题小节 例题编排 课时安排 1.长方体的认识 例1、例2探究长方体的特征及长、宽、高 1课时 2.正方体的认识 例3探究正方体的特征及与长方体的关系 1课时 3.长方体和正方体的展开图 通过动手操作认识展开图，建立立体与平面的联系 1课时 4.长方体和正方体的表面积 例1探究表面积的意义和计算方法 1课时 练习六（表面积的实际应用） 1课时 5.体积和体积单位 通过实验感知体积概念，认识体积单位 1课时 6.长方体体积的计算 例1探究长方体体积计算公式 1课时 7.正方体体积的计算 例2探究正方体体积计算公式 1课时 练习七（体积计算的巩固练习） 1课时 8.体积单位间的进率 例3、例4探究相邻体积单位间的进率及换算 1课时 9.容积和容积单位 例5认识容积概念及容积单位 1课时 10.不规则物体的体积 例6探究用排水法测量不规则物体的体积 1课时 11.整理与复习 单元知识梳理与综合应用 1课时 单元教学目标 1. 通过观察和操作,认识长方体和正方体的特征以及它们的展开图,主要发展学生的空间观念； 2. 通过实例了解体积以及度量单位,会进行单位之间的换算,感受一立方米，一立方分米，一立方厘米以及一升，一毫升的实际意义,主要发展学生的量感； 3. 探索长方体和正方体的体积和表面积的计算方法,能够运用所学知识解决一些简单的实际问题,主要发展学生的推理意识和应用意识, 4. 探索某些物体体积的测量方法,主要发展学生的推理意识。 单元学习效果评价 1． 学生能否正确阐述长方体和正方体面、棱、顶点的特征，理解长、宽、高的含义，并能辨认它们的展开图，建立立体图形与平面图形之间的联系。 2． 学生能否理解表面积和体积的概念，掌握计算公式的推导过程，体会“化立体为平面”“化未知为已知”的转化思想在其中所起的关键作用。 3． 学生能否根据实际情况（如无盖、贴商标、不规则物体等）灵活选择计算方法，正确解决与表面积、体积、容积相关的实际问题。 4． 通过观察学生在观察、操作、探究、表达及解决问题过程中的表现，评估其空间观念、推理意识、应用能力和合作交流能力的综合发展水平。 单元教学特色分析 本单元教学以“空间观念培养”为核心，以“转化思想”为方法主线，贯穿于特征认识、展开图、表面积和体积学习的全过程。其特色在于构建了一个“由体到面、由面到体”的双向转换探究式学习范式，旨在帮助学生形成结构化、可迁移的立体图形认知体系。 整个单元的教学并非孤立地讲授特征、公式和计算，而是统一在“研究立体图形可从面、棱、顶点入手”的基本思路之下，并将“化立体为平面”“化未知为已知”的转化思想渗透于每一个知识点的探究之中。思想的统一性使学生能够建立研究立体图形的一般方法，实现从长方体和正方体到其他立体图形的学习迁移。 学生通过学习如何计算表面积和体积，形成一种解决问题的通用策略——“转化”。从长方体和正方体特征的抽象认识，到展开图中立体与平面的联系建立，再到表面积计算中将立体图形转化为平面图形之和，最后到体积计算中将抽象的体积转化为可计数的体积单位个数，整个学习过程构成了“特征感知—二维三维转换—度量计算”的完整认知链条，使学生在层层递进的探究中发展空间观念，提升数学素养，“转化”思想一脉相承，方法灵活多变。 教材分析 1.人教版教材学段间纵向比较 本节课内容属于图形与几何领域中的图形的测量与认识部分，在本学段，学生已经从对立体图形的直观感知，过渡到对图形特征的深入探索和度量计算。“立体图形的认识和测量”核心在于引导学生从面、棱、顶点三个维度认识立体图形，理解表面积和体积的度量意义，掌握计算方法并理解公式的由来，而不仅仅是记忆和应用公式。 年级 单元 基础与铺垫 一年级 上册：认识图形（一） 初步认识长方体、正方体、圆柱、球等立体图形，能够进行辨认和分类，获得直观感知经验。 