《8.1 平方根》教学设计 2025--2026学年人教版七年级数学下册
人教版七年级下册数学《8.1 平方根》教案设计
课时 | 课题 | 核心内容 |
第 1 课时 | 平方根的概念与求法 | 平方根的定义、表示方法、性质；求非负数的平方根 |
第 2 课时 | 算术平方根的概念与估算 | 算术平方根的定义、性质；用夹逼法估算算术平方根，认识√2 的无限不循环性 |
第 3 课时 | 平方根的应用与拓展 | 用计算器求算术平方根；平方根的实际应用；规律探究与综合练习 |
本节课是人教版七年级下册《实数》章节的开篇内容，是在学生掌握有理数乘方运算的基础上，引入开方运算，实现 “乘方” 与 “开方” 的互逆关系构建，为后续算术平方根、立方根及实数的学习奠定核心概念基础，是数系扩充的关键节点。
1.数学抽象：通过具体实例抽象出平方根的定义，理解平方与开平方的互逆关系。
2.逻辑推理：通过分析正数、0、负数的平方情况，推导平方根的性质，培养分类讨论的推理能力。
3.数学运算：能根据平方根的定义求非负数的平方根，规范书写平方根的表示形式。
4.数学建模：能用平方根的概念解决简单的实际问题，体会数学与现实的联系。
重点：平方根的概念、表示方法及性质。
难点：理解负数没有平方根，以及平方根与平方的互逆关系。
1.问题 1：我们已经学过有理数的平方运算，比如：
？ 
？ 
？ 
？
2.问题 2：反过来，如果已知一个数的平方等于 9，这个数是多少？等于 0.25 呢？
3.引出课题：这就是我们今天要研究的 “平方根” 问题，从乘方的逆运算开启本节课的学习。
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1.平方根的定义
引导学生阅读教材，结合问题 2，归纳定义：一般地，如果一个数
的平方等于
，即
，那么这个数叫做的平方根（也叫二次方根）。
举例说明：因为
，
，所以
和
是
的平方根，记作
是的平方根。
2.开平方运算的概念
结合教材图 8.1-1，说明：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。
3.平方根的性质探究
思考问题：正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？
学生分组讨论，教师引导总结：
i.正数有两个平方根，它们互为相反数；
ii.0 的平方根是 0；
iii.负数没有平方根。
平方根的表示：正数的平方根记作
，读作 “正负根号”，其中叫做被开方数，且
（被开方数非负）。
例 1 求下列各数的平方根：
（1）
；（2）
；（3）
解：（1）
，
的平方根是
；
（2）
，
的平方根是
；
（3）
，
的平方根是
。
例 2 下列各数有没有平方根？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由：
（1）
；（2）
；（3）
解：（1）是正数，有两个平方根，
；
（2）是负数，没有平方根；
（3）
，
是正数，有两个平方根，
。
易错点强调：表示平方根时要带 “
”，被开方数必须是非负数。
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1.判断题（教材练习 1）：
（1）
的平方根是；（×，应为
）
（2）
的平方根是；（×，负数无平方根）
（3）
是
的一个平方根；（√）
（4）
的平方根是。（√）
2.求下列各数的平方根：
（1）
；（2）
；（3）
解：（1）
；（2）
；（3）
小结：本节课学习了平方根的定义、性质、表示方法，以及开平方与平方的互逆关系。
作业：
a.教材习题 8.1 第 1 题（1）（2）（3）；
b.求下列各式中的值：
（1）
；（2）
；（3）
本节课在平方根的基础上，聚焦正数的正平方根 —— 算术平方根，是后续学习根式运算、二次根式的核心基础。同时通过对
的估算，引入无限不循环小数的概念，为实数的定义做铺垫，兼具概念深化与数系扩充的双重作用。
1.数学抽象：从平方根中抽象出算术平方根的定义，理解其非负性。
2.逻辑推理：通过夹逼法估算的大小，培养逻辑推理与估算能力。
3.直观想象：通过拼接正方形的操作，直观理解的几何意义，建立数与形的联系。
4.数学运算：能求非负数的算术平方根，理解被开方数与算术平方根的变化规律。
重点：算术平方根的定义、表示方法及求法。
难点：理解算术平方根的非负性，以及用夹逼法估算算术平方根的大小。
1.提问：正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数呢？
2.问题：正数的两个平方根中，我们更常研究哪一个？引出算术平方根的概念。
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