专题11一次函数图象与性质复习讲义(知识梳理+25大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题11一次函数图象与性质复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记一次函数与正比例函数定义，分清两者从属关系。 2.掌握 k、b 的实际意义，吃透函数图象、增减性、象限分布核心性质。 3.熟练使用待定系数法求解函数解析式。 4.理解一次函数与方程、不等式、方程组的内在联系，掌握图象平移规律。 1.运用数形结合，借助图象分析、解决函数相关问题。 2.提升运算能力，熟练解决函数与几何结合类计算题型。 3.具备实际问题建模能力，能用一次函数解决生活应用、方案设计问题。 1.吃透基础考点，稳定拿下选择、填空、简单解答基础分值。 2.突破图象变换、几何综合等中档题型，提升解题熟练度。 3.掌握含参数、动态探究类压轴题型解题思路，灵活运用数学思想，全面应对考试。 题型01.一次函数识别 题型02.由一次函数定义求参数 题型03.求一次函数自变量或函数值 题型04.列一次函数解析式并求值 题型05.一次函数解析式 题型06.一次函数图象的判定 题型07.由一次函数解析式判断象限 题型08.由一次函数象限求参数范围 题型09.一次函数与坐标轴交点问题 题型10.画一次函数图象 题型11.一次函数图象平移问题 题型12.一次函数对称与旋转问题 题型13.一次函数增减性判定 题型14.由一次函数增减性求参数 题型15.一次函数增减性判断自变量变化 题型16.一次函数值的大小比较 题型17.一次函数的规律探究问题 题型18.由直线与坐标轴交点求方程的解 题型19.由方程解判定直线与x轴交点 题型20.图象法解一元一次方程 题型21.由直线与坐标轴交点求不等式解集 题型22.由两条直线交点求不等式解集 题型23.两直线交点与二元一次方程组的解 题型24.图象法解二元一次方程组 题型25.求直线围成的图形面积 解答题9题 知识点01:一次函数的概念 定义：形如 y = kx + b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。 正比例函数：当 b = 0 时，y = kx（k ≠ 0），是特殊的一次函数。 常值函数：当 k = 0 时，y = b，不是一次函数。 自变量范围：通常为全体实数；实际问题中需使解析式有意义且符合实际。 知识点02:一次函数的图象与画法. 1.图象形状：一条直线，也称直线 y = kx + b。 2.平移关系：y = kx + b 可由 y = kx 平移 |b| 个单位得到（b > 0 上移，b < 0 下移）。 3.两点法画图： 对于 y=kx+b： 1.令 x=0，得 y=b，得点 (0,b)（与 y 轴交点）。 2.令 y=0，得 x=−​，得点 (−​,0)（与 x 轴交点）。 3.过这两点画直线，就是 y=kx+b 的图象。 知识点03:一次函数的性质与性质（重点） 知识点04:一次函数图象与坐标轴交点问题 一次函数 y=kx+b (k0)的图象与坐标轴的交点问 知识点05:待定系数法求解析式 步骤： 1.设：设 y = kx + b（k ≠ 0）。 2.代：代入两个已知点坐标，列方程组。 3.求：解方程组求 k、b。 4.写：写出解析式。 知识点06:一次函数与方程、不等式的关系 1.与一元一次方程： kx + b = 0 的解 ⇔ 直线与 x 轴交点横坐标。 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 2.与一元一次不等式： kx + b > 0 ⇔ 直线在 x 轴上方 部分的 x 范围。 kx + b < 0 ⇔ 直线在 x 轴下方 部分的 x 范围。 3.与二元一次方程组： 两直线交点坐标 ⇔ 对应方程组的解。 平行（k₁=k₂, b₁≠b₂）⇔ 无解；重合（k₁=k₂, b₁=b₂）⇔ 无 题型01.一次函数识别 【典例】下列函数中，是一次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的定义为：形如（，是常数，）的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义，逐一判断各选项的函数类型，即可得到正确结果． 【详解】解：A．，不符合一次函数的形式，不是一次函数； B．，的次数为，不是一次函数； C．，其中，，满足且，符合一次函数定义，是一次函数； D．中不是整式，不符合一次函数定义，不是一次函数． 【跟踪专练1】函数①；②；③；④中，是的一次函数的有_____（填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查一次函数定义：形如的函数，按照一次函数一般形式判定是解决问题的关键．依据一次函数的定义，按照形如的函数，逐个判定即可得到答案． 【详解】解：①是正比例函数，也是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④不是一次函数； 综上所述，是的一次函数的有①②， 故答案为：①②． 【跟踪专练2】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，掌握一次函数的形式为，正比例函数是一次函数中的特殊情况是解题的关键． 一次函数的形式为，正比例函数是的特殊情况，需要找出是一次函数但的选项． 【详解】解：A、，符合形式，且，，是一次函数但不是正比例函数，符合题意； B、，x的最高次数为2，不是一次函数，不符合题意； C、，符合形式，，是正比例函数，不符合题意； D、，x在分母上，不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 题型02.由一次函数定义求参数 【典例】已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数需满足两个条件：x的次数为1，且一次项系数不为0，据此列等式和不等式计算即可得到m的值． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解，得，即或， 又∵，即， ∴． 【跟踪专练1】已知一次函数，当时，的最大值为，则的值为______． 【答案】 或/或 【分析】先根据一次函数的定义确定，根据的正负分类讨论函数在给定区间内的最大值，列方程求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ①当时，一次函数随增大而增大， 当时，的最大值在处取得， 代入得， 解得； ②当时，一次函数随增大而减小， 当时，的最大值在处取得， 代入得， 解得 则的值为或 【跟踪专练2】若是一次函数，则此函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的一般形式为（，为常数，，且的次数为），得到的次数为，且一次项系数不为，求出的值，代入原式即可得到函数表达式． 【详解】 是一次函数 根据一次函数定义可得， 由得，即或， 又 ，得， ， 将代入原式得， 即函数表达式为． 故选． 题型03.求一次函数自变量或函数值 【典例】以下点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，若计算得到的y值与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，否则不在． 【详解】∵ 函数解析式为 对选项A，当时，， ∴点不在函数图象上； 对选项B，当时，， ∴点不在函数图象上； 对选项C，当时，， ∴点不在函数图象上； 对选项D，当时，，与点的纵坐标相等， ∴点在函数图象上． 故选：D． 【跟踪专练1】对任意实数，直线经过一个定点，这个定点是________． 【答案】 【分析】将原解析式变形为关于的一次式，根据对任意实数等式恒成立，可得的系数为0，计算即可得到定点坐标． 【详解】解：， ， 对任意实数，直线经过一个定点， ，解得， 将代入得， 这个定点为． 【跟踪专练2】定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则______； （2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系等知识，本题综合性强，有一定难度． （1）根据题意得出，消去t即可得到； （2）根据题意得出，消去t得，由-在，得出． 【详解】（1）∵是“好点”， ∴， 消去t得到， 故答案为：； （2）∵在的范围内，若直线上存在“好点”， ∴， 消去t得：， ∵， ∴， 故答案为：． 题型04.列一次函数解析式并求值 【典例】已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L，进而得出余油量与行驶路程之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵汽车油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L， ∴汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式为： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，表示出油箱内余油量是解题关键． 【跟踪专练1】鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了从实际数据中识别规律并建立代数模型的能力，以及求一次函数解析式；解题的关键是观察表格中脚长与鞋码的对应关系，发现两者呈线性变化，并通过代入已知点求解线性表达式；取两点，用待定系数法，求解析式，即可得解． 【详解】解：设脚长为，鞋码为；取点， 设， 解得 故 当脚长为时，鞋码为． 故答案为． 【跟踪专练2】若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一次函数的性质等等，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：D． 题型05.一次函数解析式 【典例】已知函数解析式，若该函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，将点的坐标代入已知解析式，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：． 【跟踪专练1】若一次函数的图象经过点，当x增加1个单位长度时，y减少3个单位长度，则此函数的表达式是________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 设一次函数为 ，根据题意得出一次函数的图象也经过点，进而根据待定系数法即可求得． 【详解】解：设一次函数为 ， ∵一次函数的图象经过点，当增加个单位长度时，减少个单位长度， ∴一次函数的图象也经过点， 解得： ∴此函数的表达式是 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知点是直线（）上一点，下列四个点中有三个点在该直线上，则不在该直线上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质、求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质可得，再分别求出当选项中的点也在直线上时对应的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点是直线（）上一点， ∴， 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； ∴点，，都在直线上， ∴不在该直线上的点是． 故选：A． 题型06.一次函数图象的判定 【典例】下列各点在一次函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把点的横坐标代入解析式求出纵坐标，如相等则点在一次函数的图象上，据此判断即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴点不在一次函数的图象上； 、当时，， ∴点不在一次函数的图象上； 、当时，， ∴点不在一次函数的图象上； 、当时，， ∴点在一次函数的图象上； 故选：． 【跟踪专练1】如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是________________． 【答案】 【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【详解】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的斜率和截距，分析参数的符号，判断两个函数图象是否一致． 【详解】解：A、由图可知，正比例函数经过第一、三象限，说明． 一次函数中，，因此其与轴交点应在 y 轴负半轴；但图中显示该交点在轴正半轴，两者矛盾． 不符合题意； B、由图可知，正比例函数经过第二、四象限，说明． 此时，一次函数中，，因此其与轴交点应在轴正半轴；且一次函数斜率为，图象从左下到右上倾斜，与图示完全一致．符合题意； C、由图可知，正比例函数经过第二、四象限，说明． 此时，一次函数中，，因此其与轴交点应在轴正半轴；但图中显示该交点在轴负半轴，两者矛盾．不符合题意； D、由图可知，正比例函数经过第一、三象限，说明． 一次函数中，，因此其与轴交点应在 y 轴负半轴；且一次函数斜率为，图象从左下到右上倾斜，与图示不一致．不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解题关键是通过一次函数的斜率（判断增减性）、截距（判断与轴交点位置），分析参数的符号，验证两个函数对应的符号是否一致． 题型07.由一次函数解析式判断象限 【典例】一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】对于一次函数（k、b为常数，），当时，的图象经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：，， 一次函数图象经过第二、三、四象限， 图象不经过第一象限． 【跟踪专练1】直线经过第____________象限，y随的增大而__________，将该直线右移2个单位，下移1个单位后的解析式为：________． 【答案】 一、三、四 增大 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数的平移，根据一次函数的性质可得直线经过第一、三、四象限，y随的增大而增大，再根据一次函数的平移法则即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵中，，， ∴直线经过第一、三、四象限，y随的增大而增大， 将该直线右移2个单位，下移1个单位后的解析式为：， 故答案为：一、三、四；增大；． 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系，对于一次函数（k为常数，）图像与k、b的关系是解题的关键． 根据一次函数图像与系数的关系判断两个函数的图像对应解析式中m的符号，再看是否存在矛盾即可解答． 【详解】解：A．一次函数的图像经过第二、三、四象限，则；一次函数的图像经过第一、三、四象限，则，不存在矛盾，符合题意； B．一次函数的图像经过第一、二、四象限与矛盾，不符合题意； C．一次函数的图像经过第一、二、四象限与矛盾，不符合题意； D．一次函数的图像经过第一、三、四象限，则；一次函数的图像经过第二、三、四象限，则，二者存在矛盾，不符合题意． 故选：A． 题型08.由一次函数象限求参数范围 【典例】若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用一次函数的图象性质，根据图象经过的象限判断和的符号即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限， ∴． ∵图象还经过第四象限， ∴． 即，． 【跟踪专练1】一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意可得，，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限， ，， 解得：， 故答案为． 【跟踪专练2】一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟知一次函数中：，y随x增大而增大；，y随x增大而减小；，函数图象与y轴交于正半轴；，函数图象与y轴交于负半轴；是解本题的关键．对选项中的分别对应的的值进行分析可得答案． 【详解】解：A、：，，∴； ：； 故此选项不符合题意； B、：，，∴； ：； 故此选项不符合题意； C、：，，∴； ：； 故此选项符合题意； D、：，，∴； ：； 故此选项不符合题意； 故选：C． 题型09.一次函数与坐标轴交点问题 【典例】一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．的面积是4 C．随的增大而减小 D．点在函数图象上 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的图象与坐标轴交点问题等； 当时，，即可判断A；当时，，求出的面积即可判断B；因为，由一次函数增减性即可判断C；当时，，即可判断D； 【详解】解：A.当时，，所以，故不符合题意； B.当时，，的面积是，故符合题意； C.因为，所以随的增大而增大，故该选项不符合题意； D.当时，，所以点不在函数图象上，故不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】已知一次函数图象与轴交点在轴上方，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先根据一次函数的定义得到一次项系数不为0，再根据图象交点位置列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 是一次函数， ， 解得， 当时，， 即一次函数图象与轴交点的纵坐标为， 该函数图象与轴交点在轴上方， ， 综上所述：且． 【跟踪专练2】一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB内部(包括边界)，纵坐标、横坐标都是整数的点共有（   ） A．90个 B．92个 C．104个 D．106个 【答案】D 【分析】求出A、B的坐标，分别求出横坐标是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的纵坐标，即可得出横坐标是1、2、3、4…时点的个数，再加上在两坐标轴上的点，即可得到答案． 【详解】解：当x＝0时，y＝﹣15， ∴B（0，﹣15）， 当y＝0时，0x﹣15， ∴x＝12， ∴A（12，0）， x＝0时，y＝﹣15，共有16个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝1时，y1﹣15＝﹣13，共有14个纵坐标、横坐标都是整数的点， 同理x＝2时，y＝﹣12，共有13个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝3时，y＝﹣11，共有12个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝4时，y＝﹣10，共有11个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝5时，y＝﹣8，有9个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝6时，y＝﹣7，有8个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝7时，y＝﹣6，有7个纵坐标、横坐标都是整数的点 x＝8时，y＝﹣5，共有6个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝9时，y＝﹣3，共有4个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝10时，y＝﹣2，共有3个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝11时，y＝﹣1，共有2个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝12时，y＝0，共有1个即A点，纵坐标、横坐标都是整数的点．在△OAB内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点有16+14+13+12+11+9+8+7+6+4+3+2+1＝106个． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征的应用，通过做此题培养学生的理解能力和计算能力，本题题型较好，但是一道比较容易出错的题目． 题型10.画一次函数图象 【典例】若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过__________象限． 【答案】四 【分析】本题考查了一次函数的图象．在函数中运用数形结合的思想是解题的关键． 根据一次函数图象过、，在平面直角坐标系中作一次函数图象，然后作答即可． 【详解】解：如图， ∵一次函数的图象经过利点， ∴函数的图象不经过第四象限， 故答案为：四． 【跟踪专练1】用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握利用描点法画一次函数图象是解题的关键． 在平面直角坐标系中，描点，发现点、、在同一直线上，点不在直线上，据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，表格中各点的位置为： 则表格中点、、在同一直线上，不在直线上， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】首先去绝对值，列出分段函数，再画出函数图像，与所给图像进行对比，即可得出答案． 【详解】解：由可得， 函数图像如下所示： 对比所给图像可知，点是坐标系的原点． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，解题的关键是列出分段函数． 题型11.一次函数图象平移问题 【典例】将函数的图象向左平移2个单位，得到的图象的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的平移．根据一次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行解答即可． 【详解】解：将函数的图象向左平移2个单位，所得图象对应的函数表达式是， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向下平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的平移． 根据题意求得正方形各顶点的坐标，根据一次函数图象的平移规律可知平移后的直线方程为.；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵点的坐标为，正方形边长为3， ∴，，， 将直线沿轴向下平移个单位， 则平移后解析式为， 当过时，，解得； 当过时，，解得； ∴平移后的直线与正方形有交点，的取值范围是， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，根据题意，分别求出平移后的直线经过点B和点D时的函数解析式，进而可得出平移的距离，据此可解决问题． 【详解】解：将代入得， 解得， 所以直线l与x轴的交点坐标为． 令平移后的直线函数解析式为， 当平移后的直线经过点B时，， 解得， 所以此时直线的函数解析式为， 则． 当平移后的直线经过点D时， ， 解得， 所以此时直线的函数解析式为， 令得，， 解得， 所以， 所以当直线l与四边形有公共点时，t的取值范围是：． 故选：A． 题型12.一次函数对称与旋转问题 【典例】请写出直线关于轴对称的直线解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握直线关于轴对称点的特点是关键．先求得经过，，设直线关于轴对称的直线解析式为，根据关于轴对称点的特点得出经过点，，待定系数法解析式，即可求解． 【详解】解：∵，当时，当时， ∴经过， 关于轴的对称点为 设直线关于轴对称的直线解析式为 ∴线经过点， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 【跟踪专练1】将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的旋转以及一次函数与坐标的交点问题，掌握一次函数图象的旋转是解题的关键．一次函数中，令，则，当一次函数绕原点顺时针旋转后，则的对应点为，得到，分别当和时讨论，即可解得． 【详解】解：在一次函数中，令，则， ∴直线经过点， 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转， 则的对应点为， 旋转后图象与轴交于点， ， ， ， 当时，，解得，即； 当时，，解得，与矛盾，无解； 的取值范围是， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为____． 【答案】/ 【分析】设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，先求得点和点坐标，然后证明，得到，，从而得出点的坐标，然后利用待定系数法，求得和，最后算得旋转后的直线与轴的交点坐标． 【详解】解：设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，如图所示： 直线与坐标轴分别交于，两点， 时，；时，； ，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 将，代入，得， ， ， 时，， 旋转后的直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点并构造出等腰直角三角形是解题的关键． 题型13.一次函数增减性判定 【典例】下列函数中，的值随着值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一次函数的性质判断增减性，依据一次函数，当时，y 随 x 的增大而减小判断即可． 【详解】解：对于一次函数 ， 若，则y随x增大而增大； 若，则y随x增大而减小， 选项 A：，不符合； 选项 B：，不符合； 选项 C：，不符合； 选项 D：，符合. 故选D． 【跟踪专练1】若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是 （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵在一次函数中，比例系数， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴． 【跟踪专练2】已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用一次函数的增减性，结合和的符号，确定直线与轴交点的位置，再根据的乘积关系判断的符号，得到结论． 【详解】解：∵，∴随增大而增大， ∵，∴， 令，得直线与轴交点横坐标， ∵，，∴，即交点在轴正半轴， 若，可得，因此， ∵，，∴，，可得，故C正确． A中可为负，可为正，， A错误； B中为负，为正，，B错误； D中可正可负，不一定小于，D错误． 题型14.由一次函数增减性求参数 【典例】一次函数的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，当一次项系数为负数时，函数值y随x的增大而减小，将题目中的函数整理为标准形式，确定一次项系数，建立不等式求解即可． 【详解】解：将函数整理为，其中一次项系数为， 因为函数值随的增大而减小，所以一次项系数， 解不等式，得， 因此，的取值范围是， 故选：A． 【跟踪专练1】已知一次函数，y随x的增大而减小．写出一个符合条件的整数k的值是____． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，当一次项系数时，y随x的增大而减小解答即可． 【详解】解：由题意得，一次函数，y随x的增大而减小， ， 解得， 可取任意小于1的整数，如， 故答案为：0（答案不唯一）． 【跟踪专练2】已知一次函数的图象经过，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 根据题意在坐标系中作出点，其中，再根据图象即可求解． 【详解】解：在坐标系中作出点，且 ∴从点到，随着的增大而减小， ∴ ∵，在第二象限，在第三象限， ∴直线与轴负半轴相交， ∴， 故选：B． 【跟踪专练3】当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】A 【分析】根据一次项系数的正负判断函数在上的增减性，再结合最大值为，求解的值． 【详解】解：一次函数的斜率为，分两种情况讨论： ①当时： 函数在上随着的增大而增大，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得． ②当时： 函数在上随着的增大而减小，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得，但不满足，舍去． ③当时： 函数为常函数，最大值为，不符合最大值为，舍去． 综上所述，． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的单调性与最值，解题关键是分斜率正负讨论函数的增减性，再结合区间端点求最值． 题型15.一次函数增减性判断自变量变化 【典例】一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质判断出函数的增减性是解答本题的关键．根据一次函数的性质判断出增减性即可解答． 【详解】解：∵一次函数的， ∴y随x的增大而减小， ∵ ， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】已知一次函数，若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，可得出y随x的增大而减小，结合，即可求出y的最小值． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，此时． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，由且，可得 ，再结合一次函数性质与有理数乘法法则分析，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴随增大而减小， ∵， ∴， 若，，此时满足成立，但，则；故A选项不符合题意； 对于C选项，取，此时满足，但，则，故C选项不符合题意； 若，则且， 计算， ∵， ∴， ∴ ∴可取正数，0，负数， 可取正数，0，负数，即推不出，故B选项不符合题意； 若，则且（因). ∵， ∴， ∴， 计算，∵， ∴， ∴， ∴，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 题型16.一次函数值的大小比较 【典例】已知和点是直线上的两个点，那么_____（“”或“”） 【答案】 【分析】根据正比例函数的性质，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵，是直线上的两个点，， ∴． 【跟踪专练1】若点都在直线（为常数）上，则的大小关系是（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数解析式的斜率判断y随x的增减性，再比较两点横坐标的大小即可得到y的大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 【跟踪专练2】已知一次函数的图象上两点，，其中，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式等知识点，根据函数的增减性判断一次项系数的符号是解题的关键． 由，， ，可知随增大而增大，可得，即，解不等式即可． 【详解】解：∵，， ，， ∴随增大而增大， ∴，即，解得． 故答案为：． 题型17.一次函数的规律探究问题 【典例】已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可以的关于b的不等式，然后根据题意即可求得b的取值范围． 【详解】解：由题意可得， 点A的横坐标为2018， 在线段AB上恰好有2018个整点包括端点， ， 解得，， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想和不等式的性质解答． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意，先找到点，，横纵坐标的规律，然后由求解即可． 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 同理可得，，，… ∵，， ∴ ∵ ∴点的坐标为，即． 【跟踪专练2】如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先通过求解一次函数图象与坐标轴的交点，可得出的坐标，进而得出的长，由正方形的性质可得，于是可得的坐标；，以此类推，同理可得，，，，，据此即可得出答案． 【详解】解：令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， ， 令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， 的纵坐标为：， ， 同理可得，，，， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的规律探究问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，写出直角坐标系中点的坐标，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差等知识点，通过确定，的横纵坐标数值，找出其变化的规律是解题的关键． 题型18.由直线与坐标轴交点求方程的解 【典例】一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的解为直线与x轴交点横坐标，结合函数图象，得出答案即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴当，， ∴方程的解为． 【跟踪专练1】如图是一次函数的图像，则方程的解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解就是对应一次函数与x轴交点的横坐标是解题的关键． 关于x的方程一元一次方程的解就是一次函数与x轴交点的横坐标的值，据此即可解答． 【详解】解：从图像上可知，一次函数与x轴交点的横坐标为， 所以关于x的方程的解为． 故答案为：． 【跟踪专练2】一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（） … 0 1 2 … … 1 4 7 … A．y的值随x值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．关于x的方程的解是 D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】根据表格信息结合一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，的值随值的增大而增大，故选项A错误； ∴， 当时，， ∴该函数的图象经过第一、二、三象限，故选项B错误； 当时，，故关于的方程的解不是，故选项C错误； ∵的值随值的增大而增大，且当时，， ∴不等式的解集为；故选项D正确； 题型19.由方程解判定直线与x轴交点 【典例】已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案. 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是． ∴只有选项B的图象符合题意， 故选：B 【跟踪专练1】已知一次函数的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点，则不等式的解集为_______________． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象经过一、二、三象限可得，且与x轴交于点，得出，求不等式的解集相当于是求时x的取值范围，求出与x轴的交点可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、三象限，则函数y随x的增大而增大， ∴． 把点，代入即可得到：，即． 不等式的解集就是求函数， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故当时，不等式成立． 则不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握一次函数与不等式的关系式解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形性质，根据题意得出直线的解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出直线的解析式，求出D点坐标即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ， 解得， 直线的解析式为， 当时， ∴， ． 故选C． 题型20.图象法解一元一次方程 【典例】如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程．根据直线经过点，利用数形结合的思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，方程的解可看成函数的图象和直线交点的横坐标， 由所给函数图象可知， 直线和直线的交点坐标为， 方程的解为． 故选：A． 【跟踪专练1】直线如图所示，则关于的方程的解是____________． 【答案】 【分析】方程的解，就是直线上函数值时对应的自变量的值．我们可以从图像中直接读取当 时的坐标． 【详解】解：从图中可以看到，直线经过点． ∴当时， 因此，方程的解是 故答案为：． 【点睛】本题考查了知识点一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是理解“方程的解”与“函数图像上点的坐标”之间的对应关系． 【跟踪专练2】如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 先求出一次函数解析式，再计算时方程的解即可． 【详解】解：设直线解析式为，代入点得：， 解得， 直线解析式为， 方程转化为， 当时，， 解得． 故选：D． 题型21.由直线与坐标轴交点求不等式解集 【典例】如图，直线与轴的交点的坐标是，关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与轴的交点的坐标是，结合一次函数的性质求解即可； 【详解】解：直线与轴的交点的坐标是，且y随x的增大而增大， 故时，； 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象经过点与，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握利用函数图象求解不等式的方法是解题的关键． 不等式等价于，观察一次函数图象，找到图象在轴上方时对应的的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点 ∴当时， ∵不等式即为 ∴从图象可知，当函数图象在轴上方时， ∴此时的取值范围是 ∴不等式的解集是 故答案为： ． 【跟踪专练2】在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中画出了一次函数和的图象（如图），两直线相交于点，分别与轴交于点．已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的不等式的解集是_______； (2)关于的不等式的解集是________； (3)关于的不等式组解集是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用与轴交于且递减，得图像在轴上方时，解集为； （）根据两直线交点横坐标为，得交点左侧在下 方，解集为； （）解：由交点且递减，得函数值小于时；解：由与轴交于，递增，得；取两者公共部分，不等式组解集为． 【详解】（1）解：不等式，表示的图像在轴上方， ∵与轴交于，且随增大而减小， ∴图像在轴上方时； （2）解：不等式，表示的图像在图像下方， ∵两直线交点的横坐标为，交点左侧满足在下方， ∴解集为； （3）解：∵：表示函数值小于，交点，递减， ∴解集为； ∵：表示函数值大于，与轴交于，递增， ∴解集为； ∴两个解集的公共部分为，即不等式组的解集． 题型22.由两条直线交点求不等式解集 【典例】已知在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数图象在一次函数图象的下方对应的的取值范围即为所求． 【详解】∵一次函数与图象的交点坐标为， ∴由图象可知，若，则． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，一次函数与的图象相交于点，且，分别交轴于点，，则不等式的解集为______ ． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，的解集为两函数交点左边的图象所对应的自变量的取值范围． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， 则不等式的解集为． 【跟踪专练2】当时，对于x的每一个值，函数（k≠0）的值都小于函数的值，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得时，，当，直线（）与直线平行，且在直线下方；当直线与直线的交点在的上方时，函数（）的值都小于函数的值，据此求解即可． 【详解】解：当时，，即有点， 将点代入， 有，解得， 当，直线（）与直线平行，且在直线下方；    结合图象可知：直线与直线的交点在的上方时，并随着交点的不断上移，直至直线（）与直线平行时，满足当时，函数（）的值都小于函数的值， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． 题型23.两直线交点与二元一次方程组的解 【典例】如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把代入直线求出的值，从而得到点坐标，再根据“两函数图像的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解”可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解是． 【跟踪专练1】如图，一次函数与的图象相交于点，若点的纵坐标为2，则关于的二元一次方程组的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查两直线的交点与二元一次方程组的解． 将代入，可得点的横坐标，即可得方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与的图像相交于点，且点的纵坐标为， ∴， 解得， ∴点坐标为， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，则PA+PB的最小值即为A'B的长，先求出点A坐标，再待定系数法求出b的值，根据轴对称的性质可得点A'的坐标，进一步求出A'B的长，即可确定PA+PB的最小值． 【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示： 则PA+PB的最小值即为的长， 将点A（3，a）代入y=2x， 得a=2×3=6， ∴点A坐标为（3，6）， 将点A（3，6）代入y=x+b， 得3+b=6， 解得b=3， ∴点B坐标为（0，3）， 根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6） ∴， ∴PA+PB的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键． 题型24.图象法解二元一次方程组 【典例】已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_______________； 【答案】 【分析】根据函数和的图象交于点P（2，-1）即可得． 【详解】解：∵函数和的图象交于点P（2，-1）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法解二元一次方程组，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组之间的关系． 【跟踪专练1】如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【答案】D 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值． 【跟踪专练2】小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 题型25.求直线围成的图形面积 【典例】如图，在平面直角坐标系中，的面积是（   ） A．2 B．5 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求直线与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握该知识点是关键． 由图像可知：，，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积即可． 【详解】解：由图形可知：，， 所以的面积为：. 故选：B. 【跟踪专练1】如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，点在该函数的图象上，连接OC，则的面积为_______． 【答案】15 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算． 将点代入一次函数解析式中，求出；对于一次函数解析式，令，求出的值，得到的长度；根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：将点代入，得到：， 令，则，解得：， ∴， 则的面积为：. 故答案为：. 【跟踪专练2】如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点，两直线交点等知识，利用数形结合是解题关键． 根据题意求出点坐标的值，进而求出直线的解析式，继而求出点的坐标，即可得解． 【详解】解：在直线上， ， ， ， 将代入， 得，解得，故， 直线与轴交于点， ， ， ， ， ． 故选：B． 解答题 1．已知是一次函数． (1)求m的值； (2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式． （1）根据一次函数的定义得到，，求解即可； （2）先确定函数解析式，再分别令，，求出该函数图象与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据直线l与一次函数的图象关于y轴对称，得到直线l过点，，运用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 由得， 由得或， ∴． （2）解：∵， ∴一次函数的解析式为， ∵当时，， ∴该一次函数的图象与y轴的交点为， ∵当时，，解得， ∴该一次函数的图象与x轴的交点为， ∴该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为． （3）解：∵直线l与一次函数的图象关于y轴对称，且一次函数的图象过点，， ∴直线l过点，， 设直线l的解析式为， ∴，解得， ∴直线l的解析式为． 2．已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)设点在函数的图象上，直接写出的值． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）设，将时，代入式子求解，即可解题； （2）将代入（1）中解析式求解，即可解题； （3）将点代入（1）中解析式求解，即可解题． 解题的关键在于根据题意求出与之间的函数关系式． 【详解】（1）解：与成正比例， 设， 时，， ， 解得， ， 即； （2）解：当时，； （3）解：点在函数的图象上， ， 解得． 3．如图，在长方形中，，点P从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为和，同时点Q从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为，连结．设点P的运动时间为t秒，四边形的面积为． (1)当点P到达的中点时，则 ； (2)连接，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则 秒； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，掌握矩形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据题意用表示出，然后求出t的值，再根据勾股定理即可求解即可； （2）分点在边上、点在边上两种情况，根据题意列出方程求解即可； （3）分点在边上、点在边上两种情况，根据矩形面积公式、三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，当点P在线段上时，， 当点P到达边的中点时，，即，解得∶， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：当点P在边上时，由题意得，， 即，解得， 当点P在边上时，， ∴， 由题意得，， 即，解得：． 综上，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则或． 故答案为：或． （3）解：当点P在边上时，即时， ， 当点P在边上时，即时，， ∴， ∴． 综上所述，． 4．在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点，直线，直线与交于点P． (1)求k的值； (2)已知当时，的最大值是其最小值的4倍，求t的值？ (3)若直线（m，n常数，）经过点P．试探究：是否存在一组常数m，n，使得无论t取何值，直线都经过x轴上的某一个定点？若存在，请求出m，n的值及该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，该定点坐标为 【分析】（1）将点代入解析式即可求解； （2）将代入解析式得到，根据函数的增减性即可得到最大值和最小值，根据条件列方程求解； （3）根据条件得到点的坐标，代入得到的关系，令得到关于的恒等式即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线， 整理得：， 则， 解得： （2）解：将代入直线，， 得直线， 直线， 则 ∵， ∴随着的增大而减小， 当时， 当时，取得最大值：， 当时，取得最小值：， 根据题意得：， 解得： （3）解：联立和的解析式得：， 解得， 则点， 根据题意直线， 将点代入可得： ∴ ∴， ∴， ∵直线都经过x轴上的某一个定点， 将代入得 则， 对任意成立，因此， 将代入得， 解得：， 则， 将代入， 解得， 满足， 则存在常数，，定点为． 5．综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中_____________，_____________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：_____________； 结论2：_____________； (4)写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称 (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，从最小值，对称性，增减性等方面总结即可； （4）画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：1；1 （2）解：如图，    （3）解：根据题意得： 结论1：函数有最小值，最小值为； 结论21：函数的图象关于直线对称； （4）解：方程的解为：，理由如下： 画出函数和的图象，如图所示：    函数和的图象交点坐标分别为， ∴关于的方程的解为：． 6．画出函数的图象，结合图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先作出函数的图象，数形结合即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，，即直线与轴交于点； 当时，，即直线与轴交于点； 作出函数的图象，如图所示： 观察图象知，函数图象经过点， 则方程的解为； （2）解：观察图象知，当时，函数图象在轴下方，即， 不等式的解集为； （3）解：当时，，解得； 当时，，解得； 观察图象知，当时，． 7．学习完一次函数的图象与性质后，某学习小组借鉴研究一次函数时积累的经验，对函数展开探究，过程如下，请完成相应题目． (1)根据函数表达式列表如下，则表中________，________； … 0 1 … … 3 2 1 3 4 … (2)在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)若直线与的图象有两个交点，分别为点和点． ①若点的坐标为，求点的坐标； ②直接写出的取值范围． 【答案】(1)4；2 (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）将、代入函数求解即可； （2）根据表格中的坐标，在坐标系中描点，依次连接即可得到顶点在的V型折线； （3）①利用待定系数法求出的值，由题意可得点的横坐标，则当时，，与直线联立求出点B坐标； ②根据题意得，直线恒过定点，根据图象可知，找出两个临界点，当直线与函数平行或直线经过顶点时，求出临界点时的值，从而得到的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）解：函数图象如下： （3）①解：将代入直线得： ， 解得， 直线， 直线与的图象有两个交点，且 点的横坐标 当时，， 由题意得：， 解得， 将代入得：， 点B坐标为； ②解：直线， 直线恒过定点， 当时，函数， 如图， ①当直线与函数平行时，， 此时直线，与函数只有一个交点； ②当直线过点时， ， 解得， 此时直线， 直线与的图象有两个交点， 的取值范围为：． 8．一次函数与的图象如图所示． (1)点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)当____________时，； (3)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1), (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）联立两个一次函数解析式求解交点坐标，再令求解点坐标； （2）通过交点坐标确定不等式的解集； （3）设点的坐标为，根据三角形的面积，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得， ∴点的坐标为； 当时，， 解得， ∴； （2）解：∵， 由图形可知，当时，； （3）解：设点的坐标为． ，且， ， 即， ， ∴点的坐标为或． 9．综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，把方程的解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标． … -1 0 1 … … 4 3 2 … 数学建模： （1）请直接写出：_____；_____，经过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点_____（填“在”或“不在”）同一条直线上．以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 问题解决： （2）设方程的图象与轴、轴的交点分别是A，B，方程的图象与轴、轴的交点分别是C，D． ①求点A，D的坐标． ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点在轴正半轴上，且．请在平面直角坐标系中作出符合题意的两方程的图象，并求m，n的值． 【答案】（1）5，2，在（2）①，②图见解析，， 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形，掌握相关知识是解题的关键． （1）把对应点横纵坐标代入方程中，即可求出的值，然后画图发现这些点在同一条直线上； （2）①在中，当时，，在中，当时，，据此可得答案； ②根据题意可得直线和直线没有交点，即在这两条直线互相平行，根据点在轴正半轴上，且，求出点和点的坐标，进而即可求出，的值． 【详解】解：（1）当时，代入，得， ∴； 当时，代入，得， ∴； 经过画图发现，这些点在同一条直线上； 故答案为：5，2，在； （2）①在中，当时，， 在中，当时，， ∴，； ②关于，的二元一次方程组无解， 直线和直线 没有交点，即这两条直线互相平行， 点在轴正半轴上，且，， ， ，即， 将点的坐标代入得， ， 解得， ， ，， ， ，即， 将点的坐标代入 得， ， 解得， 如图所示即为所求： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一次函数图象与性质复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记一次函数与正比例函数定义，分清两者从属关系。 2.掌握 k、b 的实际意义，吃透函数图象、增减性、象限分布核心性质。 3.熟练使用待定系数法求解函数解析式。 4.理解一次函数与方程、不等式、方程组的内在联系，掌握图象平移规律。 1.运用数形结合，借助图象分析、解决函数相关问题。 2.提升运算能力，熟练解决函数与几何结合类计算题型。 3.具备实际问题建模能力，能用一次函数解决生活应用、方案设计问题。 1.吃透基础考点，稳定拿下选择、填空、简单解答基础分值。 2.突破图象变换、几何综合等中档题型，提升解题熟练度。 3.掌握含参数、动态探究类压轴题型解题思路，灵活运用数学思想，全面应对考试。 题型01.一次函数识别 题型02.由一次函数定义求参数 题型03.求一次函数自变量或函数值 题型04.列一次函数解析式并求值 题型05.一次函数解析式 题型06.一次函数图象的判定 题型07.由一次函数解析式判断象限 题型08.由一次函数象限求参数范围 题型09.一次函数与坐标轴交点问题 题型10.画一次函数图象 题型11.一次函数图象平移问题 题型12.一次函数对称与旋转问题 题型13.一次函数增减性判定 题型14.由一次函数增减性求参数 题型15.一次函数增减性判断自变量变化 题型16.一次函数值的大小比较 题型17.一次函数的规律探究问题 题型18.由直线与坐标轴交点求方程的解 题型19.由方程解判定直线与x轴交点 题型20.图象法解一元一次方程 题型21.由直线与坐标轴交点求不等式解集 题型22.由两条直线交点求不等式解集 题型23.两直线交点与二元一次方程组的解 题型24.图象法解二元一次方程组 题型25.求直线围成的图形面积 解答题9题 知识点01:一次函数的概念 定义：形如 y = kx + b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。 正比例函数：当 b = 0 时，y = kx（k ≠ 0），是特殊的一次函数。 常值函数：当 k = 0 时，y = b，不是一次函数。 自变量范围：通常为全体实数；实际问题中需使解析式有意义且符合实际。 知识点02:一次函数的图象与画法. 1.图象形状：一条直线，也称直线 y = kx + b。 2.平移关系：y = kx + b 可由 y = kx 平移 |b| 个单位得到（b > 0 上移，b < 0 下移）。 3.两点法画图： 对于 y=kx+b： 1.令 x=0，得 y=b，得点 (0,b)（与 y 轴交点）。 2.令 y=0，得 x=−​，得点 (−​,0)（与 x 轴交点）。 3.过这两点画直线，就是 y=kx+b 的图象。 知识点03:一次函数的性质与性质（重点） 知识点04:一次函数图象与坐标轴交点问题 一次函数 y=kx+b (k0)的图象与坐标轴的交点问 知识点05:待定系数法求解析式 步骤： 1.设：设 y = kx + b（k ≠ 0）。 2.代：代入两个已知点坐标，列方程组。 3.求：解方程组求 k、b。 4.写：写出解析式。 知识点06:一次函数与方程、不等式的关系 1.与一元一次方程： kx + b = 0 的解 ⇔ 直线与 x 轴交点横坐标。 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 2.与一元一次不等式： kx + b > 0 ⇔ 直线在 x 轴上方 部分的 x 范围。 kx + b < 0 ⇔ 直线在 x 轴下方 部分的 x 范围。 3.与二元一次方程组： 两直线交点坐标 ⇔ 对应方程组的解。 平行（k₁=k₂, b₁≠b₂）⇔ 无解；重合（k₁=k₂, b₁=b₂）⇔ 无 题型01.一次函数识别 【典例】下列函数中，是一次函数的是（） A． B． C． D． 【跟踪专练1】函数①；②；③；④中，是的一次函数的有_____（填序号）． 【跟踪专练2】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 题型02.由一次函数定义求参数 【典例】已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【跟踪专练1】已知一次函数，当时，的最大值为，则的值为______． 【跟踪专练2】若是一次函数，则此函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 题型03.求一次函数自变量或函数值 【典例】以下点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】对任意实数，直线经过一个定点，这个定点是________． 【跟踪专练2】定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则______； （2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为______． 题型04.列一次函数解析式并求值 【典例】已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 【跟踪专练2】若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 题型05.一次函数解析式 【典例】已知函数解析式，若该函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【跟踪专练1】若一次函数的图象经过点，当x增加1个单位长度时，y减少3个单位长度，则此函数的表达式是________． 【跟踪专练2】已知点是直线（）上一点，下列四个点中有三个点在该直线上，则不在该直线上的点是（   ） A． B． C． D． 题型06.一次函数图象的判定 【典例】下列各点在一次函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是________________． 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型07.由一次函数解析式判断象限 【典例】一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【跟踪专练1】直线经过第____________象限，y随的增大而__________，将该直线右移2个单位，下移1个单位后的解析式为：________． 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型08.由一次函数象限求参数范围 【典例】若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是______． 【跟踪专练2】一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型09.一次函数与坐标轴交点问题 【典例】一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．的面积是4 C．随的增大而减小 D．点在函数图象上 【跟踪专练1】已知一次函数图象与轴交点在轴上方，则的取值范围是___________． 【跟踪专练2】一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB内部(包括边界)，纵坐标、横坐标都是整数的点共有（   ） A．90个 B．92个 C．104个 D．106个 题型10.画一次函数图象 【典例】若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过__________象限． 【跟踪专练1】用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型11.一次函数图象平移问题 【典例】将函数的图象向左平移2个单位，得到的图象的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向下平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型12.一次函数对称与旋转问题 【典例】请写出直线关于轴对称的直线解析式为______． 【跟踪专练1】将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为____． 题型13.一次函数增减性判定 【典例】下列函数中，的值随着值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是 （填“”或“”）． 【跟踪专练2】已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型14.由一次函数增减性求参数 【典例】一次函数的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知一次函数，y随x的增大而减小．写出一个符合条件的整数k的值是____． 【跟踪专练2】已知一次函数的图象经过，若，则（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 题型15.一次函数增减性判断自变量变化 【典例】一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练1】已知一次函数，若，则的最小值为___________． 【跟踪专练2】已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型16.一次函数值的大小比较 【典例】已知和点是直线上的两个点，那么_____（“”或“”） 【跟踪专练1】若点都在直线（为常数）上，则的大小关系是（  ） A． B． C． D．不能确定 【跟踪专练2】已知一次函数的图象上两点，，其中，那么的取值范围是________． 题型17.一次函数的规律探究问题 【典例】已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 【跟踪专练2】如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） . A． B． C． D． 题型18.由直线与坐标轴交点求方程的解 【典例】一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是一次函数的图像，则方程的解为______． 【跟踪专练2】一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（） … 0 1 2 … … 1 4 7 … A．y的值随x值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．关于x的方程的解是 D．不等式的解集为 题型19.由方程解判定直线与x轴交点 【典例】已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知一次函数的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点，则不等式的解集为_______________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型20.图象法解一元一次方程 【典例】如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】直线如图所示，则关于的方程的解是____________． 【跟踪专练2】如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 题型21.由直线与坐标轴交点求不等式解集 【典例】如图，直线与轴的交点的坐标是，关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象经过点与，则关于的不等式的解集是________． 【跟踪专练2】在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中画出了一次函数和的图象（如图），两直线相交于点，分别与轴交于点．已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的不等式的解集是_______； (2)关于的不等式的解集是________； (3)关于的不等式组解集是________． 题型22.由两条直线交点求不等式解集 【典例】已知在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，一次函数与的图象相交于点，且，分别交轴于点，，则不等式的解集为______ ． 【跟踪专练2】当时，对于x的每一个值，函数（k≠0）的值都小于函数的值，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 题型23.两直线交点与二元一次方程组的解 【典例】如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，一次函数与的图象相交于点，若点的纵坐标为2，则关于的二元一次方程组的解为_____． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（    ） A．6 B． C．9 D． 题型24.图象法解二元一次方程组 【典例】已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_______________； 【跟踪专练1】如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【跟踪专练2】小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 题型25.求直线围成的图形面积 【典例】如图，在平面直角坐标系中，的面积是（   ） A．2 B．5 C．10 D．8 【跟踪专练1】如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，点在该函数的图象上，连接OC，则的面积为_______． 【跟踪专练2】如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 解答题 1．已知是一次函数． (1)求m的值； (2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式． 2．已知与成正比例，且时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)设点在函数的图象上，直接写出的值． 3．如图，在长方形中，，点P从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为和，同时点Q从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为，连结．设点P的运动时间为t秒，四边形的面积为． (1)当点P到达的中点时，则 ； (2)连接，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则 秒； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点，直线，直线与交于点P． (1)求k的值； (2)已知当时，的最大值是其最小值的4倍，求t的值？ (3)若直线（m，n常数，）经过点P．试探究：是否存在一组常数m，n，使得无论t取何值，直线都经过x轴上的某一个定点？若存在，请求出m，n的值及该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中_____________，_____________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：_____________； 结论2：_____________； (4)写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 6．画出函数的图象，结合图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 7．学习完一次函数的图象与性质后，某学习小组借鉴研究一次函数时积累的经验，对函数展开探究，过程如下，请完成相应题目． (1)根据函数表达式列表如下，则表中________，________； … 0 1 … … 3 2 1 3 4 … (2)在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)若直线与的图象有两个交点，分别为点和点． ①若点的坐标为，求点的坐标； ②直接写出的取值范围． 8．一次函数与的图象如图所示． (1)点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)当____________时，； (3)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 9．综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，把方程的解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标． … -1 0 1 … … 4 3 2 … 数学建模： （1）请直接写出：_____；_____，经过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点_____（填“在”或“不在”）同一条直线上．以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 问题解决： （2）设方程的图象与轴、轴的交点分别是A，B，方程的图象与轴、轴的交点分别是C，D． ①求点A，D的坐标． ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点在轴正半轴上，且．请在平面直角坐标系中作出符合题意的两方程的图象，并求m，n的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $