精品解析：广东省 东莞市厚街福民学校等2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟测试数学试卷

2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟测试数学试卷 满分120分，考试用时120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是圆锥的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：圆锥的侧面展开图是一个扇形，只有D是扇形． 2. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题将所求分式拆分变形后，代入已知比例即可计算结果，用到分式的基本运算性质． 【详解】解：∵． 又∵． ∴． 4. 某志愿者服务站有甲、乙两个志愿者小队，甲小队有志愿者人，乙小队有志愿者人．现需从乙小队调配若干名志愿者到甲小队，使调整后的甲小队人数恰好是乙小队人数的倍．设从乙小队调配名志愿者到甲小队，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设从乙小队调配名志愿者到甲小队，先表示出调配后甲、乙小队的人数，再根据“调整后甲小队人数是乙小队人数的倍”这一等量关系列出方程，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：∵从乙小队调配名志愿者到甲小队， ∴调配后甲小队人数为人，乙小队人数为人， 又∵调整后的甲小队人数恰好是乙小队人数的倍， ∴可列方程为：， 故选：． 5. 如图，，，分别为边，，的中点，连接，，，若的面积为8，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点D、E分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴， 同理，，， ∴的面积． 6. 如图，在中，对角线与相交于点O，E是延长线上的一点，连接交于点F．已知，，，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．取的中点H，连接，则，由平行四边形的性质得，，则，，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，，， ∴，，， ∴，， ∵点E在的延长线上，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 7. 一名射击运动员连续射靶8次，命中的环数如下：8，9，，9，8，7，，8．这名运动员射击环数的众数与中位数分别是（　　） A. 9环与8环 B. 8环与环 C. 环与9环 D. 8环与9环 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数，掌握中位数和众数的定义是关键．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】解：将这组数据从小到大的顺序排列7，8，8，8，9，9，，， 处于中间位置的那个数是8和9，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是， 在这一组数据中8是出现次数最多的，故众数是8． 故选：B． 8. 关于的二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．确定该函数图像与轴交于正半轴，开口向上，顶点坐标在第四象限，即可获得答案． 【详解】解：对于函数， 当时，可得， ∵， ∴，即该函数图像与轴交于正半轴， ∵， ∴该函数图像的顶点坐标为， 又∵， ∴该函数图像的开口向上，顶点坐标在第四象限， ∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 9. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点、的坐标，再利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令，则；令，则，解得：； ，， ，， 在中，， ． 10. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形及线段旋转的性质，得到；通过作，结合等腰三角形性质得，再通过角的互余关系推得，用证明，得出；设，则，在中用勾股定理求得，最后根据余弦定义算出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵线段绕点旋转得到， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 在中，，且， ∴， ∵，即， 在中，， ∴， ∴ ， 在和中： ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理： 在中，根据余弦的定义：， ∵，， ∴． 二、填空题（本大题共5小体，每小题3分，共15分） 11. 若，为实数，且，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 12. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最大值时点的位置是解题的关键． 作点关于点的对称点根据中位线的性质得到，根据点在以为圆心，为半径的上运动，可知当经过圆心时，最大，即点在图中位置，根据勾股定理求出，进而可求出，即，设点的横坐标为，根据中位线的性质可知点的纵坐标为，再根据勾股定理即可求出的值，随即可知点的坐标． 【详解】解：如图，作点关于点的对称点， 则点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ，， 当最大时，最大， 点为坐标平面内的一点，且， 点在以为圆心，为半径的上运动， 当经过圆心时，最大，即点在图中位置， ， ， ， 设点的横坐标为， ∵，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得（负值去除），即点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=，则k=______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接OD、DE，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE= S△ABE=，以及S△ADE=S△ADO=，再利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：连接OD、DE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点B、点D到对角线AC的距离相等， ∴S△ADE= S△ABE=， ∵AD⊥x轴， ∴AD∥OE， ∴S△ADE=S△ADO=， 设点D(x，y) ， ∴S△ADO=OA×AD=xy=， ∴k=xy=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是反比例系数k的几何意义，涉及到平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点等相关知识，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE= S△ABE是解题的关键． 15. 如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 17. 如题图，是的直径，点C为上一点，平分交于点D，连接．若，，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，则，由角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等得到，解直角三角形求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 18. 小丽同学用测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，） 【答案】树的高度为米 【解析】 【分析】由正切函数得，再由即可求解． 【详解】解：由题意，得，， ，， 在中，， ， ． 答：树的高度为米． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元． （1）A，B两种花的单价各为多少元？ （2）学校若购买A，B两种花共1000盆，设购买的B种花m盆，总费用为元，请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少，并求出最少费用为多少元？ 【答案】（1）A种花的单价为4元，B种花的单价为5元； （2）当购买A种花500盆，B种花500盆时总花费最少，最少费用为4500元． 【解析】 【分析】（1）设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元，依题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据（1）的结论，由单价乘以数量得到总价，即可列出关系式；根据自变量的范围结合一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元， 依题意得， 解得：， 答：A种花的单价为4元，B种花的单价为5元； 【小问2详解】 解：由题意可得，， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， 此时，， 即当购买A种花500盆，B种花500盆时总花费最少，最少费用为4500元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组以及函数关系式是解题的关键． 20. 为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：时）划分为A：，B：，C：；D：四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）在扇形统计图中，B组所在扇形圆心角的度数为______°，并将条形统计图补充完整； （3）已知该校有1300名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有______人？ （4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）100；42 （2）；条形统计图补充完整为： （3）910 （4） 【解析】 【分析】（1）用D组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用调查的总人数乘以C组人数所占的百分比得到m的值； （2）用乘以B组人数所占的百分比得到B组所在扇形圆心角的度数，再计算出B组人数，然后补全条形统计图； （3）用1300乘以样本中C组和D组的人数所占百分比的和即可； （4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的总人数为（人）， 所以； 【小问2详解】 解：B组所在扇形圆心角的度数为； B组人数为（人）， 条形统计图略 【小问3详解】 解：（人）， 所以估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有910人； 【小问4详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A坐标为，点B的坐标为 （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）观察图象直接写出 时x的取值范围是 ； （3）点D是y轴上一点，连接，当的面积是面积的2倍时，请直接写出点D的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，反比例函数与一次函数图像与性质，反比例函数与一次函数交点问题． （1）利用待定系数法求两函数的解析式； （2）根据一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的取值即可得到答案； （3）先求出点C的坐标是，得到，设点D的坐标是，则，根据的面积是面积的2得到求出t的值即可． 【小问1详解】 解：点坐标为， 把点的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是； 把点的坐标为代入得： ， 解得：， ； 把、两点的坐标代入中得： ， 解得：， 一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 如图，当或时，一次函数的图象在反比例函数 的图象下方， ∴时的取值范围是：或； 【小问3详解】 解： 当时，， ∴点C的坐标是， ∴， ∴， 设点D的坐标是， 则， ∴， ∵的面积是面积的2倍 ∴ 解得或， ∴点D的坐标为或 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 定义：如题图1，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，求的长； （2）如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点； （3）如图3，点是线段上的一定点，．请在上画一点，使得C，D是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图） 【答案】（1）的长为或 （2） 解：∵四边形是菱形， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴，即， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴是线段的勾股分割点； （3） 解：如图所示， 【解析】 【分析】（1）设，则，根据勾股定理中直角边与斜边的关系，分类讨论即可求解； （2）根据菱形的性质设，根据相似三角形的判定和性质得到，则，，则，则，运用勾股定理的计算即可求证； （3）根据尺规作垂线，垂直平分线的性质作图即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 设，则， 当是斜边时，， ∴，整理得， ∵， ∴原方程无解，即不是斜边； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； ∴的长为或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以点为圆心，以为半径画弧交于点， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则， 在上取， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则， 在中，，即， ∴点即为所求点的位置． 23. 综合应用 如图1，顶点为P的抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点B，连接、． （1）求b、c的值及的度数； （2）如图2，动点M从点O出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，轴交于E，轴交抛物线于F，连接、． ①当时，求点F的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的t的值． 【答案】（1），， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解b、c值即可；先求得点P、B的坐标，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出即可； （2）①如图2，延长交x轴于G，先根据等腰直角三角形的判定与性质推导出，，进而得到，再证明四边形是平行四边形得到，然后解方程求解即可； ②如图3，连接，，过N作轴于G，根据题意分两种情况：和，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴，解得； 则，∴， 当时，，则， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图2，延长交x轴于G， 由题意，，，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵当时，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，则，即， 解得，， 当时，，此时M与A重合，不合题意，舍去， ∴； ②如图3，连接，，过N作轴于G， 由①知，，则， ∵,， ∴要使与相似，分两种情况： 当时， ∵， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴（不合题意，舍去）； 当时，则，又， ∴是等腰直角三角形，∴，, ∴，则， 此时， ∵，， ∴， ∴，又， ∴， 综上，当时，与相似． 【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟测试数学试卷 满分120分，考试用时120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是圆锥的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 某志愿者服务站有甲、乙两个志愿者小队，甲小队有志愿者人，乙小队有志愿者人．现需从乙小队调配若干名志愿者到甲小队，使调整后的甲小队人数恰好是乙小队人数的倍．设从乙小队调配名志愿者到甲小队，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，分别为边，，的中点，连接，，，若的面积为8，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在中，对角线与相交于点O，E是延长线上的一点，连接交于点F．已知，，，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 7. 一名射击运动员连续射靶8次，命中的环数如下：8，9，，9，8，7，，8．这名运动员射击环数的众数与中位数分别是（　　） A. 9环与8环 B. 8环与环 C. 环与9环 D. 8环与9环 8. 关于的二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小体，每小题3分，共15分） 11. 若，为实数，且，则的值为______． 12. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为_________． 14. 如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=，则k=______． 15. 如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算：． 17. 如题图，是的直径，点C为上一点，平分交于点D，连接．若，，求的长． 18. 小丽同学用测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元． （1）A，B两种花的单价各为多少元？ （2）学校若购买A，B两种花共1000盆，设购买的B种花m盆，总费用为元，请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少，并求出最少费用为多少元？ 20. 为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：时）划分为A：，B：，C：；D：四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）在扇形统计图中，B组所在扇形圆心角的度数为______°，并将条形统计图补充完整； （3）已知该校有1300名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有______人？ （4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A坐标为，点B的坐标为 （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）观察图象直接写出 时x的取值范围是 ； （3）点D是y轴上一点，连接，当的面积是面积的2倍时，请直接写出点D的坐标． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 定义：如题图1，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，求的长； （2）如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点； （3）如图3，点是线段上的一定点，．请在上画一点，使得C，D是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图） 23. 综合应用 如图1，顶点为P的抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点B，连接、． （1）求b、c的值及的度数； （2）如图2，动点M从点O出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，轴交于E，轴交抛物线于F，连接、． ①当时，求点F的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $