专题10正比例函数与一次函数应用复习讲义(知识梳理+11大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题10正比例函数与一次函数应用复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.分清正比例函数与一次函数的概念，知晓正比例函数是特殊的一次函数。 2.掌握函数图象、增减性、象限分布规律，明白系数决定图象特征。 3.熟练运用待定系数法，求解函数解析式。 4.掌握一次函数建模思路，适配生活中行程、收费、方案选择等实际问题。 5.结合实际情境，正确确定自变量取值范围。 1.巧用数形结合，读懂函数图象，分析变化规律。 2.具备数学建模能力，将实际问题转化为函数问题解答。 3.融合方程、不等式知识，提升综合分析与运算能力。 1.熟练辨析函数类型，活用函数性质，拿下基础题型。 2.掌握解析式求解核心考法，步骤规范、计算准确。 3.吃透一次函数应用题解题逻辑，规避易错点，稳步得分。 题型01.正比例函数的定义 题型02.求自变量的取值范围 题型03.正比例函数的图象 题型04.用描点法画函数图象 题型05.正比例函数的性质 题型06.一次函数应用:分配方案问题 题型07.一次函数应用:最大利润问题 题型08.一次函数应用:行程问题 题型09.一次函数应用:梯度计价问题 题型10.其他实际应用问题 题型11.一次函数与几何综合 解答题7题 知识点01:正比例函数的概念 一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成y=kx（k是常数，且k0）的形式，这个函数叫做正比例函数。 关键特征：自变量x的次数为 1，不含常数项，不含分式、二次根式等复杂形式；比例系数k不能为 0。 取值范围：若无特殊说明，自变量x取值为全体实数 知识点02:正比例函数的图像 正比例函数y=kx(k0)的图像是经过坐标原点(0,0)的一条直线。 图像绘制方法：两点作图法，选取原点(0,0)和点(1,k)，连接两点并延伸，即可画出函数直线。 左图一次函数 右图正比例函数 一句话区分：正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数 知识点03:正比例函数的图像性质 当k＞0时：函数图像经过第一、第三象限；y的值随x的增大而增大。 当k＜0时：函数图像经过第二、第四象限；y的值随x的增大而减小。 知识点04:正比例函数解析式求解 方法：待定系数法，为本节核心考点。 解题步骤： 1 设出正比例函数解析式y=kx(k0)； ② 将已知图像上点的坐标代入解析式； ③ 解方程求出比例系数k的值； ④ 带回式子，写出完整函数解析式。 知识点05:一次函数实际应用 1.解题通用步骤 1.分析实际问题，确定题目中的自变量、因变量与固定不变的常量。 2.根据题目中的数量关系，列出对应的一次函数关系式y=kx+b(k0)。 3.结合实际生活意义，确定自变量的取值范围，这是实际应用题必备条件。 4.利用函数解析式、函数图像，结合方程、不等式等知识，解决求值、比较、决策等问题。 2. 常见类型 行程问题：路程 = 速度 × 时间，分段函数处理变速 / 不同路段 工程问题：工作量 = 效率 × 时间，结合完成进度建模 利润问题：利润 =（售价−成本）× 销量，分析单价与销量的函数关系 方案选择：对比不同函数解析式，通过交点或取值范围选择最优方案 费用与消费问题 (1)单一收费 总费用=固定费用+单件单价数量 (2)分段计费核心逻辑 第一段：基础费用 + 基础用量内收费 第二段：超出费用 = 超出数量×超额单价 总费用=第一段费用+超出部分费用 核心易错要点 1.所有实际应用问题，必须结合实际限制条件，限定自变量取值范围。 2.解读函数图像时，优先明确横、纵坐标各自代表的实际量。 3.分段类一次函数问题，不同区间对应不同解析式，不可混用公式。 4.方案最值问题，需在自变量允许的取值范围内计算最值。 题型01.正比例函数的定义 【典例】下列函数中，为正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】当________时，函数是正比例函数． 【跟踪专练2】已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型02.求自变量的取值范围 【典例】在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在函数中，自变量的取值范围是______． 【跟踪专练2】函数，当时，的取值范围是___________． 【跟踪专练3】函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 题型03.正比例函数的图象 【典例】下列各点中，在正比例函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】图中直线对应的函数表达式为________． 【跟踪专练2】定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______． 题型04.用描点法画函数图象 【典例】下列各坐标表示的点中，在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】描点法画函数图象的一般步骤： 第一步：______．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步：______．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步：______．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【跟踪专练2】在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 题型05.正比例函数的性质 【典例】若点在正比例函数的图象上，则m的值是（　　） A． B． C．1 D． 【跟踪专练1】水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，一研究小组同学在滴水的水龙头下面放置一个能显示水量的容器，每5记录一次容器中的水量，得到结果如下表： 时间 0 5 10 15 20 …… 水量 0 30 60 90 120 …… 以表中各对的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，并观察它们的分布规律，则可得到关于的函数表达式为___． 【跟踪专练2】如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型06.一次函数应用:分配方案问题 【典例】已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【跟踪专练1】随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【跟踪专练2】某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出，每份说明书收取1元印刷费，另收取元制版费；乙印刷厂提出，每份说明书收取元印刷费，不收取制版费．