二年级 上册：长度单位 建立统一长度单位的必要性，初步学习用刻度尺进行测量，为认识长、宽、高及体积单位做铺垫。 三年级 下册：面积 理解面积的意义和面积单位，掌握长方形、正方形面积计算公式，为学习表面积奠定基础。 四年级 上册：平行四边形和梯形 认识平行四边形和梯形的特征，学习“底”和“高”的概念，进一步理解图形要素之间的关系。 下册：观察物体（二） 从不同位置观察立体图形，初步建立立体图形与平面视图之间的联系，发展空间观念。 五年级 下册：观察物体（三） 根据从不同方向观察到的视图拼摆立体图形，进一步培养空间观念和推理能力，与本单元学习相辅相成。 下册：长方体和正方体 本单元：系统学习长方体、正方体的特征、展开图、表面积、体积和容积，运用转化思想探究计算方法。 六年级 下册：圆柱与圆锥 后续延伸：在长方体、正方体学习基础上，进一步研究圆柱、圆锥的特征、表面积和体积，实现方法的迁移应用。 正如上表所显示，纵观人教版1-6年级教材，“立体图形的认识与测量”知识环环相扣，层层递进，由浅入深地沿着主线知识“螺旋上升”。《长方体和正方体的表面积》是本单元的核心内容之一，它上承学生已学的长方形、正方形面积计算以及长方体、正方体的特征认识，下启体积、容积的学习以及后续圆柱、圆锥的表面积探究。本节课所运用的“化立体为平面”的转化思想是贯穿整个单元乃至后续立体图形学习的核心思想方法。 在数学上，对于无法直接测量的立体图形表面，通常运用“转化”的数学思想将其转化为平面图形。而在小学阶段，当遇到第一个需要定量研究的立体图形时，《长方体和正方体的表面积》便承担了这一使命。本节课的学习，便于学生在“图形与几何”领域内深刻地理解“立体与平面的联系”，能够应用“转化”思想解决更多的立体图形度量问题，并为形成空间观念奠定坚实基础。 2. 不同版本教材间横向比较 版本 年级/单元 例题编排 核心活动 编排特点 人教版 五年级下册 第三单元 例1：长方体表面积计算 例2：正方体表面积计算 剪开纸盒观察展开图，理解表面积含义；探究长方体6个面面积的计算方法 强调从展开图入手理解概念，注重转化思想，公式推导与特征理解相结合 北师大版 五年级下册 第二单元 情境：包装礼物——至少需要多大包装纸 长方体表面积→正方体表面积 测量长方体盒子，计算6个面的总面积；讨论怎样计算最简便 以实际问题驱动，注重计算方法的优化和灵活应用，强调解决生活问题 苏教版 六年级上册 例1：长方体表面积 观察长方体模型，计算各个面的面积；讨论特殊情况（无盖、四周） 重视分类讨论，将特殊情况单独呈现，培养具体问题具体分析的能力 通过对各版本教材的横向对比，我发现：无论情境如何变化，活动怎样设计，所有版本都在反复强调一个核心——让学生真正理解“表面积是6个面的总面积”这一本质，并通过“展开”这一关键动作，建立“面”与“体”之间的联系。不同版本的价值不在于谁优谁劣，而在于为我们提供了多元的教学视角：有的长于概念建构，有的精于问题驱动，有的善于分类讨论。当我们把这些视角整合起来，就能设计出既有深度又有温度的课堂——让学生在拆一拆、看一看、算一算中，让转化思想自然发生，让空间观念悄然生长。 二、学生情况分析： 授课对象：五年级全体学生 为了准确把握学生的学习起点，有针对性地设计教学活动，我在教学前对本班学生进行了前测。前测共两道题，旨在了解学生对长方体特征的掌握程度以及对表面积概念的初步认识。现将学生完成情况分析如下： 通过对学生进行的前测，发现多数学生已经能够正确计算长方体的表面积。第1题中，学生对长方体有6个面、相对面形状相同等特征掌握扎实，上面、前面、左面面积计算正确率均在90%以上，说明学生已能准确识别每个面的长和宽所对应的棱。第2题中，超过70%的学生能正确求出6个面的总面积，且方法多样——有的逐一相加，有的利用相对面相等先算一组再乘2，初步具备了表面积计算的基本能力。 但进一步分析发现，学生的计算多停留在“套用公式”层面，对“为什么这样算”的理解尚显不足。部分学生虽能算出正确结果，却无法清晰解释“表面积就是6个面的面积之和”这一本质；还有学生在计算时缺乏有序思考，容易出现遗漏或重复。因此，本节课的教学应在学生已有基础上，从“会算”走向“理解”——通过拆纸盒、观察展开图等活动，帮助学生在直观中深化对表面积概念的理解，在比较中优化算法，在应用中提升灵活解决问题的能力。 学生特点： 1. 知识基础与技能：掌握了长方形、正方形的特征及面积计算方法，理解了面积的意义和面积单位；在四年级学习了平行四边形和梯形的特征，认识了“底”和“高”的概念，并能够画高；在五年级上册及本单元前序课程中，初步认识了长方体和正方体的特征（面、棱、顶点），能够辨认立体图形，并积累了一定的观察物体经验。同时，学生已经具备基本的计算能力和测量技能，能够运用公式解决简单的实际问题。 2. 认知特点与思维水平：五年级下学期学生年龄多在11-12岁，正处于皮亚杰认知发展阶段理论中的具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。他们的逻辑思维开始迅速发展，但仍需要具体事物的支撑；空间想象能力逐步形成，能够进行简单的二维与三维之间的转换，但对较复杂的空间关系仍需借助直观操作。学生已具备一定的探究能力和合作意识，能够在教师引导下进行观察、操作、猜想、验证等数学活动，思维从直观感知逐步向抽象概括过渡，但仍依赖具体经验。 3. 学习潜在难点：一是空间想象不足，难以建立立体图形与展开图之间的对应关系；二是面与棱的对应关系易混淆，不能准确确定每个面的长和宽；三是对表面积概念缺乏整体意识，计算时易遗漏或重复；四是面对无盖、贴商标等实际问题，灵活调整计算方法的能力较弱。 本次课时展示：长方体和正方体的表面积教学设计及教学过程 教学目标 T目标 (transfer) 思维迁移目标 ①通过拆纸盒、观察展开图等探究活动，发展空间观念和几何直观。 ②经历“立体—平面—立体”的转换过程，感受并初步掌握“化立体为平面”的转化思想方法。 ③在公式推导与应用中，体会“面”与“体”之间的联系，发展空间想象能力。 U目标(understand) 意义理解目标 ①通过动手操作、观察比较等活动，让学生理解表面积的含义 ②经历长方体表面积计算公式的推导过程，借助展开图与割补思想，渗透转化思想，体会“求表面积就是求所有面面积之和”的本质，发展量感。 K目标(knowledge) 知识技能目标 ①学生能正确陈述长方体、正方体表面积的含义和计算公式。 ②能运用公式正确计算长方体、正方体的表面积。 ③能运用所学解决与表面积相关的简单实际问题。 E目标(emotion) 情感态度目标 ①在动手操作和合作探究中，乐于与他人交流、分享，体验团队协作的价值。 ②在解决包装盒设计等实际问题中，感受数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。 ③在克服认知冲突和探索成功中，获得积极的情感体验，增强学习数学的自信心。 教学重难点 教学重点：理解表面积的含义，掌握长方体、正方体表面积的计算方法。 教学难点：建立立体图形与展开图之间的对应关系，理解“相对的面面积相等”，并能根据实际情况灵活运用计算方法解决实际问题。 教学过程 教学阶段 教师活动 学生活动 设置意图 时间安排 情境导入 校庆礼品包装 （提出现实问题） 师：同学们，即将是我们十四中建校120周年的喜庆日子。学校为了庆祝这个特别的时刻，准备制作一批校庆文创产品。 （屏幕呈现3种长方体礼盒） 师：大家请看大屏幕，这里有三种不同形状的文创产品盒子。 现在，学校准备在每一个盒子的外面全部贴上校庆纹样图案。 那问题来了——我要给每个盒子贴纹样，都需要贴哪些部分呢？ 谁愿意上来摸一摸，给大家看？ （请一位同学上台演示） （揭示课题） 师：对！要把整个盒子所有的面都贴上纹样。这些“面”的总面积，就是我们今天要研究的内容——长方体和正方体的表面积。（贴板书课题） 师：那到底什么是长方体的表面积呢？ 今天这节课，我们就一起来研究长方体和正方体的表面积，解决这些包装和装饰中的实际问题。 观看屏幕，进入情境。 一位学生上台指出需要贴纹样的部分（每个面）。答：要把盒子的每个面都贴满。 回答：就是一个六个面的面积之和。 以真实的校庆情境导入，通过“给盒子贴纹样”的直观操作，让学生明确“表面积”就是所有面的面积之和，激发学习兴趣，自然引出课题。 3’ 观察操作 探究新知 探究一 探究一：一个长方体的表面积 教师布置探究任务。 师：首先，我们来探究一下，一个长方体盒子需要贴多少面积的贴纸？（PPT展示） 老师准备了刚才三种不同的盒子，请同学们任选一个你感兴趣的盒子自主探究，用你喜欢的方法，表示出这个盒子的表面积。开始活动。 （教师巡视指导） 教师组织汇报交流。 师：时间到，同学们，我们来看看这几位同学的想法？ （小组1汇报普通长方体） 师：这组同学非常扎实，把6个面的面积都算出来再加在一起，思路很清晰。 （小组2汇报特殊长方体） 师：很好！无论是什么形状的长方体，我们都可以用同样的思路来计算。 （小组3汇报正方体） 师：太棒了！你们发现了不同盒子的特点。 教师引导学生归纳公式。 师：那么，谁能用一个公式来概括长方体的表面积计算方法？ 长方体的表面积 = （长×宽 + 长×高 + 宽×高）× 2 用字母表示：S = (ab + ah + bh) × 2 （板书公式） 师：那正方体的表面积呢？ 正方体的表面积 = 棱长×棱长×6 用字母表示：S = 6a² （板书公式） 师：掌声送给认真探究的同学们！ 自主选择盒子，动手测量、计算表面积。 组1（普通长方体）：我们通过测量，把6个面的面积一个一个算出来再加起来。长13厘米，宽9厘米，高8厘米，表面积是586平方厘米。 组2（特殊长方体）：我们选的盒子有两个面是正方形，但它的表面积也是6个面的面积之和，计算时也可以根据相对面相等的方法来算。 组3（正方体）：我们发现正方体的6个面都是完全相同的正方形，只算了一个面的面积再乘6。棱长10厘米，表面积600平方厘米。 尝试归纳公式 生：长方体的表面积 = （长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2。 生：正方体的表面积 = 棱长×棱长×6。 让学生三选一自主探究，经历“测量→计算→对比”的过程，在真实操作中发现规律，自主归纳公式，体现“从具体到抽象”的建模过程。 12’ 观察操作 探究新知 探究二 探究二：两个长方体的拼合 师：现在，我们学会了计算一个长方体的表面积。 学校还提出了一个想法——他们把一蓝一红两个大小完全一样的第一种文创产品盒子混合包装送给老师，怎样包装能更节省包装材料呢？ 师：同学们想一想，两个完全相同的长方体放一起包装，我可以怎么摆？ （教师在黑板上贴出三种拼法的简图） 师：很好！三种不同的拼法，包装纸的面积会一样吗？哪种最省材料呢？ 师：请同学们以同桌为单位，用手中的纸盒进行合作，选择你们认为最节省包装材料的一种拼法，完成学案上的探究二，并说一说为什么。 （学生动手操作，教师巡视，参与讨论） 师：好了，同学们老师看到了几名同学的想法，我们一起来看看，你看懂他的想法了吗？ （学生展示汇报） 师：说得太精彩了！你们找到了其中规律，要想最省材料，就要让重叠的面面积最大。 （板书） 两个相同长方体拼合： ① 拼合后表面积减少了两个重叠面的面积。 ② 新表面积 = 总面积 - 重叠面积 ③ 要想最省材料，就要让重叠的面面积最大。 思考并回答。 生：可以上下拼，可以左右拼，可以前后拼。 同桌合作，动手拼摆，完成学案。 小组代表展示汇报。 生：我们组选择了把两个盒子上下面对在一起拼。拼在一起后，重叠了两个面，这两个面的面积不用再包装了。所以新长方体的表面积 = 两个长方体的表面积之和 - 重叠面积×2。 因为上下拼时重叠的是最大的面，减少的面积最多，所以最省材料。 通过动手操作和计算验证，让学生直观感受拼合后表面积的变化规律，发现“重叠面越大越省材料”的核心规律，培养空间想象能力和严谨的科学态度。 15’ 迁移运用 思维进阶 迁移一：三个长方体 师：刚才我们研究了两个盒子的拼法。现在挑战升级！ （PPT出示三个相同的长方体） 老师这里有一个长方体，只知道它的上面面积是20cm2，前面面积是10cm2，右面面积8cm2。 师：现在，我想把三个这样的盒子包装在一起，怎样包装更节省材料？你有什么发现？ 师：请同学们小组讨论，把你的想法写下来。 （学生小组讨论，教师巡视） 师：哪个小组来分享一下？ 师：那三个盒子叠在一起，新长方体的表面积怎么计算？ 师：分析得非常透彻！看来大家已经能灵活运用我们发现的拼合规律了。这个规律的核心就是——无论几个盒子拼在一起，新长方体的表面积都等于原来所有盒子的表面积之和，减去所有重叠面的面积。 （板书）新表面积 = 所有长方体表面积之和 - 重叠面积之和 理解问题，思考策略。 小组讨论，探究三个盒子的最优拼法。 小组代表汇报。 生：我们组发现，把三个盒子排成一排，会有两个接触面，每个接触面减少2个面的面积，一共减少4个面的面积。但最节省材料的拼法，应该是让接触面是最大的那个面。从给出的数据看，上面面积20平方厘米最大，所以应该让上、下面作为重叠面。 生：三个长方体表面积之和，减去4个最大面的面积，就是新长方体的表面积。 从“两个”迁移到“三个”，让学生运用发现的规律解决问题，培养迁移应用能力。引导学生从具体问题中抽象出“新表面积=所有表面积之和-重叠面积之和”的核心模型。 8’ 课堂总结 建立模型 师： 同学们，学到这里，我们一起来回顾一下，今天这节课我们是怎样一步步解决这些问题的。（手指板书，引导学生一起梳理） 师： 一开始，我们面对的是一个现实问题——给文创产品盒子贴纹样，需要多大面积的纹样？ 接着，我们把这个问题转化为数学问题——求长方体和正方体的表面积。我们研究出了长方体和正方体表面积的计算公式。 师： 但公式不是我们的终点。我们对这个公式进行迁移（迁移应用），去解决了一个又一个新问题：无盖鱼缸、贴商标、两个盒子怎么拼最省材料？三个盒子怎么拼最省材料？ 师： 你们发现了吗？无论问题怎么变，我们最终都在求同一个东西——所有需要覆盖的面的面积之和。 这就是建模思想——我们把生活中的实际问题，抽象成数学中的“表面积”问题，然后运用所学去解决一类问题。 师： 以后，当你再遇到包装、贴纸、装修这些生活中的问题时，你心里就有底了：先想清楚需要覆盖哪几个面，再算它们的总面积。今天所学，能帮你解决很多很多问题。 师：这节课就上到这里，下课！同学们再见！ 跟随教师回顾整节课的学习历程。 引导学生回顾整节课的学习历程，梳理知识脉络，反思学习收获，同时点明“用一个数学模型解决一类问题”的数学思想，升华学习价值，为后续学习做好铺垫。 2’ 板书设计 5 学科网（北京）股份有限公司 $