8.2 立方根 教学设计2025-2026学年人教版七年级数学下册

七年级数学下册《8.2 立方根》教案设计 一、教材分析 本节课选自人教版七年级下册《实数》单元，是在学生学习平方根概念与运算基础上，研究立方的逆运算 —— 立方根。它既是对开方运算体系的补充，也为后续学习无理数、实数及二次根式运算奠定基础，同时通过类比平方根的学习方法，渗透转化、归纳、类比的数学思想，培养学生的数感与运算能力。 二、素养目标 1.数学抽象：通过类比平方根的定义，抽象出立方根的概念，理解立方根的表示方法与被开方数、根指数的意义。 2.逻辑推理：通过探究正数、负数、0 的立方根的特征，归纳立方根的性质，理解互为相反数的数的立方根的关系。 3.数学运算：掌握求一个数的立方根的方法，能熟练计算有理数的立方根，会用计算器求立方根的近似值，解决实际问题。 4.数学建模：通过魔方棱长、铁块熔铸等实际问题，建立立方根的数学模型，体会数学与生活的联系。 三、教学重难点 教学重点：立方根的概念、性质及求法。 教学难点：立方根与平方根的区别，理解负数的立方根的存在性，以及被开方数的小数点移动规律。 四、教学准备 多媒体课件、计算器、魔方实物、长方体铁块教具（或示意图）。 五、教学过程 （一）情境导入，类比迁移（5 分钟） 1.回顾平方根知识：提问 “如果一个数的平方等于 8，这个数是多少？”，引导学生回忆平方根的定义与性质。 2.提出新问题：“如果一个数的立方等于 8，这个数是多少？” 学生思考后回答：因为，所以这个数是 2，且只有 2。 3.引入课题：今天我们就来研究立方的逆运算 —— 立方根。（板书课题） （二）探究新知，构建概念（15 分钟） 1. 立方根的定义 类比平方根的定义，引导学生归纳立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根（也叫三次方根）。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 表示方法：数的立方根记作，读作 “三次根号”，其中是被开方数，3 是根指数，且根指数 3 不能省略。 强调：开立方与立方互为逆运算，我们可以利用这种互逆关系求立方根。 2. 立方根的性质探究 完成教材 “探究” 填空，引导学生归纳： 因为，所以 1 的立方根是； 因为，所以 0.064 的立方根是； 因为，所以 - 8 的立方根是； 因为，所以的立方根是； 因为，所以 0 的立方根是。 归纳性质： 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0 的立方根是 0。 对比思考：立方根与平方根有什么不同？ 平方根：正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根； 立方根：任何数（正数、负数、0）都有且只有一个立方根。 3. 互为相反数的立方根的关系 探究：计算与，与，你发现了什么规律？ 学生计算后发现：，，归纳得： （为任意实数） （三）例题精讲，巩固方法（10 分钟） 例 1 求下列各数的立方根 （1）；（2）343；（3）-64；（4） 解： （1）因为，所以的立方根是 - 2，即； （2）因为，所以 343 的立方根是 7，即； （3）因为，所以 - 64 的立方根是 - 4，即； （4）因为，所以的立方根是，即。 例 2 求下列各式的值 （1）；（2）；（3） 解： （1）； （2）； （3）。 补充：用计算器求立方根 介绍计算器求立方根的方法，以和为例，说明按键步骤，强调部分计算器需调用备用功能键。 （四）探究规律，拓展提升（5 分钟） 探究：用计算器计算，，，，你能发现什么规律？ 引导学生观察被开方数与立方根的小数点移动规律： 被开方数的小数点每向右（或向左）移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动 1 位。 应用规律：求，，的近似值（已知）。 （五）课堂练习，即时反馈（7 分钟） 1.判断题 （1）-3 是 - 27 的立方根；（√） （2）±3 是 27 的立方根；（×） （3）的立方根是 - 1；（√） （4）的立方根是 - 2。（×） 求下列各数的立方根 （1）-1；（2）0.008；（3） 答案：（1）-1；（2）0.2；（3） 魔方问题：体积为的正方体魔方，棱长是多少？ 解：设棱长为，则，解得，答：棱长为 6cm。 （六）课堂小结，梳理知识（3 分钟） 师生共同梳理本节课知识： 1.立方根的定义与表示方法； 2.立方根的性质（正数、负数、0 的立方根）； 3.立方根与平方根的区别； 4.互为相反数的立方根的关系； 5.被开方数与立方根的小数点移动规律。 （七）布置作业，分层落实 基础题（全体必做） 1.教材习题 8.2 第 1、2、4 题 2.求下列各式的值： （1）；（2）；（3） 答案：（1）-0.5；（2）-9；（3） 提升题（选做） 1.比较大小：（1）与 2；（2）与 2.5；（3）与 2.长方体铁块熔铸问题：长 21dm、宽 20dm、高 19dm 的长方体铁块，熔铸成正方体铁块，求正方体的棱长（结果保留两位小数）。 答案： 3.（1）；（2）；（3） 4.体积，棱长 六、板书设计 8.2 立方根 1. 定义：若\(x^3=a\)，则\(x=\sqrt[3]{a}\)（根指数3不能省略） 2. 性质： 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 0的立方根是0 3. 规律：被开方数小数点移3位，立方根移1位 教材习题参考答案 教材 P49-51 习题 8.2 1.求下列各式的值： （1）；（2）；（3） 2.用计算器求立方根（保留三位小数）： （1）；（2）；（3） 3.比较大小： （1）；（2）；（3） 4.求的值： （1），解得； （2），，解得； （3），解得， 5.长方体铁块熔铸：体积，棱长 6.圆柱形升降车桩：，，则，， 7.正方体体积扩大倍数：体积扩大 8 倍，棱长变为原来的 2 倍；扩大 27 倍，棱长变为原来的 3 倍；扩大倍，棱长变为原来的倍。 8.（1），，，，；对于任意数，。 （2），，，，；对于任意数，。 多次开立方的发现：任意正数（或负数）多次开立方后，结果会逐渐趋近于 1（或 - 1）；0 多次开立方仍为 0。 学科网（北京）股份有限公司 $