《8.1 平方根》教学设计 2025--2026学年人教版七年级数学下册

人教版七年级下册数学《8.1 平方根》教案设计 一、课时划分与整体说明 课时安排（共 3 课时，符合教材逻辑与学生认知梯度） 课时 课题 核心内容 第 1 课时 平方根的概念与求法 平方根的定义、表示方法、性质；求非负数的平方根 第 2 课时 算术平方根的概念与估算 算术平方根的定义、性质；用夹逼法估算算术平方根，认识√2 的无限不循环性 第 3 课时 平方根的应用与拓展 用计算器求算术平方根；平方根的实际应用；规律探究与综合练习 第 1 课时：平方根的概念与求法 【教材分析】 本节课是人教版七年级下册《实数》章节的开篇内容，是在学生掌握有理数乘方运算的基础上，引入开方运算，实现 “乘方” 与 “开方” 的互逆关系构建，为后续算术平方根、立方根及实数的学习奠定核心概念基础，是数系扩充的关键节点。 【素养目标】 1.数学抽象：通过具体实例抽象出平方根的定义，理解平方与开平方的互逆关系。 2.逻辑推理：通过分析正数、0、负数的平方情况，推导平方根的性质，培养分类讨论的推理能力。 3.数学运算：能根据平方根的定义求非负数的平方根，规范书写平方根的表示形式。 4.数学建模：能用平方根的概念解决简单的实际问题，体会数学与现实的联系。 【教学重难点】 重点：平方根的概念、表示方法及性质。 难点：理解负数没有平方根，以及平方根与平方的互逆关系。 【教学过程】 环节 1：情境导入，激活旧知（5 分钟） 1.问题 1：我们已经学过有理数的平方运算，比如：？ ？ ？ ？ 2.问题 2：反过来，如果已知一个数的平方等于 9，这个数是多少？等于 0.25 呢？ 3.引出课题：这就是我们今天要研究的 “平方根” 问题，从乘方的逆运算开启本节课的学习。 环节 2：探究新知，构建概念（15 分钟） 1.平方根的定义 引导学生阅读教材，结合问题 2，归纳定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根（也叫二次方根）。 举例说明：因为，，所以和是的平方根，记作是的平方根。 2.开平方运算的概念 结合教材图 8.1-1，说明：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 3.平方根的性质探究 思考问题：正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？ 学生分组讨论，教师引导总结： i.正数有两个平方根，它们互为相反数； ii.0 的平方根是 0； iii.负数没有平方根。 平方根的表示：正数的平方根记作，读作 “正负根号”，其中叫做被开方数，且（被开方数非负）。 环节 3：典例精讲，巩固应用（12 分钟） 例 1 求下列各数的平方根： （1）；（2）；（3） 解：（1），的平方根是； （2），的平方根是； （3），的平方根是。 例 2 下列各数有没有平方根？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由： （1）；（2）；（3） 解：（1）是正数，有两个平方根，； （2）是负数，没有平方根； （3），是正数，有两个平方根，。 易错点强调：表示平方根时要带 “”，被开方数必须是非负数。 环节 4：课堂练习，即时反馈（8 分钟） 1.判断题（教材练习 1）： （1）的平方根是；（×，应为） （2）的平方根是；（×，负数无平方根） （3）是的一个平方根；（√） （4）的平方根是。（√） 2.求下列各数的平方根： （1）；（2）；（3） 解：（1）；（2）；（3） 环节 5：课堂小结，作业布置（5 分钟） 小结：本节课学习了平方根的定义、性质、表示方法，以及开平方与平方的互逆关系。 作业： a.教材习题 8.1 第 1 题（1）（2）（3）； b.求下列各式中的值： （1）；（2）；（3） 第 2 课时：算术平方根的概念与估算 【教材分析】 本节课在平方根的基础上，聚焦正数的正平方根 —— 算术平方根，是后续学习根式运算、二次根式的核心基础。同时通过对的估算，引入无限不循环小数的概念，为实数的定义做铺垫，兼具概念深化与数系扩充的双重作用。 【素养目标】 1.数学抽象：从平方根中抽象出算术平方根的定义，理解其非负性。 2.逻辑推理：通过夹逼法估算的大小，培养逻辑推理与估算能力。 3.直观想象：通过拼接正方形的操作，直观理解的几何意义，建立数与形的联系。 4.数学运算：能求非负数的算术平方根，理解被开方数与算术平方根的变化规律。 【教学重难点】 重点：算术平方根的定义、表示方法及求法。 难点：理解算术平方根的非负性，以及用夹逼法估算算术平方根的大小。 【教学过程】 环节 1：复习回顾，导入新课（5 分钟） 1.提问：正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数呢？ 2.问题：正数的两个平方根中，我们更常研究哪一个？引出算术平方根的概念。 环节 2：探究新知，构建概念（15 分钟） 1.算术平方根的定义 归纳：正数的正的平方根，叫做的算术平方根，记作，读作 “根号”；规定：的算术平方根是，即。 强调：算术平方根的双重非负性：①被开方数；②算术平方根。 2.算术平方根与平方根的关系 正数的平方根是，其中正的平方根就是它的算术平方根。 3.几何意义探究 操作活动：用两个面积为的小正方形，拼成一个面积为的大正方形，大正方形的边长是多少？ 引导学生设边长为，则，由实际意义可知，体会的几何意义。 环节 3：典例精讲，估算探究（15 分钟） 例 3 求下列各数的算术平方根： （1）；（2）；（3） 解：（1），； （2），； （3），。 探究：估算的大小 a.由，，得； b.由，，得； c.由，，得； d.引导学生发现：这样一直算下去，的小数位数无限，且不循环，引出无限不循环小数的概念。 规律总结：被开方数越大，对应的算术平方根也越大（对所有正数成立）。 环节 4：课堂练习，即时反馈（7 分钟） 1.求下列各数的算术平方根： （1）；（2）；（3） 解：（1）；（2）；（3） 2.估算介于哪两个相邻的整数之间？（） 环节 5：课堂小结，作业布置（3 分钟） 小结：本节课学习了算术平方根的定义、表示方法、双重非负性，以及用夹逼法估算算术平方根的大小，认识了无限不循环小数。 作业： a.教材习题 8.1 第 2 题（1）（2）（3）； b.估算的大小（保留两位小数）。 第 3 课时：平方根的应用与拓展 【教材分析】 本节课是平方根知识的综合应用，涵盖计算器求算术平方根、规律探究、实际问题解决，是对前两课时知识的巩固与拓展，为后续二次根式的运算和实数的学习奠定应用基础，同时培养学生的应用意识与探究能力。 【素养目标】 1.数学运算：能用计算器求算术平方根的近似值，掌握平方根相关的运算技巧。 2.数学建模：能用平方根的知识解决实际问题（如面积、行程问题），体会数学的实用性。 3.逻辑推理：通过探究被开方数与算术平方根的变化规律，培养归纳推理能力。 4.应用意识：能运用平方根的知识解决实际问题，提升数学应用能力。 【教学重难点】 重点：用计算器求算术平方根，平方根的实际应用。 难点：探究被开方数与算术平方根的变化规律，以及实际问题中的建模过程。 【教学过程】 环节 1：复习回顾，导入新课（5 分钟） 1.提问：算术平方根的定义是什么？它有什么性质？ 2.问题：当被开方数较大或不是完全平方数时，如何快速求出它的算术平方根？引出计算器的使用。 环节 2：探究新知，掌握工具（10 分钟） 1.用计算器求算术平方根 教师演示计算器的操作：以教材例 4 为例，求和（保留三位小数），讲解按键顺序，强调不同计算器的按键差异。 学生分组操作，练习用计算器求、、（保留三位小数）。 2.规律探究 探究：用计算器计算下表中的算术平方根，观察被开方数的小数点移动与算术平方根的小数点移动的关系： 被开方数 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 算术平方根 0.25 ≈0.791 2.5 ≈7.91 25 ≈79.1 250 归纳规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，算术平方根的小数点就向右（或向左）移动一位。 环节 3：典例精讲，实际应用（15 分钟） 例 5 小丽想用一块面积为的正方形纸片，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为，她能裁出来吗？ 解：设长方形的长为，宽为，则，即，，由实际意义得，则长为。 因为，所以，，而正方形的边长为，，所以不能裁出。 补充例题：排球比赛场地的长是宽的 2 倍，面积为，求它的长与宽。 解：设宽为，则长为，，，，（实际意义取正），所以宽为，长为。 环节 4：课堂练习，综合提升（10 分钟） 1.用计算器求下列各式的值： （1）；（2）；（3）（保留三位小数） 解：（1）31；（2）9.8；（3）≈20.075 2.长方形画纸的面积为，长与宽的比为，王芳想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？ 解：设长为，宽为，，，，，则宽为，圆的直径为，，所以不可行。 环节 5：课堂小结，作业布置（5 分钟） 小结：本节课学习了用计算器求算术平方根的方法，探究了被开方数与算术平方根的变化规律，并用平方根的知识解决了实际问题。 作业： a.教材习题 8.1 第 6、7、8 题； b.选做题：探究题 10、11 题。 作业参考答案（全课时汇总） 第 1 课时作业 1.教材习题 8.1 第 1 题： （1）；（2）（即）；（3） 2.求的值： （1）；（2）；（3）或 第 2 课时作业 1.教材习题 8.1 第 2 题： （1）；（2）；（3） 2.估算 第 3 课时作业 1.教材习题 8.1 第 6 题： （1）；（2）；（3）或 2.第 7 题：正方形边长为分米 3.第 8 题：代入，秒 4.第 9 题：边长变为原来的 2 倍、3 倍、倍 5.第 10 题：（1）；（2） 6.第 11 题：对正数不断开平方，结果会逐渐趋近于 1 学科网（北京）股份有限公司 $