请选取适当的变量建立函数，给出最节省费用的印刷厂选择方案． 【跟踪专练3】随着某地区复工复产有序推进，某企业为保障员工健康，计划购买、两种型号的额温枪．经市场调查发现：购买个种额温枪和个种额温枪共需元，购买个种额温枪和个种额温枪共需元． (1)求每个种额温枪和种额温枪各多少元； (2)该企业准备购买、两种型号的额温枪共个，其中购买种额温枪不少于个．请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用． 题型07.一次函数应用:最大利润问题 【典例】在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【跟踪专练1】某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【跟踪专练2】“人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度．小知购进腊梅，百合两种鲜花的进价分别是元/束和元/束；若每束腊梅的售价为元，每束百合的售价为元．结合市场需求，小知决定购进两种鲜花共束，计划购买成本不超过元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的．两种鲜花全部销售完时，应怎样进货才能使得利润最大？最大利润是多少？ 【跟踪专练3】某药店购进型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所示： 口罩 普通医用口罩 进价（元/包） 19 7 售价（元/包） 23 10 若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下面问题． (1)求出利润y与x的函数关系式． (2)已知 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构．所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值． 题型08.一次函数应用:行程问题 【典例】如图，在同一直线上，甲、乙两人分别从，两点同时向右出发，甲、乙均为匀速，图2表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，若乙的速度为，则经过，甲自点移动了（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是______． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 【跟踪专练2】如图，根据甲、乙两人在一次赛跑中跑完全程的平均速度，得到路程（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系如图所示．根据图像，回答下列问题： (1)甲的速度是__________米/秒； (2)先到达终点的是__________（填“甲”或“乙”）； (3)写出乙的图像的函数解析式及定义域__________． 【跟踪专练3】甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发 s，乙提速前的速度是每秒 ， ， ； (2)当为 时，乙追上了甲； (3)何时乙在甲的前面？ 题型09.一次函数应用:梯度计价问题 【典例】某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米元收费；超过6m3时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年九、十月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（m3） 水费（元） 九 4 12 十 10 34 设某户该月用水为，应交水费为（元），写出与之间的关系式________． 【跟踪专练2】按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求和时与的函数解析式； (2)求用电量为180度时的应付费用． 【跟踪专练3】为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，写出用气费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； (3)某户去年一年的用气费是1147元，求该户去年一年的用气量． 题型10.其他实际应用问题 【典例】小明点燃一支长为25厘米的蜡烛，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度（厘米）与燃烧时间（时）的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】为保障古籍修复工作，实验室使用除湿机控制空气湿度．实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）成一次函数关系．某日除湿机开机后连续工作2小时，实验室湿度为；连续工作5小时，湿度降至．根据古籍保护标准，实验室湿度不得低于，否则纸张易脆裂，则该日这台除湿机开机后最多可连续工作________小时． 【跟踪专练2】曹冲生五六岁，智意所及，有若成人之智．时孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”太祖悦，即施行焉．译文：曹冲年龄五六岁的时候，知识和判断能力如一个成年人，有一次，孙权送来了一头巨象，曹操想知道这象的重量，询问他的属下这件事，但他们都不能说出称象的办法．曹冲说：“把象放到大船上，在水面所达到的地方做上记号，再让船装载其他东西，称一下这些东西，那么比较下就能知道了．”曹操听了很高兴，马上照这个办法做了．现有一艘大船的吃水深度与船上重物（吨）之间的关系如表所示： （吨） 0 0.5 1 2 3 4 …      a 20.2 20.4 20.8 21.2 21.6 … (1)_____； (2)求出船的吃水深度与船上重物（吨）之间的函数关系式； (3)大象装上船后该船的吃水深度为23.4cm，求大象重多少吨． 【跟踪专练3】某实践小组为了研究某种均匀材质的香烛（总长）的燃烧变化情况．点燃香烛后，每隔分钟测量一次香烛剩余长度，获得数据如表： 燃烧时间（分钟） 0 2 4 6 8 剩余长度（观察值） 20.0 19.0 18.5 17.0 16.5 在平面直角坐标系中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是可以用一次函数近似地刻画剩余长度与燃烧时间的关系． (1)利用，；，这两组数据，求剩余长度与燃烧时间的函数解析式； 经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求________，此时它与时观察值的偏差值若记为（即时的函数值与观察值之差），则________． (2)小组决定优化一次函数解析式，减少偏差（提示：衡量偏差的统计量记为，当取不同值时，所有的平方和为，其中越小，偏差越小）． 结合表格数据，利用（1）得到的函数解析式计算的值； 请确定优化后经过点的一次函数解析式，使得偏差最小． 题型11.一次函数与几何综合 【典例】如图，三角形位于第二象限，已知，，其中点A的坐标为，点C的坐标为．若直线经过点且与三角形有交点，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图1，直角坐标系中点、、、，过点的直线，与四边形交于点，（点和点可以重合）．以的值为点的横坐标，线段的长度为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2．则函数的最大值是______，函数的图象与横轴两交点之间的距离为______． 【跟踪专练2】已知一次函数，， (1)，时，设的图象交于点，的图象与、轴分别交于点、，的图象与、轴分别交于点、，求的面积． (2)若无论取何值，始终有，求的取值范围． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点D为y轴负半轴上一点，连接、，，． (1)如图1，求点D的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接、，设的面积为S，求用含t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在第一象限，轴于点E，连接交y轴于点G，，连接，使得，点H在第四象限，于点G，，连接交x轴于点I，若平分，，求点I的坐标． 【解答题】 1．已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式； (2)当自变量满足：，求对应函数值的取值范围． 2．A、B两地间的路程为，一辆汽车从A地出发以的速度匀速驶向B地． (1)写出行驶路程与行驶时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)画出这个函数的图象； (3)行驶时离B地还有多少路程？ 3．跨学科综合：正比例函数图像上任意不同的两点，记： (1)当，时，__________ (2)求证： (3)我们知道物体质量与它的体积之间，有关系式其中为该物体密度，当该物体体积增加时，该物体的质量增加，求该物体的密度． 4．如下图，在平面直角坐标系中，用描点法分别画出函数与的图象． (1)完成下列表格． … … … … … … (2)画出函数图象． 5．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，某研究团队测得一定温度下声音的传播速度（）与温度（）部分对应数值如表：研究发现：是的一次函数． 温度（） 声音传播的速度（） (1)观察表中的数据，可以发现：声音传播的速度随温度的增高而______； (2)直接写出符合要求的函数表达式：________； (3)当温度为时，声音的传播速度是_______． 6．水务公司对居民用水实行阶梯式收费，年用水量在108吨以内（含108吨）每吨收费元，超过108吨而不超过180吨的部分每吨收费元．如果用x（单位：吨，）表示一户居民年用水量，y（单位元）表示缴纳水费的金额． (1)请你写出缴纳水费金额y关于年用水量x的函数解析式； (2)小红家去年的用水量x是122，请你求出她家去年共缴水费y为多少？ (3)小明家去年的用水量满足，共缴水费元，请你算出他家去年用水多少吨？ 7．为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10正比例函数与一次函数应用复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.分清正比例函数与一次函数的概念，知晓正比例函数是特殊的一次函数。 2.掌握函数图象、增减性、象限分布规律，明白系数决定图象特征。 3.熟练运用待定系数法，求解函数解析式。 4.掌握一次函数建模思路，适配生活中行程、收费、方案选择等实际问题。 5.结合实际情境，正确确定自变量取值范围。 1.巧用数形结合，读懂函数图象，分析变化规律。 2.具备数学建模能力，将实际问题转化为函数问题解答。 3.融合方程、不等式知识，提升综合分析与运算能力。 1.熟练辨析函数类型，活用函数性质，拿下基础题型。 2.掌握解析式求解核心考法，步骤规范、计算准确。 3.吃透一次函数应用题解题逻辑，规避易错点，稳步得分。 题型01.正比例函数的定义 题型02.求自变量的取值范围 题型03.正比例函数的图象 题型04.用描点法画函数图象 题型05.正比例函数的性质 题型06.一次函数应用:分配方案问题 题型07.一次函数应用:最大利润问题 题型08.一次函数应用:行程问题 题型09.一次函数应用:梯度计价问题 题型10.其他实际应用问题 题型11.一次函数与几何综合 解答题7题 知识点01:正比例函数的概念 一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成y=kx（k是常数，且k0）的形式，这个函数叫做正比例函数。 关键特征：自变量x的次数为 1，不含常数项，不含分式、二次根式等复杂形式；比例系数k不能为 0。 取值范围：若无特殊说明，自变量x取值为全体实数 知识点02:正比例函数的图像 正比例函数y=kx(k0)的图像是经过坐标原点(0,0)的一条直线。 图像绘制方法：两点作图法，选取原点(0,0)和点(1,k)，连接两点并延伸，即可画出函数直线。 左图一次函数 右图正比例函数 一句话区分：正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数 知识点03:正比例函数的图像性质 当k＞0时：函数图像经过第一、第三象限；y的值随x的增大而增大。 当k＜0时：函数图像经过第二、第四象限；y的值随x的增大而减小。 知识点04:正比例函数解析式求解 方法：待定系数法，为本节核心考点。 解题步骤： 1 设出正比例函数解析式y=kx(k0)； ② 将已知图像上点的坐标代入解析式； ③ 解方程求出比例系数k的值； ④ 带回式子，写出完整函数解析式。 知识点05:一次函数实际应用 1.解题通用步骤 1.分析实际问题，确定题目中的自变量、因变量与固定不变的常量。 2.根据题目中的数量关系，列出对应的一次函数关系式y=kx+b(k0)。 3.结合实际生活意义，确定自变量的取值范围，这是实际应用题必备条件。 4.利用函数解析式、函数图像，结合方程、不等式等知识，解决求值、比较、决策等问题。 2. 常见类型 行程问题：路程 = 速度 × 时间，分段函数处理变速 / 不同路段 工程问题：工作量 = 效率 × 时间，结合完成进度建模 利润问题：利润 =（售价−成本）× 销量，分析单价与销量的函数关系 方案选择：对比不同函数解析式，通过交点或取值范围选择最优方案 费用与消费问题 (1)单一收费 总费用=固定费用+单件单价数量 (2)分段计费核心逻辑 第一段：基础费用 + 基础用量内收费 第二段：超出费用 = 超出数量×超额单价 总费用=第一段费用+超出部分费用 核心易错要点 1.所有实际应用问题，必须结合实际限制条件，限定自变量取值范围。 2.解读函数图像时，优先明确横、纵坐标各自代表的实际量。 3.分段类一次函数问题，不同区间对应不同解析式，不可混用公式。 4.方案最值问题，需在自变量允许的取值范围内计算最值。 题型01.正比例函数的定义 【典例】下列函数中，为正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一判断选项即可． 【详解】解：A中，含有常数项，不符合正比例函数的形式； B中，的最高次数为2，不符合正比例函数的形式； C中，分母中含自变量，不符合正比例函数的形式； D中，符合（为常数且）的形式，是正比例函数． 【跟踪专练1】当________时，函数是正比例函数． 【答案】2 【分析】根据正比例函数的定义可得，即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， ∴． 【跟踪专练2】已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解绝对值方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据正比例函数的定义可得到，，解之代入求值即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ，， 解得：，， ， 故选：D． 题型02.求自变量的取值范围 【典例】在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即二次根式的被开方数为非负数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数， ∴， 解不等式得． 【跟踪专练1】在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次根式的有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，由此列出不等式求解． 【详解】解：∵函数， ∴ ， 解得：． ∴自变量的取值范围是 ， 故答案为：． 【跟踪专练2】函数，当时，的取值范围是___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据题意得到关于的不等式组是解题的关键． 根据题意得，变形可得到，再根据分子分母同号或分子为零，且分母不为零列不等式组求解即可． 【详解】解：由得：， 移项得， 通分得，即 ， 或， 或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式、根式和零指数幂的条件. 根据函数表达式，分式的分母不为零，平方根的被开方数非负，零指数幂的底数不为零，综合可得自变量取值范围. 【详解】解：∵ 函数 有意义， ∴ 需满足： (1) 平方根被开方数非负：，即 ； (2) 分式分母不为零：； (3) 零次幂底数不为零：，即 . 综上， 且 且 . 故选：D. 题型03.正比例函数的图象 【典例】下列各点中，在正比例函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断点是否在正比例函数图像上，可将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的纵坐标，若与点的纵坐标相等，则该点在函数图像上，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、 ∵当时，，∴此点不在的图像上． B、∵当时，，∴此点不在的图像上． C、∵当时，，∴此点在的图像上． D、∵当时，，∴此点不在的图像上． 【跟踪专练1】图中直线对应的函数表达式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例图象和性质，采用待定系数法即可求得答案． 【详解】因为直线经过原点，所以设直线对应的函数表达式为． 因为直线经过点，将其代入，得 ， 解得 ． 所以直线对应的函数表达式为． 故答案为： 【跟踪专练2】定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了正比例函数的图象，以及图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键． 根据相关函数的定义求出正比例函数的相关函数为，再分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可． 【详解】解：由题意可得，正比例函数的相关函数为， ∵点在这个函数的相关函数的图象上， 当时，把点代入得，， ∴， 当时，把点代入得，， ∴， ∴或． 故答案为：或． 题型04.用描点法画函数图象 【典例】下列各坐标表示的点中，在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．因此只要把四个点的坐标逐一代入 中，若该点的坐标使得函数左右两边的值相等，则该点必在函数图象上． 【详解】当x=-1时，，显然y既为-2也不为4，所以点(-1,-2)和点（-1,4）都不在函数的图象上； 当x=1时，，所以点(1,2)在的图象上，而点(1,4) 不在函数的图象上； 故选：C 【点睛】本题考查的是会判断点在函数图象上，这是形的方面；从数的方面来看，即验证点的坐标满足函数的解析式，体现了数形结合的思想． 【跟踪专练1】描点法画函数图象的一般步骤： 第一步：______．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步：______．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步：______．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【答案】 列表 描点 连线 【解析】略 【跟踪专练2】在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的分析，正确分析解析式，得出函数图象的情况是解题的关键． 根据，得到当且时，，函数图象在轴下方，当时，，函数图象在轴上方，即可得到答案． 【详解】解：函数， 当且时，，函数图象在轴下方， 当时，，函数图象在轴上方， 小红得到的图象是 故选：A． 题型05.正比例函数的性质 【典例】若点在正比例函数的图象上，则m的值是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，把代入，从而可得答案． 【详解】解：把代入， 得， 故选：C． 【跟踪专练1】水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，一研究小组同学在滴水的水龙头下面放置一个能显示水量的容器，每5记录一次容器中的水量，得到结果如下表： 时间 0 5 10 15 20 …… 水量 0 30 60 90 120 …… 以表中各对的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，并观察它们的分布规律，则可得到关于的函数表达式为___． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的应用．根据表中数据，水量与时间成正比例关系，比例系数为6 ，据此求解即可． 【详解】解：由表格数据可知，时间x每增加5，水量y增加30， 因此每分钟水量增加6，即变化率为6， 当时，，故函数为正比例函数， 表达式为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正比例函数，的图象经过第一、三象限， ，， 的图象比的图象上升得快， ， 的图象经过第二、四象限， ， ． 题型06.一次函数应用:分配方案问题 【典例】已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 【跟踪专练1】随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【答案】D 【分析】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方． 对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确； 对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确； 对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确； 对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和， 将，代入得，解得， ． 当时，，不是元，选项D错误； 综上，错误的说法是D． 【跟踪专练2】某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出，每份说明书收取1元印刷费，另收取元制版费；乙印刷厂提出，每份说明书收取元印刷费，不收取制版费．请选取适当的变量建立函数，给出最节省费用的印刷厂选择方案． 【答案】见解析 【分析】先设定印刷份数为变量，分别写出甲、乙两厂的费用函数；再分三种情况(费用相等、甲费用更低、乙费用更低)列方程或不等式，求解对应的印刷份数范围；最后根据求解结果给出不同情况下的选择方案． 【详解】解：设要印刷的说明书份数为份，甲印刷厂的总费用为元，乙印刷厂的总费用为元． 根据题意，甲印刷厂收取每份1元印刷费和元制版费， ∴； 乙印刷厂仅收取每份元印刷费，无制版费， ∴． 当时，即，解得． 此时甲、乙两印刷厂的费用相同． 当时，即， 解得． 此时选择甲印刷厂的总费用更低，更节省费用． 当时，即， 解得． 此时选择乙印刷厂的总费用更低，更节省费用． 答：当印刷说明书份数为份时，选择甲、乙印刷厂费用相同；当印刷份数大于份时，选择甲印刷厂更节省费用；当印刷份数小于份时，选择乙印刷厂更节省费用． 【跟踪专练3】随着某地区复工复产有序推进，某企业为保障员工健康，计划购买、两种型号的额温枪．经市场调查发现：购买个种额温枪和个种额温枪共需元，购买个种额温枪和个种额温枪共需元． (1)求每个种额温枪和种额温枪各多少元； (2)该企业准备购买、两种型号的额温枪共个，其中购买种额温枪不少于个．请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用． 【答案】(1)每个种额温枪元，每个种额温枪元； (2)最省钱的购买方案为购买种额温枪个，购买种额温枪个，最低费用为元． 【分析】（1）设每个种额温枪元，每个种额温枪元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购买种额温枪个，则购买种额温枪个，总费用为元，根据题意可得关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每个种额温枪元，每个种额温枪元， 根据题意可得， 解得， ∴每个种额温枪元，每个种额温枪元． （2）解：设购买种额温枪个，则购买种额温枪个，总费用为元， 根据题意可得总费用为， ∵购买种额温枪不少于个， ∴， ∵， ∴总费用随的增大而增大， ∴当时，总费用取得最小值， 总费用的最小值为（元）， 此时，（个）， ∴最省钱的购买方案为购买种额温枪个，购买种额温枪个，最低费用为元． 题型07.一次函数应用:最大利润问题 【典例】在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【答案】D 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 【跟踪专练1】某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为(元)， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． 【跟踪专练2】“人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度．小知购进腊梅，百合两种鲜花的进价分别是元/束和元/束；若每束腊梅的售价为元，每束百合的售价为元．结合市场需求，小知决定购进两种鲜花共束，计划购买成本不超过元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的．两种鲜花全部销售完时，应怎样进货才能使得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】当购进腊梅束，百合束时，销售利润最大，销售的最大利润为元． 【分析】设购进腊梅束，则购进百合束，结合题意列出一元一次不等式组求解后可得的取值范围，再设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为元，根据题意得出，结合一次函数的图象与性质即可得解． 【详解】解：设购进腊梅束，则购进百合束， 根据题意得， 解得， 设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为元， 则，即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值（元）， 此时（束）， 故当购进腊梅束，百合束时，销售利润最大，销售的最大利润为元． 【跟踪专练3】某药店购进型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所示： 口罩 普通医用口罩 进价（元/包） 19 7 售价（元/包） 23 10 若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下面问题． (1)求出利润y与x的函数关系式． (2)已知 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构．所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由该药店购进普通医用口罩x包，则购进型口罩包，再根据利润公式列函数关系式即可； （2）先列函数关系式，再求解自变量的取值范围，利用函数的性质根据最大值列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该药店购进普通医用口罩x包，则购进型口罩包， 由题意得，， 即； （2）解：设除去捐款后获得的利润为元， 由题意得，， 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍， ， ， 中，， W随x的增大而减小，即当时，W取最大值11000， ， 解得． 题型08.一次函数应用:行程问题 【典例】如图，在同一直线上，甲、乙两人分别从，两点同时向右出发，甲、乙均为匀速，图2表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，若乙的速度为，则经过，甲自点移动了（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，关键是先根据图象求出两人距离随时间变化的函数表达式，再结合行程关系求出甲移动的距离． 【详解】解：设关于的函数为， 将、代入，得，解得， 函数表达式为． 当时，． 设甲自点移动的距离为，则， 解得， ∴甲自点移动． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是______． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像依次判断即可． 【详解】，汽车在行驶途中停留了小时，结论正确； 总路程，汽车在整个行驶过程的平均速度是，结论正确； 汽车共行驶了，结论错误； 汽车行驶3小时后的速度，出发离出发地，结论正确． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，根据甲、乙两人在一次赛跑中跑完全程的平均速度，得到路程（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系如图所示．根据图像，回答下列问题： (1)甲的速度是__________米/秒； (2)先到达终点的是__________（填“甲”或“乙”）； (3)写出乙的图像的函数解析式及定义域__________． 【答案】(1) (2)甲 (3) 【分析】（1）由甲的速度=甲的路程÷甲的时间，即可求得甲的速度； （2）观察图象，甲用的时间少于乙，则甲先到达终点； （3）由乙的速度=乙的路程÷乙的时间，求得乙的速度，列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：甲的速度为：（米/秒）． （2）解：由图象可知：甲先到达终点． （3）解：乙的速度为：（米/秒）， 乙的图像的函数解析式为． 【跟踪专练3】甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发 s，乙提速前的速度是每秒 ， ， ； (2)当为 时，乙追上了甲； (3)何时乙在甲的前面？ 【答案】(1)15；15；31；45 (2)24 (3)时，乙在甲的前面 【分析】（1）根据图像时，可知：乙比甲晚；由时，可求得提速前速度；根据时间等于路程除以速度可求提速后所用时间，即可得到m值，进而得出n的值； （2）先分别求得段、段对应的函数关系式，根据题意列一元一次方程求解即可； （3）先根据（2）得结论得到和的交点横坐标，再根据函数图像即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，可知乙比甲晚； 当时，；当时，； 故乙提速前的速度是； ∵乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴乙提速后速度为， 故提速后乙行走所用时间为：， ∴， ∵甲的速度是； ∴． （2）解：设段对应的函数关系式为， ∵在上， ∴，解得， ∴y=10x． 设段对应的函数关系式为， ∵在BC上， ∴，解得：， ∴， 由乙追上了甲，得，解得． 答：当x为24秒时，乙追上了甲． （3）解：由（2）可知：当x为24秒时，乙追上了甲，即和的交点横坐标为24， 由函数图像可知：当时乙在甲的前面． 题型09.一次函数应用:梯度计价问题 【典例】某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据计价规则，总费用包括前15分钟的固定费用1.8元和超过15分钟部分按每分钟1.5元计算的费用． 【详解】解：前15分钟收费1.8元，超过部分分钟数为 ，收费为 元， 总费用 ， 故选：C． 【跟踪专练1】为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米元收费；超过6m3时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年九、十月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（m3） 水费（元） 九 4 12 十 10 34 设某户该月用水为，应交水费为（元），写出与之间的关系式________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数应用． 根据九月份用水量与水费的关系可得的值，根据十月分用水量和水费的关系即可求得的值，根据题意写出与之间的关系式即可． 【详解】解：九月份的用水量为，水费为12元，未超过6， 则，解得， 十月份的用水量为，水费为元，超过6 ∴，解得， 设某户该月用水量为，应交水费为， 即 故答案为： ， 【跟踪专练2】按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求和时与的函数解析式； (2)求用电量为180度时的应付费用． 【答案】(1)时；时 (2)142元 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数，即可作答． （2）直接把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设当时，， 把代入，得 解得 ∴； 设当时，， 把，分别代入， 得 解得 ∴； （2）解：依题意，由（1）得时 依题意，当时，(元) 【跟踪专练3】为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，写出用气费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； (3)某户去年一年的用气费是1147元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的用气费为1475元 (3)该户去年一年的用气量为400m3 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，． 所以y与x的函数关系式为； （2）解：当时，． 该户这一年的用气费为1475元； （3）解：第一档的最高费用为（元），第二档的最高费用为（元）， 因为，所以该户的年用气量属于第二档， 所以， 解得：， 答：该户去年一年的用气量为． 题型10.其他实际应用问题 【典例】小明点燃一支长为25厘米的蜡烛，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度（厘米）与燃烧时间（时）的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出函数关系式，结合实际意义确定自变量的取值范围，进而判断图象形状及位置． 【详解】解：蜡烛原长25厘米，每小时燃烧5厘米， 剩下的高度与燃烧时间的函数关系式为， 且 ，解得， 自变量的取值范围是， 该函数图象是一条线段，端点分别为和， 观察选项，只有D选项符合． 【跟踪专练1】为保障古籍修复工作，实验室使用除湿机控制空气湿度．实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）成一次函数关系．某日除湿机开机后连续工作2小时，实验室湿度为；连续工作5小时，湿度降至．根据古籍保护标准，实验室湿度不得低于，否则纸张易脆裂，则该日这台除湿机开机后最多可连续工作________小时． 【答案】8 【分析】利用待定系数法求出 实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）之间的函数关系式为，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：设实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）之间的函数关系式为， 根据题意得该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）之间的函数关系式为， ∵， ∴随x的增大而减小， ∵实验室湿度不得低于， ∴， 当时，x取得最大值， 此时， 解得：， 即该日这台除湿机开机后最多可连续工作8小时． 【跟踪专练2】曹冲生五六岁，智意所及，有若成人之智．时孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”太祖悦，即施行焉．译文：曹冲年龄五六岁的时候，知识和判断能力如一个成年人，有一次，孙权送来了一头巨象，曹操想知道这象的重量，询问他的属下这件事，但他们都不能说出称象的办法．曹冲说：“把象放到大船上，在水面所达到的地方做上记号，再让船装载其他东西，称一下这些东西，那么比较下就能知道了．”曹操听了很高兴，马上照这个办法做了．现有一艘大船的吃水深度与船上重物（吨）之间的关系如表所示： （吨） 0 0.5 1 2 3 4 …      a 20.2 20.4 20.8 21.2 21.6 … (1)_____； (2)求出船的吃水深度与船上重物（吨）之间的函数关系式； (3)大象装上船后该船的吃水深度为23.4cm，求大象重多少吨． 【答案】(1)20 (2) (3)8.5吨 【分析】本题考查一次函数的实际问题； （1）根据表格数据得到变化情况求出a的值解答即可； （2）利用待定系数法求出一次函数的解析式； （3）令，解关于x的方程解答即可． 【详解】（1）解：根据表格可知船上重物每增加吨，吃水深度增加厘米， ∴， 故答案为：； （2） 解：设大船的吃水深度(厘米)与船上重物(吨)之间的函数关系式为 ， 根据表格数据,选取点和代入,得： ，解得： ， ∴大船的吃水深度(厘米)与船上重物(吨)之间的函数关系式为； （3）解:当时， ， 解得， 答：大象重8.5吨． 【跟踪专练3】某实践小组为了研究某种均匀材质的香烛（总长）的燃烧变化情况．点燃香烛后，每隔分钟测量一次香烛剩余长度，获得数据如表： 燃烧时间（分钟） 0 2 4 6 8 剩余长度（观察值） 20.0 19.0 18.5 17.0 16.5 在平面直角坐标系中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是可以用一次函数近似地刻画剩余长度与燃烧时间的关系． (1)利用，；，这两组数据，求剩余长度与燃烧时间的函数解析式； 经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求________，此时它与时观察值的偏差值若记为（即时的函数值与观察值之差），则________． (2)小组决定优化一次函数解析式，减少偏差（提示：衡量偏差的统计量记为，当取不同值时，所有的平方和为，其中越小，偏差越小）． 结合表格数据，利用（1）得到的函数解析式计算的值； 请确定优化后经过点的一次函数解析式，使得偏差最小． 【答案】(1)；， (2)； 【分析】（1）设出一次函数解析式，把所给的两组数值代入可得和的值；把代入中得到的函数解析式可得的值，减去当时的观察值可得的值； （2）求出当时和当时对应的值，列式计算即可；设优化后的函数解析式为，分别计算出取不同的值时，相应的的值，进而表示出的值，然后根据非负性确定最小值求解即可． 【详解】（1）解：设， 将，；，代入得， ，解得， ； 当时，， 观察值为， ； （2）解：当时，， 当时，， ； 设优化后的函数解析式为， ， ， ， 当时，的最小值为， ． 题型11.一次函数与几何综合 【典例】如图，三角形位于第二象限，已知，，其中点A的坐标为，点C的坐标为．若直线经过点且与三角形有交点，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了一次函数的图象和性质，需要根据三角形的性质和直线的条件，确定b的取值范围．首先，利用等腰直角三角形的性质和点的坐标确定点B的坐标．然后，根据直线经过点的条件，推导出b与k的关系．最后结合图象分析直线与三角形各边相交的情况，确定b的取值范围． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵直线经过点， 将点代入直线，得到， 根据题意结合图象可知，直线绕点旋转且与三角形有交点， 那么当直线经过点时，b的取值最小，当直线经过点时，b的取值最大， 将点代入得，解得：，则， 将点代入得，解得：，则， 故直线与三角形有交点时，的取值范围为， 故选：A． 【跟踪专练1】如图1，直角坐标系中点、、、，过点的直线，与四边形交于点，（点和点可以重合）．以的值为点的横坐标，线段的长度为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2．则函数的最大值是______，函数的图象与横轴两交点之间的距离为______． 【答案】 4 【分析】根据题意得出当直线和x轴重合时，线段的长度最大，然后求解即可； 根据题意得出函数m与横轴两个交点坐标的纵坐标为0，再结合图1得出当直线经过点B和点D时的k值，据此可解决问题． 【详解】解：根据题意得，当直线和x轴重合时，点P和点C重合，点A和点Q重合， ∴此时线段的长度最大，为； 当过点的直线经过点B时，， 解得， 则此时的函数解析式为， 同理可得，当直线经过点D时的解析式为， ∴函数m经过点和， ∴函数m的图象与横轴两交点之间的距离为：． 【跟踪专练2】已知一次函数，， (1)，时，设的图象交于点，的图象与、轴分别交于点、，的图象与、轴分别交于点、，求的面积． (2)若无论取何值，始终有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先求出函数解析式，得到，求出，得到； （2）根据题意得到两条直线平行且在的上方，得出，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时， ， ， 解得， 将代入得， ； 关于，令，则， 解得， 令，则，； 关于，令，则， 解得， ， ， 如图： ； （2）解：无论取何值，始终有， ∴两条直线平行且在的上方， ，， 解得且． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点D为y轴负半轴上一点，连接、，，． (1)如图1，求点D的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接、，设的面积为S，求用含t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在第一象限，轴于点E，连接交y轴于点G，，连接，使得，点H在第四象限，于点G，，连接交x轴于点I，若平分，，求点I的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明出，得到，即可得到； （2）首先表示出，然后利用三角形面积公式求解； （3）如图所示，过点F作轴于点Q，过点F作交的延长线于点P，过点H作轴于点M，设，证明出，得到，然后推出，证明出，得到，，推出，求出，得到，证明出，得到，，求出，然后求出，求出所在直线表达式为，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∴； （3）解：如图所示，过点F作轴于点Q，过点F作交的延长线于点P，过点H作轴于点M， ∵平分， ∴设 ∵轴， ∴ ∵轴 ∴轴 ∴ ∵ ∴ ∵轴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵平分，轴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵于点G，， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 设所在直线表达式为 将，代入得， 解得 ∴所在直线表达式为 当时， 解得 ∴． 【解答题】 1．已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式； (2)当自变量满足：，求对应函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，求正比例函数值，正比例函数的增减性： （1）一般地，形如（k是常数，且）的函数叫做正比例函数， （2）根据（1）所求，先求出、时，对应的函数值，再根据解析式可得y随x的增大而减小，即可得出函数值的取值范围． 【详解】（1）解：∵，且是关于的正比例函数， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中， 当时，， 当时，， ∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，． 2．A、B两地间的路程为，一辆汽车从A地出发以的速度匀速驶向B地． (1)写出行驶路程与行驶时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)画出这个函数的图象； (3)行驶时离B地还有多少路程？ 【答案】(1)，自变量t的取值范围是： (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用速度时间路程，得出等式即可，进而求出自变量取值范围； （2）利用正比例函数图象画法得出答案． （3）根据离B地的距离求得即可． 【详解】（1）解：∵A、B两地间的路程为，某汽车行驶的速度为， ∴自变量t的取值范围是：，即， ∴s与t之间的函数关系式为：，自变量t的取值范围是：； （2）解：由（1）得：s与t之间是正比例函数关系，且过点， 画出这个函数的图象，如图所示： （3）解：行驶时离B地的距离为． 3．跨学科综合：正比例函数图像上任意不同的两点，记： (1)当，时，__________ (2)求证： (3)我们知道物体质量与它的体积之间，有关系式其中为该物体密度，当该物体体积增加时，该物体的质量增加，求该物体的密度． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）把代入求解即可，根据代入坐标求解即可； （2）根据点的坐标与解析式的关系，结合定义求解即可； （3）仿照（2）的解答求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； 根据得； （2）证明：因为正比例函数图像上任意不同的两点， 所以， 所以， 所以， 由， 故； （3）解：根据题意，得，结合（2）的结论得， 由时， 故该物体的密度为． 4．如下图，在平面直角坐标系中，用描点法分别画出函数与的图象． (1)完成下列表格． … … … … … … (2)画出函数图象． 【答案】(1)列表见解析 (2)函数图像见解析 【分析】本题考查了描点法画函数图象，根据题意正确画出函数图象是解题的关键． （1）列表找出点的坐标即可； （2）利用描点法画函数图象即可． 【详解】（1）解：列表如下： … 1 2 3 … … 4 3 2 0 … … 1 2 … （2）解：画出函数图象如图． 5．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，某研究团队测得一定温度下声音的传播速度（）与温度（）部分对应数值如表：研究发现：是的一次函数． 温度（） 声音传播的速度（） (1)观察表中的数据，可以发现：声音传播的速度随温度的增高而______； (2)直接写出符合要求的函数表达式：________； (3)当温度为时，声音的传播速度是_______． 【答案】(1)增大 (2) (3) 【分析】（1）观察表格中温度和传播速度的变化趋势，即可得到结论； （2）利用待定系数法，选取表格中两组对应坐标，求解得到一次函数的解析式； （3）将给定温度代入解析式，计算得到对应传播速度即可． 【详解】（1）解：观察表格数据可得，温度升高时，声音传播速度随之变大， 因此声音传播的速度随温度的增高而增大． （2）解：设该一次函数为， 从表格中选取两组对应值：当时， ；当时，， 将两组值代入函数式得 ， 解得 ， 因此符合要求的函数表达式为． （3）解：将代入 ， 得 ， 因此声音的传播速度是． 6．水务公司对居民用水实行阶梯式收费，年用水量在108吨以内（含108吨）每吨收费元，超过108吨而不超过180吨的部分每吨收费元．如果用x（单位：吨，）表示一户居民年用水量，y（单位元）表示缴纳水费的金额． (1)请你写出缴纳水费金额y关于年用水量x的函数解析式； (2)小红家去年的用水量x是122，请你求出她家去年共缴水费y为多少？ (3)小明家去年的用水量满足，共缴水费元，请你算出他家去年用水多少吨？ 【答案】(1) (2)小红家去年共缴水费394.3元 (3)小明家去年用水150吨 【分析】（1）根据年用水量在108吨以内（含108吨）每吨收费3.1元，超过108吨而不超过180吨的部分每吨收费4.25元，可以得到y与x的函数关系式； （2）把代入计算即可； （3）把代入计算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时， 答：小红家去年共缴水费394.3元； （3）解：当时， 解得： 答：小明家去年用水150吨． 7．为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的燃气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解： 由表格可知，当时，． （2）解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． （3）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $